| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Процесс Пуассона с линейным сносом и сопутствующие функциональные ряды В. Е. Мосягин Тюменский государственный университет, Институт математики и компьютерных наук, Тюмень, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T99191X 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиПусть $\nu_-(t)$ и $\nu_+(t)$ — независимые стандартные пуассоновские процессы при $t\geqslant0$ и $\nu_\pm(t)=0$ при $t<0$. Определим случайный процесс
$$
\begin{equation}
Y(t)=at-\nu_+(pt)+\nu_-(-qt),\qquad t\in(-\infty,\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
параметры которого удовлетворяют условию Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}Y(t)= \begin{cases} (a-p)t<0, &t>0, \\ (a-q)t<0, &t<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отрицательность математического ожидания у процесса (1) является условием существования единственного (с вероятностью $1$) собственного момента $t^*$ достижения максимума траекторией $Y(t)$ (см. [1; § 26]). Цель работы — вычисление моментов $\mathbf{E}(t^*)^m$, $m=1,2,\dots$. Заметим, что при выполнении условия (2) процесс $Y(-t)$ тоже имеет отрицательный средний снос с аргументом максимума $-t^*$. Поэтому без ограничения цели работы все утверждения формулируются для процесса (1) с условием (2). Процессы вида (1) возникают в параметрической статистике в задаче об оценивании параметра $\theta \in \Theta \subset \mathbf{R}$ по выборке $ X_1,\dots,X_n$ из абсолютно непрерывного распределения с плотностью $f(x,\theta)$, $x\in\mathbf{R}$. Предполагается, что плотность непрерывна по $x$ всюду, кроме точки $x=x(\theta)$, в которой происходит разрыв первого рода:
$$
\begin{equation*}
0<l(\theta) :=f(x(\theta)-0,\theta)\neq f(x(\theta)+0,\theta)=: r(\theta)>0,\qquad \theta\in \Theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь линия разрыва $x(\theta)$ непрерывно дифференцируема и $|x'(\theta)|>0$ на $\Theta$. При фиксированном истинном значении параметра $\theta_0$ введем обозначения
$$
\begin{equation}
p=r(\theta_0)|x'(\theta_0)|,\qquad q=l(\theta_0)|x'(\theta_0)|,\qquad a=\frac{p-q}{\ln(p/q)}
\end{equation}
\tag{3}
$$
для параметров процесса
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Y}(t)= \begin{cases} \ln\biggl(\dfrac{p}{q}\biggr)\bigl( at-\nu_+(pt)+\nu_-(-qt)\bigr), &\text{если }x'(\theta)>0, \\ \ln\biggl(\dfrac{p}{q}\biggr)\bigl( -at-\nu_+(-pt)+\nu_-(qt)\bigr), &\text{если }x'(\theta)<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В [2; гл. 5, теорема 2.1] доказано, что при соответствующих предположениях конечномерные распределения последовательности процессов логарифмического отношения правдоподобия
$$
\begin{equation*}
Y_{n}(t)=\sum_{i=1}^{n}\ln\dfrac{f(X_{i},\theta_{0}+t/n)}{f(X_{i},\theta_{0})}
\end{equation*}
\notag
$$
сходятся при $n\to\infty$ к конечномерным распределениям процесса $\widetilde{Y}(t)$. Отметим выполнение условия (2) для параметров (3) в силу неравенства $\ln x<x-1$ при $x=p/q$ и $x=q/p$. Тогда если $l(\theta)<r(\theta)$, $x'(\theta)>0$ на $\Theta$, то процесс $\widetilde{Y}(t)$ пропорционален (с коэффициентом пропорциональности $\ln(p/q)>0$) процессу $Y(t)$. Если $l(\theta)<r(\theta)$, но $x'(\theta)<0$, то процесс $\widetilde{Y}(t)$ пропорционален $Y(-t)$. Рассмотрение случаев, когда $l(\theta)>r(\theta)$, приводит к тем же выводам с коэффициентом пропорциональности $\ln(q/p)>0$. Итак, с точностью до положительного множителя предельным для последовательности процессов $Y_n(t)$ при $n\to\infty$ является процесс $Y(t)$ или $Y(-t)$ с параметрами (3). Поэтому можно ограничиться рассмотрением только одного случая: $l(\theta)<r(\theta)$, $x'(\theta)>0$, к которому вернемся в конце раздела 2. Пусть $\widehat\theta_n$ обозначают оценку максимального правдоподобия истинного параметра $\theta_0$ (см. [2; гл. 5, обсуждение перед теоремой 4.5]). Если $ \widehat\theta_n$ не единственная, то выбираем любую из них. Тогда из [2; гл. 5, теорема 4.6] следует сходимость по распределению при $n\to\infty$ нормированных оценок $n(\widehat\theta_n-\theta_0)$ к аргументу максимума $t^*=t^*_{\theta_0}$ траектории процесса (1) с параметрами (3), а также сходимость моментов:
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \mathbf{E}_{\theta_0}n(\widehat\theta_n-\theta_0)=\mathbf{E}t^*_{\theta_0}, \qquad \lim_{n\to\infty} \mathbf{E}_{\theta_0}n^2(\widehat\theta_n-\theta_0)^2=\mathbf{E}(t^*_{\theta_0})^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь правые части равенств являются целью нашего исследования. Моменты более высоких порядков и найденная в работе рекуррентная формула для их вычисления представляют скорее теоретический, чем практический, интерес. В заключение раздела отметим, что моменты $\mathbf{E}(t^*)^m$, $m\geqslant1$, функционально связаны с суммами параметрических рядов вида
$$
\begin{equation}
\varphi_m(z,r)=\sum_{k\geqslant0}\frac{(re^{-r})^k(z+k)^{m+k-1}}{k!},\qquad m\geqslant1,\quad z\geqslant0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где параметр $r$ принадлежит $(0,1)$ и $0^0=1$. Эти суммы найдены в ключевой теореме 1 из следующего раздела.
2. Обозначения и основные результатыВ целях упрощения формулировок теорем и их доказательств сделаем в процессе (1) с условием (2) линейную замену времени $ t:=at $, приводящую к процессу
$$
\begin{equation}
Y(t) = t-\nu_+(pt)+\nu_-(-qt), \qquad t\in(-\infty,\infty),\quad p>1>q>0,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $ p:=p/a$, $q:=q/a $. Обозначим через $\beta$ единственный корень уравнения и определим числоВведем функцию заметив, что $\Lambda(x)>0$ при $x\neq 1 $. Тогда уравнение (6) равносильно любому из следующих равенств (см. [3; замечание 1]):
$$
\begin{equation}
\Lambda(p-\beta)=\Lambda(p) \quad \text{или} \quad (p-\beta)e^{-(p-\beta)} = p e^{-p}, \qquad p-\beta \in (0,1).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Аналитический вид функции распределения $G(x)$ величины $t^*$ для процесса (1) с ограничениями (2) на параметры был найден автором в [4; теорема 3] и [5; теорема 1] на положительной и отрицательной оси соответственно. Для процесса (5) плотность $g(x)$ этого распределения можно извлечь из [3; формулы (9), (10)]: при $x>0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(-x) &= q(1-q) \sum_{k\geqslant[x]+1}{\pi_{k}(q)\bigl(1-e^{b(x-k)}\bigr)}, \\ g(x) &= \beta e^{-px}\sum_{k=0}^{[x]}\frac{p^k x^{k-1}}{k!}(x-k)\psi(x-k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Здесь $\{ \pi_k(q)\}$ — это распределение Бореля с параметром $q>0$:
$$
\begin{equation*}
\pi_k(q)=\frac{(qk)^{k-1}e^{-qk}}{k!}, \qquad k\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
$[x]$ — целая часть числа $x$, а $\psi(\,{\cdot}\,)$ — функция распределения супремума процесса (5) на отрицательной полуоси, аналитический вид которой найден в [1; § 26]:
$$
\begin{equation*}
\psi(x) = \mathbf{P}\Bigl( \sup_{t<0} Y(t)\leqslant x \Bigr) = (1-q)\sum_{m=0}^{[x]} (-1)^m q^m \, \frac{(x-m)^m}{m!}\, e^{q(x-m)},\quad x\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку плотность $g(\,{\cdot}\,)$ из (10) задана разными аналитическими выражениями, то соответственно им определим частичные моменты
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_m^- &= M_m^-(p,q) = \int_0^\infty x^m g(-x)\,\mathrm{d}x, \\ M_m^+ &= M_m^+ (p,q) = \int_0^\infty x^m g(x)\,\mathrm{d}x, \end{aligned} \qquad m\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{11}
$$
через которые выражаются искомые моменты:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(t^*)^m = M_m^+ + (-1)^m M_m^-, \qquad m\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Ключевым утверждением при вычислении моментов $M_m^+$, $m\geqslant 1$, является следующая теорема. Теорема 1. Для сумм $\varphi_m (z,r)$ рядов (4) справедливы формулы Основные результаты работы представлены в следующих двух утверждениях. Теорема 2. При $m\geqslant 1$ Теорема 3. При $m\geqslant 1$ Возвращаясь к упомянутой в разделе 1 задаче из математической статистики ($l(\theta)<r(\theta)$, $x'(\theta)>0$), замечаем, что последнее равенство в (3) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\Lambda\biggl(\frac{q}{a}\biggr) = \Lambda\biggl(\frac{p}{a}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая это равенство с (9) при $p:=p/a$, $q:= q/a$, определяем явный вид константы $\beta$:
$$
\begin{equation}
\beta = \frac{p - q}{a} = \ln\frac{r(\theta_0)}{l(\theta_0)}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Из сказанного следует, что моменты предельного распределения последовательности нормированных оценок максимального правдоподобия вычисляются по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} (t^*_{\theta_0})^m = \frac{M_m^+(p/a, q/a)+(-1)^m M_m^-(p/a, q/a)}{a^m}, \qquad m\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с частичными моментами $M_m^\pm$ из теорем 2, 3 и константой $\beta$ из (22).
3. Доказательство теоремПрежде всего отметим сходимость рядов (4) при любом фиксированном $m\geqslant 1$ и $r \in (0,1)$. Это вытекает из следующих экспоненциальных оценок, использующих формулу Стирлинга и функцию $\Lambda(\,{\cdot}\,)$ из (8):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{(re^{-r})^k(z+k)^{m+k-1}}{k!} &< \frac{(re^{-r})^k k^{m+k-1} (1+z/k)^{m-1} (1+z/k)^k}{\sqrt{2\pi}\, k^{k+1/2}e^{-k}} \\ &<(1+z)^{m-1} e^z k^{m-3/2} e^{-\Lambda(r)k}, \qquad k\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подобную оценку получаем и для производных по $z$ членов ряда (4):
$$
\begin{equation*}
(m+k-1)\frac{(re^{-r})^k(z+k)^{m+k-2}}{k!} < (1+z)^{m-2} e^z (m+k-1) k^{m-3/2} e^{-\Lambda(r)k},
\end{equation*}
\notag
$$
что позволяет дифференцировать ряд почленно при любом $z>0$. Дифференцирование ряда (4) по параметру $r\in (0,1)$ возможно в силу следующей оценки для производных его слагаемых:
$$
\begin{equation*}
k \, \frac{1-r}{r}\, \frac{(re^{-r})^k(z+k)^{m+k-1}}{k!} < (1+z)^{m-1}e^z k^{m-1/2}\, \frac{1-r}{r}\, e^{-\Lambda(r)k},
\end{equation*}
\notag
$$
и равномерной по $ r\in [\varepsilon, 1-\varepsilon] $ оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{1-r}{r}\, e^ {-\Lambda(r)k}<\frac{1}{\varepsilon}\, e^ {-\Lambda(1-\varepsilon)k},
\end{equation*}
\notag
$$
верной для любого $ 0<\varepsilon<1/2 $. Лемма 1. Справедливы следующие утверждения: а при $m \geqslant 2$ функции $\varphi_m(z,r) $ являются решениями рекуррентных линейных дифференциальных уравнений Доказательство. Введем в этом разделе обозначение $x=re^{-r}$. Тогда из (4) находим
$$
\begin{equation}
\varphi_1(0,r) = \sum_{k\geqslant 0} \frac{x^k k^k}{k!} = 1+ \sum_{k \geqslant 1} \frac{x^k k^k}{k!} = 1+\frac{r}{1-r}= \frac{1}{1-r}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Здесь сумма последнего ряда найдена в [6; разд. 5.2.9, формула 4].
Докажем сначала формулу (23) для целых неотрицательных $z$. Первый шаг индукции при $z=0$ следует из (27). Пусть при $z=n$ Из очевидного представления
$$
\begin{equation*}
\frac{x^k(z+k)^k}{k!} = z \, \frac{x^k(z+k)^{k-1}}{k!} + k \, \frac{x^k(z+k)^{k-1}}{k!}
\end{equation*}
\notag
$$
суммированием по $k\geqslant 0 $ получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_1(z,r) &= z \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k(z+k)^{k-1}}{k!} + x \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k (z+1+k)^k}{k!} \\ &= z \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k(z+k)^{k-1}}{k!} + x \varphi_1(z+1,r), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое при $z=n$ преобразуем к виду
$$
\begin{equation}
x \varphi_1(n+1,r) = \varphi_1(n,r) - n \sum_{k\geqslant 0} \frac{x^k(n+k)^{k-1}}{k!}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
После замены в (29) индекса суммирования $l:=n+k$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k(n+k)^{k-1}}{k!} &= n \sum _{l \geqslant n} \frac{(re^{-r})^{l-n}\, l^{l-n-1}}{(l-n)!} \nonumber \\ &= e^{r n} \sum_{l \geqslant n} \frac{n}{r^n}\, \frac{(re^{-r})^l\, l^{l-n-1}}{(l-n)!} = e^{r n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Здесь сумма последнего ряда равна $1$, так как его слагаемые образуют распределение Бореля–Таннера с параметрами $(n,r)$. Тогда из (28)–(30) получаем индуктивный вывод доказывающий формулу (23) для $z = 0,1, \dots$.
Установим теперь следующее представление:
$$
\begin{equation}
\varphi_1(z,r) = \sum_{n\geqslant 0} \frac{x^n \varphi_1(n,r)}{n!} z^n.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_1(z,r) &= \sum_{k\geqslant 0} \frac{x^k(z+k)^k}{k!} = \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k}{k!} \sum_{n=0}^k \binom{k}{n} z^n k^{k-n} \\ &= \sum_{n\geqslant 0} \frac{x^n}{n!}\, z^n \sum_{k\geqslant n} \frac{x^{k-n}k^{k-n}}{(k-n)!} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{x^n}{n!}\, z^n \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k(n+k)^k}{k!}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что сумма последнего ряда при $ x=re^{-r} $ равна $\varphi_1(n,r)$.
Подставляя выражение (28) в равенство (31), приходим к формуле (23):
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(z,r) = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(re^{-r})^n e^{rn}}{n!\,(1-r)} z^n = \frac{1}{1-r}\sum_{n \geqslant 0} \frac{(rz)^n}{n!} = \frac{e^{r z}}{1-r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференцируя по $z$ ряд (4) (см. начало настоящего раздела), получаем при $ m\geqslant2 $ выражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_m' (z,r) &= \sum_{k \geqslant 0 } (m-1+k)\frac{x^k(z+k)^{m+k-2}}{k!} \\ &= (m-1) \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k(z+k)^{(m-1)+k-1}}{k!} + \sum_{k \geqslant 1} \frac{x^k(z+k)^{m+k-2}}{(k-1)!} \\ &= (m-1)\varphi_{m-1}(z,r)+x \sum_{k \geqslant 0} \frac{x^k (z+1+k)^{m+k-1}}{k!}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\varphi_m'(z,r) = (m-1)\varphi_{m-1}(z,r)+x\varphi_m(z+1,r).
\end{equation}
\tag{32}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\varphi_m(z,r) = \sum_{k \geqslant 0}(z+k) \frac{x^k(z+k)^{m+k-2}}{k!} = z \varphi_{m-1}(z,r)+x\varphi_m(z+1,r).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Отсюда и из (32) получаем дифференциальные уравнения (24).
Граничные условия (25) вытекают из следующих равенств:
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}\varphi_m(0,r)}{\mathrm{d}r} = \frac{1-r}{r} \sum_{k \geqslant 0} \frac{(re^{-r})^k k^{m+k}}{k!} = \frac{1-r}{r}\, \varphi_{m+1}(0,r),\qquad m \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из (23)–(25) при $m=2$ получаем линейное дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation*}
\varphi_2'(z,r) - \varphi_2(z,r) + \frac{(z-1)e^{rz}}{1-r} = 0, \qquad \varphi_2(0,r) = \frac{r}{(1-r)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
решением которого является функция из (26). Лемма 1 доказана. Доказательство теоремы 1 проведем индукцией по $m$. Суммы $\varphi_1(z,r)$ и $\varphi_2(z,r)$ рядов (4), найденные в лемме 1, соответствуют представлению (12) с полиномами
$$
\begin{equation*}
P_0(z,r) \equiv 1, \qquad P_1(z,r) = z+ \frac{r}{1-r},
\end{equation*}
\notag
$$
которые удовлетворяют соотношениям (14) при $n=0,1$. Предполагая справедливость утверждений (12) при некотором $m$, докажем равенство
$$
\begin{equation}
\varphi_{m+1}(z,r) = P_m(z,r)\frac{e^{rz}}{(1-r)^{m+1}},
\end{equation}
\tag{34}
$$
в котором полином $P_m(z,r)$ находится по формуле (14) при $n:= m$.
Замена в (24) индекса $m$ на $m+1$ с учетом предположения индукции приводит к дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d} \varphi_{m+1}(z,r)}{\mathrm{d}z} - \varphi_{m+1}(z,r) + (z-m)P_{m-1}(z,r)\frac{e^{rz}}{(1-r)^m} = 0,
\end{equation}
\tag{35}
$$
общее решение которого, как нетрудно проверить, выражается через неопределенный интеграл:
$$
\begin{equation}
\varphi_{m+1}(z,r) = - \frac{e^z}{(1-r)^m}\int (z-m)P_{m-1}(z,r) e^{-(1-r)z} \, \mathrm{d}z.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Для нахождения последнего воспользуемся следующей формулой (см. [6; разд. 1.3.2, формула (9)]):
$$
\begin{equation}
\int Q_m(z)e^{\alpha z}\, \mathrm{d}z = \frac{e^{\alpha z}}{\alpha} \sum^m_{k=0} (-1)^k \frac{1}{\alpha^k}\, \frac{\mathrm{d}^k Q_m(z)}{\mathrm{d}z^k},
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $Q_m(z)$ — полином степени $m$. Полагая здесь $\alpha = -(1-r)$, $Q_m(z) = (z-m)P_{m-1}(z,r)$, из (36) и (37) находим общее решение уравнения (35):
$$
\begin{equation}
\varphi_{m+1}(z,r) = P_m(z,r) \frac{e^{rz}}{(1-r)^{m+1}} + C_m(r) e^z,
\end{equation}
\tag{38}
$$
где полином
$$
\begin{equation*}
P_m(z,r) = \sum_{k=0}^m \frac{1}{(1-r)^k} \, \frac{\mathrm{d}^k(z-m)P_{m-1}(z,r)}{\mathrm{d}z^k}
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует формуле (14) при $n:=m$, а $C_m(r)$ не зависит от $z$.
Для завершения индукции (см. (34)) осталось доказать, что $C_m(r)$ равно нулю при всех $m\geqslant 1$, $r\in (0,1)$. Воспользуемся для этого равенством (33) с заменой в нем индекса $m$ на $m+1$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_{m+1}(z,r) = z \varphi_m(z,r) + r e^{-r} \varphi_{m+1}(z+1,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя сюда выражение (38) и функцию из формулы (12), истинной согласно предположению индукции, приходим к равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &C_m(r)(1-r)^{m+1}(1-re^{1-r})e^{(1-r)z} = (1-r)z P_{m-1}(z,r) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad+r P_m(z+1,r)-P_m(z,r),\qquad z \geqslant 0, \quad r \in (0,1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
в котором $1-re^{1-r}\neq 0$ при $r \in (0,1)$. Если $C_m(r) \neq 0$ при некотором $r$, то соотношение (39) невозможно, поскольку в левой его части находится экспонента, а в правой — полином. Следовательно, $C_m(r) \equiv 0$, и попутно из (39) получаем еще одну функциональную связь между полиномами: Теорема 1 доказана. Лемма 2. При $ m \geqslant 1$ справедливо представление Доказательство. Из (10) и (11) получаем выражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_m^+ &= \beta \int^\infty_0 x^m e^{-px} \sum_{k = 0}^{[x]} \frac{p^k x^{m+k-1}}{k!}(x-k)\psi(x-k)\, \mathrm{d}x \\ &=\beta \sum_{n \geqslant 0} \int^{n+1}_n x^m e^{-px} \sum^n_{k=0} \frac{p^k x^{m+k-1}}{k!}(x-k)\psi(x-k)\, \mathrm{d}x \\ &= \beta \sum_{n \geqslant 0} \sum^n_{k=0} \int_n^{n+1} x^m e^{-px}\, \frac{p^k x^{m+k-1}}{k!}(x-k)\psi(x-k)\, \mathrm{d}x \\ &=\beta \sum_{k \geqslant 0} \sum_{n \geqslant k} \int_n^{n+1} x^m e^{-px}\, \frac{p^k x^{m+k-1}}{k!}(x-k)\psi(x-k)\, \mathrm{d}x \\ &= \beta \sum_{k\geqslant 0} \int^\infty_k (x-k) \psi(x-k) e^{-px}\, \frac{p^k x^{m+k-1}}{k!} \,\mathrm{d}x \\ &=\beta \sum_{k \geqslant 0} \int^\infty_0 z \psi(z) e^{-pz}\, \frac{(p e^{-p})^k (z+k)^{m+k-1}}{k!} \, \mathrm{d}z \\ &= \beta\int^\infty_0 z \psi(z) e^{-p z} \varphi_m(z,p-\beta)\, \mathrm{d}z , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство выполняется в силу (9). Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 2. Из соотношений (12), (13) и леммы 2 получаем формулу
$$
\begin{equation}
M_m^+ = \frac{\beta}{(1+\beta-p)^m} \sum^{m-1}_{n=0} a_{m-1,n} (p-\beta) \int_0^\infty z^{n+1} \psi(z) e^{-\beta z} \, \mathrm{d}z.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Последний интеграл можно найти $n$-кратным дифференцированием по $s$ равенства (см. (17))
$$
\begin{equation*}
\int^\infty_0 z \psi(z) e^{-s z}\, \mathrm{d}z = (1-q) I(s),\qquad s>0,
\end{equation*}
\notag
$$
доказанного в [3; формула (35)]. Возможность дифференцирования под знаком интеграла вытекает из следующей оценки модуля производной порядка $n$:
$$
\begin{equation*}
|(-1)^{n}z^{n+1}\psi(z)e^{-sz}|\leqslant z^{n+1}e^{-\beta z},\qquad s\geqslant\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\int^\infty_0 z^{n+1} \psi(z) e^{-\beta z} \, \mathrm{d}z = (1-q)(-1)^n I^{(n)}(\beta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (40) следует утверждение (16).
Если в (16) подставить $m=1$, получаем выражение в котором
$$
\begin{equation}
I(\beta) = \frac{1-q e^{-\beta}}{(\beta -q(q-e^{-\beta}))^2} = \frac{p(p(1-q)+\beta q)}{\beta^2 (p-q)^2}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Здесь мы воспользовались равенством (6). Тогда из (41) и (42) вытекает первая из формул (18).
Воспользуемся опять формулой (16) при $m=2$:
$$
\begin{equation}
M_2^+ = \frac{\beta(1-q)}{(1+\beta-p)^2} \bigl(I(\beta)a_{1,0}(p-\beta)-I'(\beta)\bigr).
\end{equation}
\tag{43}
$$
Тогда из (15) и (17) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{1,0}(p-\beta) = \frac{p-\beta}{1+p-\beta}, \\ \begin{aligned} \, I'(\beta) &= \frac{q e^{-\beta}}{(\beta-q(1-e^{-\beta}))^2} - \frac{2(1-q e^{-\beta})^2}{(\beta -q(1-e^{-\beta}))^3} \\ &= \frac{p(p-\beta)}{\beta^2(p-q)^2} - \frac{2p(p(1-q)+\beta q)^2}{\beta^3(p-q)^3}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, а также из (42) и (43) получаем второй частичный момент из (18). Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3. Из формул (10) и (11) имеем представление
$$
\begin{equation}
M_m^- = q(1-q) \int^\infty_0 x^m \sum^\infty_{k = [x] +1 } \pi_k(q)\bigl(1-e^{b(x-k)}\bigr) \, \mathrm{d}x =: q(1-q)I^-_m.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Покажем сначала, что
$$
\begin{equation}
I_m^- = \frac{\mu_{m+1}(q)}{m+1} - \sum_{k\geqslant 1} \pi_k(q) e^{-bk} \int_0^k x^m e^{bx} \, \mathrm{d}x.
\end{equation}
\tag{45}
$$
В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_m^- &= \sum_{n \geqslant 0} \int_n^{n+1} x^m \sum_{k=n+1}^\infty \pi_k(q)\bigl(1-e^{b(x-k)}\bigr) \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n\geqslant0} \sum_{k\geqslant n+1} \pi_k(q) \int_n^{n+1} x^m \bigl(1-e^{b(x-k)}\bigr) \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{k \geqslant 1} \pi_k(q) \int_0^k x^m \bigl(1 - e^{ b(x-k)} \bigr) \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{m+1} \sum_{k \geqslant 1} k^{m+1} \pi_k(q) -\sum_{k \geqslant 1}\pi_k(q) e^{-bk} \int_0^k x^m e^{bx} \, \mathrm{d}x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует (45).
Для вычисления интеграла из (45) воспользуемся опять формулой (37):
$$
\begin{equation*}
\int x^m e^{\alpha x} \, \mathrm{d}x = e^{\alpha x} \sum_{n=0}^m (-1)^n \, \frac{(m)_n}{\alpha^{n+1}}\, x^{m-n}, \qquad m\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_0^k x^m e^{bx} \, \mathrm{d}x = e^{bk} \biggl( \sum_{n=0}^{m-1} (-1)^n \, \frac{(m)_n}{b^{n+1}} \, k^{m-n} + (-1)^m \, \frac{m!}{b^{m+1}} \biggr) - (-1)^m \, \frac{m!}{b^{m+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (45) получаем выражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_m^- &= \frac{\mu_{m+1}(q)}{m+1} - \sum_{n=0}^{m-1} (-1)^n \frac{(m)_n \mu_{m-n}(q)}{b^{n+1}} \\ &\qquad -(-1)^m \frac{m!}{b^{m+1}} +(-1)^m \frac{m!}{b^{m+1}}\sum_{k\geqslant 1} e^{-bk} \pi_k(q), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в котором сумма последнего ряда равна $e^\beta$ (см. [5; лемма 2]). Следовательно, с учетом равенств (6) и (7) окончательно находим
$$
\begin{equation*}
I_m^- = \frac{\mu_{m+1}(q)}{m+1} - \sum_{n=0}^{m-1} (-1)^n \frac{(m)_n\, p^{n+1} \mu_{m-n}(q)}{\beta^{n+1}(p-q)^{n+1}} - (-1)^m \frac{m!\, p^m}{\beta^m (p - q)^{m+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (44) вытекает утверждение (19).
Для доказательства формулы (20) воспользуемся следующим представлением из [3; лемма 1]: Умножая это равенство на $k^{l-1}$, $l\geqslant 1$, и затем суммируя по $k \geqslant 1$, приходим к выражениям для моментов
$$
\begin{equation*}
q \mu_{l-1}(q) = \sum_{k\geqslant 1} k^{l-1} \pi_k(1) e^{-\Lambda(q)k}, \qquad l \geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
которые можно дифференцировать по $q$ под знаком ряда:
$$
\begin{equation}
\mu_{l-1}(q)+q\mu_{l-1}'(q) = \frac{1-q}{q} \sum _{k \geqslant 1} k^l \pi_k(1) e^{-\Lambda(q)k} = (1-q) \pi_l(q).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Законность дифференцирования следует из равномерной оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{1-q}{q}\, k^{l}\pi_{k}(1)e^{-\Lambda(q)k}<\frac{1}{q}\, k^{l}e^{-\Lambda(q)k} \leqslant\frac{1}{\varepsilon}\, k^{l}e^{-\Lambda(1-\varepsilon)k}
\end{equation*}
\notag
$$
на интервале $ q\in [\varepsilon, 1-\varepsilon] $ при любом фиксированном $ 0<\varepsilon<1/2$.
Тогда из (46) получаем формулу (20), из которой затем последовательно находим
$$
\begin{equation*}
\mu_1(q) = \frac{1}{1-q}, \qquad \mu_2(q) = \frac{1}{(1-q)^3}, \qquad \mu_3(q) = \frac{2q+1}{(1-q)^5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти моменты в (19), выводим формулы (21):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_1^- &= q(1-q)\biggl( \frac{\mu_2(q)}{2} - \frac{p \mu_1(q)}{\beta(p-q)} +\frac{p}{\beta(p-q)^2}\biggr) \\ &= \frac{q}{2(1-q)^2}-\frac{pq}{\beta(p-q)}+\frac{p q(1-q)}{\beta(p-q)^2} = \frac{q}{2(1-q)} - \frac{p q(p-1)}{\beta(p-q)^2}, \\ M_2^- &= q(1-q)\biggl(\frac{\mu_3(q)}{3} - \sum_{n=0}^1 (-1)^n \frac{(2)_n p^{n+1} \mu_{2-n}(q)}{\beta^{n+1}(p-q)^{n+1}} - \frac{2p^2}{\beta^2(p-q)^3} \biggr) \\ &=\frac{q(2q+1)}{3(1-q)^4} - \frac{p q}{\beta(p-q)(1-q)^2} + \frac{2p^2q}{\beta^2(p-q)^2} - \frac{2p^2q(1-q)}{\beta^2(p-q)^3} \\ &=\frac{q(2q+1)}{3(1-q)^4} - \frac{p q}{\beta(p-q)(1-q)^2} + \frac{2p^2q(p-1)}{\beta^2(p-q)^3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mos24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|