Об автоморфно устойчивых распределениях на абелевых группах

На локально компактной абелевой группе $X$ рассматриваются $G$ – автоморфно устойчивые распределения, где $G$ – подгруппа группы $\operatorname{Aut}(X)$. Показано, что если $\mu$ $G$-автоморфно устойчиво, то 1) $\mu$ либо абсолютно непрерывно, либо сингулярно, либо дискретно относительно меры Хаара группы $X$; 2) если $\mu$ дискретно, то $\mu$ – сдвиг распределения Хаара конечной $G$-характеристической подгруппы группы $X$; 3) если $G$ состоит из элементов конечного порядка, то $\mu$ – сдвиг распределения Хаара компактной $G$-автоморфно устойчивой подгруппы группы $X$.