| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об абсолютной непрерывности меры Эрдёша для золотого сечения, числа трибоначчи и марковских цепей второго порядка В. Л. Куликовa, Е. Ф. Олеховаa, В. И. Оселедецbc a Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия b Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова Российской академии наук, Москва, Россия c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991908 
Реферативные базы данных:
 1. Введение1.1. Постановка задачи и основные результатыРассматривается случайная величина $\zeta$: где случайные коэффициенты $\varepsilon_k\in\{0,1\}$ образуют стационарный процесс, $\rho=1/\beta$, $1<\beta<2$. Пусть мера $\mu(\Delta)=\mathbf{P}(\zeta \in \Delta)$ — закон распределения случайной величины $\zeta$. Мы называем эту меру мерой Эрдёша. Если $\{\varepsilon_k\}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины ($0$-марковская цепь), то $\mu$ обычно называют бесконечной бернуллиевской сверткой. Нас будет интересовать задача об абсолютной непрерывности меры Эрдёша, которую мы назовем задачей Эрдёша. Для $2$-марковских коэффициентов мера Эрдёша зависит от четырех параметров:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} q &=\mathbf{P}(\varepsilon_1=0\mid\varepsilon_{-1}=0,\, \varepsilon_0=0), &\quad t &=\mathbf{P}(\varepsilon_1=0\mid\varepsilon_{-1}=1,\, \varepsilon_0=0), \\ s &=\mathbf{P}(\varepsilon_1=0\mid\varepsilon_{-1}=0,\, \varepsilon_0=1), &\quad u &=\mathbf{P}(\varepsilon_1=0\mid\varepsilon_{-1}=1,\, \varepsilon_0=1). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом для $1$-марковской цепи имеем $t=q$ и $u=s$, для $0$-марковской цепи — дополнительно $s=q$. Теорема 1. Мера Эрдёша для $1$-марковских коэффициентов и золотого сечения ($\beta^2=\beta+1$) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда выполнено одно из четырех условий: 1) $q=\rho$, $s=1$; 2) $q=0$, $s=\rho^2$; 3) $q=\rho$, $s=\rho^2$; 4) $q=\rho^2$, $s=\rho$. Доказательство теоремы 1 дается в п. 2.4. Теорема 2. Мера Эрдёша для 2-марковских коэффициентов и золотого сечения ($\beta^2=\beta+1$) абсолютно непрерывна, если выполнено одно из шести условий: 1) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1$, $u=1$; 2) $q=0$, $t=\rho^2$, $s=\rho$, $u=1$; 3) $0\leqslant q<1$, $t=0$, $s=\rho^2$, $u=\rho^2$; 4) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1$, $u=\rho^2$; 5) $q=\rho^2$, $t=\rho^2$, $s=\rho$, $u=\rho$; 6) $q=\rho$, $t= \rho$, $s=\rho^2$, $u=\rho^2$. Доказательство теоремы 2 дается в п. 2.3. В работе [2] было доказано, что для абсолютной непрерывности меры Эрдёша необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из указанных шести условий. Доказательство в п. 2.3 является новым доказательством достаточности, в котором используются марковские цепи Блекуэлла (см. [3]). Теорема 3. Мера Эрдёша для 2-марковских коэффициентов и числа трибоначчи ($\beta^3=\beta^2+\beta+1$) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих двух условий: 1) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1/(1+\rho)$, $u=1$; 2) $q=0$, $t=\rho/(1+\rho)$, $s=1-\rho$, $u=1-\rho$. Доказательство теоремы 3 излагается в п. 3.2. Замечание. В первом случае найдена $2$-марковская цепь, отвечающая мере Перри (мере с максимальной энтропией) на компакте трибоначчи (бесконечных 0-1-слов, в которых три единицы не могут стоять рядом). Второй случай отвечает мере Перри на компакте антитрибоначчи (бесконечных 0-1-слов, в которых три нуля не могут стоять рядом). Из теоремы 3 очевидно вытекает следующее утверждение. Это утверждение было доказано ранее в работе [6], т.е. из теоремы 3 следует его новое доказательство. 1.2. Предварительные сведенияСогласно знаменитой теореме Эрдёша [5], если $\{\varepsilon_k,\, k \in\mathbf{Z}\}$ — последовательность Я. Бернулли и $\beta$ — число Пизо, то распределение $\zeta$ сингулярно. В нашей работе мы будем решать задачу Эрдёша для случая, когда $\{\varepsilon_k,\, k \in\mathbf{Z}\}$ — стационарная $2$-марковская цепь. Кроме того, мы рассматриваем два числа Пизо: $\beta$ — золотое сечение (т.е. $\beta^2=\beta+1$), $\beta$ — число трибоначчи (т.е. $\beta^3=\beta^2+\beta+1$). Следуя работам [2], [1], мы сводим задачу Эрдёша к задаче из теории скрытых марковских цепей, а именно к ответу на вопрос, когда скрытая марковская цепь (т.е. функция от стационарной марковской цепи) является марковской цепью. Мера в пространстве реализаций скрытой марковской цепи называется софической мерой. О скрытых марковских цепях и софических мерах можно прочитать в большом обзоре [4]. Мы будем использовать матричное представление софической меры (см. [1], [2]) на пространстве бесконечных путей соответствующего графа. На этом пространстве есть марковская мера Перри (мера с максимальной энтропией). Наша задача сводится к задаче о совпадении софической меры с мерой Перри. Абсолютно непрерывной мера Эрдёша будет тогда и только тогда, когда софическая мера совпадает с мерой Перри. 1.3. Некоторые определения1.3.1. Блочные матрицы и софические мерыПусть есть ненулевая неотрицательная ($d\times d$)-блочная матрица $M=(m_{ij})$ с ($d_i\times d_j$)-матричными элементами $m_{ij}$, где $i,j\in \{1,2,\dots,d\}$ или $i,j\in \{0,1,2,\dots,d-1\}$. Пусть $A=(a_{ij})$, где $a_{ij}=1$, если $m_{ij}\ne0$, и $a_{ij}=0$, если $m_{ij}=0$. Граф $G$ с матрицей смежности $A$ назовем блочным графом для блочной матрицы $M$. Спектральный радиус матрицы $M$ обозначим через $\lambda=\lambda(M)$. Для матрицы $M$ существуют такие неотрицательные собственные векторы $L$ и $R$, что $LM=\lambda L$ и $MR=\lambda R$, $LR>0$. Пусть множество вершин блочного графа $G$ и множество его ребер имеют вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}=\{0,1,2, \dots, d-1\} \quad\text{и}\quad \{(i,j)\in \mathcal{V}\times\mathcal{V}\colon a_{ij}=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Блочный граф $G$ порождает марковский компакт $X$ бесконечных путей (бесконечных слов с алфавитом $\mathcal{V}$):
$$
\begin{equation*}
X=\{x_1x_2\dots x_n\dots\colon a_{x_k x_{k+1}}=1,\, k\geqslant1\}
\end{equation*}
\notag
$$
с метрикой $\rho^{n(x,y)}$, где $n(x,y)$ — длина наибольшего общего префикса слов $x,y\in X$. Ребру $(i,j)$ отвечает вес $m_{ij}$. Получаем нагруженный блочный граф $G$ с матричными весами. Определение 1. Мера $\nu$ на марковском компакте $X$ называется софической мерой, если она задается вероятностями конечных путей $x_1x_2\dots x_n$ в графе $G$ по формулам где $L=(L(0),\dots,L(d-1))$ и $R=(R(0),\dots,R(d-1))^\top$. Матрица $M$ называется блочной матрицей софической меры $\nu$. Пусть $\xi_k=x_k(x)$, $x\in X$, — координатный процесс на $X$ с софической мерой на нем. Определение 2. Процесс $\{\xi_k,\, k\in \mathbf{N}\}$ называется матричной бернуллиевской цепью, если блочная матрица $M$ софической меры на $X$ имеет одинаковые строки. В случае матричной бернуллиевской цепи положим
$$
\begin{equation*}
m_0=m_{00},\quad m_1 =m_{01},\quad \dots,\quad m_{d-1}=m_{0,d-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть все матрицы $m_i$ — квадратные одного порядка. В дальнейшем только этот случай и будет рассматриваться. Введем матрицу $m=\sum_{i=0}^{d-1} m_{i}$. Тогда $\lambda=\lambda(M) =\lambda(m)$. Для матрицы $m$ существуют такие неотрицательные собственные векторы $\widetilde l$ и $\widetilde r$, что $\widetilde l m=\lambda\widetilde l$, $m\widetilde r=\lambda \widetilde r$ и $\widetilde l\,\widetilde r>0$. Для софической меры, отвечающей матричной бернуллиевской цепи, векторы $R$, $L$ таковы: $R=(\widetilde r,\widetilde r,\dots,\widetilde r)^\top$, $L=(\widetilde lm_0,\widetilde lm_1,\dots,\widetilde lm_{d-1})$. Рассмотрим $\widetilde X=\mathcal{V}^{\mathbf{N}}$. Определим меру $\widetilde\nu$ на $\widetilde X$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde\nu(x_1) =\frac{L(x_1)R(x_1)}{LR}, \\ \widetilde\nu(x_1\dots x_n) =\frac{ L(x_1) m_{x_2}\cdots m_{x_n} R(x_n)}{\lambda^{n-1} L R}, \qquad n\geqslant2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Софическая мера $\nu$, отвечающая матричной бернуллиевской цепи, определена на $X$. Ясно, что $X\subseteq \widetilde X$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\nu(x_1\dots x_n) =\frac{ \widetilde l\,m_{x_1} m_{x_2}\cdots m_{x_n}\widetilde r}{\lambda^{n}\,\widetilde l\,\widetilde r},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde l m=\lambda\widetilde l$, $m\widetilde r=\lambda \widetilde r$ и $\widetilde l\widetilde r>0$. 1.3.2. Уравнение самоподобия для 2-марковской цепиВ случае, когда $\{\varepsilon_k\in\{0,1\},\, k\in\mathbf{Z}\}$ — цепь $2$-го порядка, последовательность ($\varepsilon_k,\varepsilon_{k+1}$) — марковская цепь $1$-го порядка. Упорядочим ее состояния следующим образом: $(00,10,01,11)$. Тогда переходная матрица имеет вид
$$
\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix} q &0 &1-q &0 \\ t &0 &1-t &0 \\ 0 &s &0 &1-s \\ 0 &u &0 &1-u \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобятся две субстохастические матрицы:
$$
\begin{equation*}
p_0=\begin{pmatrix} q &0 &0 &0 \\ t &0 &0 &0 \\ 0 &s &0 &0 \\ 0 &u &0 &0 \end{pmatrix}, \qquad p_1=\begin{pmatrix} 0 &0 &1-q &0 \\ 0 &0 &1-t &0 \\ 0 &0 &0 &1-s \\ 0 &0 &0 &1-u \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и условные функции распределения:
$$
\begin{equation*}
F_{k,l} (x)=\mathbf{P}(\zeta <x \mid \varepsilon_{-1}=k,\,\varepsilon_0=l),\qquad k=0,1, \quad l=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\widehat F(x)=\bigl(F_{00}(x),F_{10}(x),F_{01}(x),F_{11}(x)\bigr)^\top.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее соотношение (уравнение самоподобия) [2]:
$$
\begin{equation}
d\widehat F(x)=p_0\, d\widehat F(\beta x)+p_1\, d\widehat F(\beta x-1).
\end{equation}
\tag{1}
$$
1.3.3. Инвариантная мера ЭрдёшаПусть — эндоморфизм единичного отрезка и $\{\,{\cdot}\,\}$ — дробная часть числа.Определение 3. Инвариантной мерой Эрдёша называется $T$-инвариантная мера на $[0,1]$, относительно которой ограничение меры Эрдёша на отрезок $[0,1]$ абсолютно непрерывно. В разделах 2 и 3 из уравнения (1) будут получены формулы для инвариантной меры Эрдёша как софической меры (см. [1]). 2. Случай золотого сеченияПусть $\beta$ — положительный корень уравнения $\beta^2-\beta-1=0$. Параметр $\rho=1/\beta$ удовлетворяет уравнению $\rho+\rho^2=1$. Введем векторную функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde F(x)=\bigl(\widehat{F}(x), \widehat{F}(x+\rho), \widehat{F}(x+1)\bigr)^\top, \qquad x\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из уравнения самоподобия следует, что где $x_1(x)$ — индикатор отрезка $[\rho,1]$. Блочные $(3\times3)$-матрицы $M_0$, $M_1$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
M_0=\begin{pmatrix} p_0&0&0 \\ p_1& 0& p_0 \\ 0& p_1&0 \end{pmatrix}, \qquad M_1=\begin{pmatrix} p_1& 0& p_0 \\ 0&0& p_1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для эндоморфизма $T$ есть марковское разбиение промежутка $[0,1)$ на промежутки Разбиение (3) — марковское в следующем смысле:
$$
\begin{equation*}
T\Delta_i=a_{i1}\Delta_1\cup a_{i2}\Delta_2, \quad i=1,2, \qquad 1\,\Delta_i=\Delta_i, \qquad 0\,\Delta_i=\varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A=(a_{ij})$ — матрица Фибоначчи, строки и столбцы которой мы будем индексировать элементами из $\{0,1\}$: Граф Фибоначчи $G_{\mathrm{F}}$ с матрицей смежности $A$ изображен на рис. 1. С этим графом связан компакт Фибоначчи $X$ бесконечных слов с алфавитом $\{0,1\}$:
$$
\begin{equation*}
X=\{x_1x_2\dots x_n\dots\colon a_{x_k x_{k+1}}=1,\, k\geqslant1\}
\end{equation*}
\notag
$$
с метрикой $\rho^{n(x,y)}$, где $n(x,y)$ — длина наибольшего общего префикса слов $x,y\in X$. Отображение промежутка $[0,1)$ в компакт Фибоначчи $X$, задаваемое формулой переводит $T$-инвариантную меру Эрдёша в $S$-инвариантную меру Эрдёша $\nu_X$ на компакте Фибоначчи $X$, где $S$ — сдвиг на $X$: $x_1x_2x_3\ldots \to x_2x_3\dots$. Заметим, что $\{x_1(T^n x),\, n\in \mathbf{N}\}$ — знаки числа $x$ в системе счисления Фибоначчи ($x=\sum_{k=1}^{\infty}x_k\rho^k$, $x_kx_{k+1}=0$ для всех $x\in[0,1]$).При указанном выше отображении векторная мера $d\widetilde F(x)$ переходит в векторную меру $d\widetilde\mu(x)$ на $X$, а уравнение (2) переходит в уравнение для $d\widetilde \mu(x)$:
$$
\begin{equation*}
d\widetilde\mu(x)=M_{x_1}\, d\widetilde \mu(Sx),\qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $d\widetilde\mu(x)=M_{x_1}M_{x_2}\cdots M_{x_n}\, d\widetilde\mu(S^nx)$. Интегрируя по цилиндру всех слов с префиксом $x_1x_2\dots x_n$, получим формулу
$$
\begin{equation*}
\widetilde\mu(x_1x_2\dots x_n) =M_{x_1}M_{x_2}\cdots M_{x_n}R(x_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde\mu(x_1x_2\dots x_n)$ — мера цилиндра всех бесконечных слов с префиксом $x_1x_2\dots x_n$. Из условия согласованности Колмогорова следует, что $R= (R(0),R(1))^\top$ — неотрицательный правый собственный вектор матрицы $M$ с собственным значением $1$, где $M$ есть $(2\times2)$-блочная матрица: Инвариантная мера Эрдёша $\nu_X$ полностью определяется формулой для меры цилиндра всех слов с префиксом $x_1\dots x_n$ (она же — вероятность одноименного конечного пути в графе $G_{\mathrm{F}}$):
$$
\begin{equation}
\nu_X(x_1\dots x_n)=L(x_1)M_{x_2}\cdots M_{x_n}R(x_n),\qquad \nu_X(x_1)=L(x_1)R(x_1),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $L=(L(0),L(1))$ — левый неотрицательный собственный вектор матрицы $M$ с собственным значением $1$ такой, что $L R=1$. Эта формула подходит под определение софической меры. Матрице $M$ соответствует нагруженный граф $G_{\mathrm{F}}$. Нагрузка (матричный вес) на ребре $(i,j)$ — это $m_{ij}=a_{ij}M_j$ (см. рис. 1). Матричный вес пути $x_1x_2\dots x_n$ равен Задача об абсолютной непрерывности меры Эрдёша сводится к следующей задаче (см. [2]): определить, для каких параметров $q$, $t$, $s$, $u$ инвариантная мера Эрдёша $\nu_X$ совпадает с мерой Перри (марковской мерой с максимальной энтропией $\ln\beta$) на компакте Фибоначчи. Такого рода задача решалась в 2006 г. в [2] для $\beta$ — золотого сечения. В этой работе были найдены шесть наборов параметров, для которых была доказана абсолютная непрерывность. Мы здесь дадим новое доказательство абсолютной непрерывности для этих шести случаев. Мы используем связь указанной задачи с марковскими цепями Блекуэлла [3]. 2.1. Переход к матричной бернуллиевской цепиЗафиксируем вершину $0$ графа $G_{\mathrm{F}}$ и рассмотрим простые циклы (т.е. циклы первого возвращения в эту вершину) вместе с их матричными весами. Эти простые циклы будут состояниями матричной бернуллиевской цепи, а матричный вес последовательности состояний будет равен произведению матричных весов этих состояний. Мера на компакте Бернулли бесконечных слов, составленных из номеров простых циклов, соответствует условной инвариантной мере Эрдёша на $X$ с тем условием, что $x_1x_2\ldots=0x_2\dots$ (все пути в $G_{\mathrm{F}}$ начинаются в вершине $0$).Указанные циклы первого возвращения таковы: $00$, $010$. Их матричные веса (как веса путей в $G_{\mathrm{F}}$) таковы: В результате получена топологическая бернуллиевская цепь с двумя состояниями $1$ и $2$. Этой цепи соответствует полный граф $G_{\mathrm{B}}$ с вершинами $1$, $2$, имеющими матричные веса $m_1$, $m_2$ соответственно. Вес ребра определим равным весу вершины, в которую входит данное ребро.Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_2=\{1,2\},\qquad \mathcal{A}^*_2=\bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{A}_2^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Для слова $a=a_1\dots a_n\in\mathcal{A}^*_2$ обозначим Софическая мера конечного пути $(y_i)_{i=1,\dots,n}$ в графе $G_{\mathrm{B}}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\nu(y_1\dots y_n)=\frac{L(0)m_{y_1}\cdots m_{y_n} R(0)}{L(0)R(0)} = \frac{L(0)m_{y_1\dots y_n} R(0)}{L(0)R(0)},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $L(0)$ и $R(0)$ — соответственно левый и правый собственные векторы с собственным значением $1$ матрицы Напомним, что $L=(L(0),L(1))$. Формула (5) для меры $\nu$ является полным аналогом формулы (4) для меры $\nu_X$. При этом формуле для $\nu$ соответствует матричная бернуллиевская цепь, поскольку блочная матрица софической меры $\nu$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
M_{\mathrm{B}} =\begin{pmatrix} m_1 &m_2 \\ m_1 &m_2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ее левый и правый блочные собственные векторы с собственным значением $1$ соответственно равны $(L(0)m_1,L(0)m_2)$ и $(R(0),R(0))^\top$. Если сделать аналогичный переход от меры Перри, то соответствующая условная мера будет мерой Бернулли (обозначим ее $\nu_{\mathrm{B}}$) с одномерным распределением $(\rho,\rho^2)$. Таким образом, задача об абсолютной непрерывности меры $\nu_X$ сводится к задаче о совпадении софической меры $\nu$ на бернуллиевском компакте $Y$ с мерой $\nu_{\mathrm{B}}$. Сформулируем необходимые условия совпадения мер. Если взять постоянную последовательность состояний $iii\ldots\in Y$, то софическая мера префикса длины $n$ ведет себя как $\lambda^n(m_i)$, где $\lambda(m_i)$ — спектральный радиус матрицы $m_i$. Из совпадения софической меры с бернуллиевской получим Эта формула обобщается на произвольное произведение матриц $m_i$, а именно, При условии (6) имеем $\lambda(m_a\,m_b)=\lambda(m_a)\,\lambda(m_b)$ (это равенство означает мультипликативность спектрального радиуса).В работе [2] было найдено, что только в шести случаях возможна абсолютная непрерывность (наши обозначения незначительно отличаются от обозначений в [2]): 1) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1$, $u=1$; 2) $q=0$, $t=\rho^2$, $s=\rho$, $u=1$; 3) $0\leqslant q<1$, $t=0$, $s=\rho^2$, $u=\rho^2$; 4) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1$, $u=\rho^2$; 5) $q=\rho^2$, $t=\rho^2$, $s=\rho$, $u=\rho$; 6) $q=\rho$, $t= \rho$, $s=\rho^2$, $u=\rho^2$. Заметим, что для случаев 1, 5 и 6 (и случая 3 при $q=0$) имеют место равенства $q=t$ и $s= u$. Это означает совпадение $2$-марковской цепи с $1$-марковской цепью. Эти случаи марковских цепей появились в статье [1], а доказательство абсолютной непрерывности было дано в статье [2]. Мы дадим более краткое доказательство совпадения софической меры с мерой Бернулли для всех случаев. Матрица $m$ имеет размер $12\times12$. В ней шесть нулевых столбцов. Столбцы и строки с такими же номерами вычеркнем из матриц семейства $\mathcal{M}=\{m_1,m_2\}$, сохранив для них те же обозначения. Значение меры $\nu$ при этом не меняется. В более общей операции сокращения размеров матриц вычеркивать надо строки и столбцы с номерами нулевых координат собственных векторов матрицы $m$, отвечающих спектральному радиусу. Назовем такую операцию очисткой семейства матриц. Введем семейство трех матриц $\mathcal{M}'=\{m_1^2,m_2,m_1m_2\}$. Спектральный радиус суммы этих матриц равен $1$. У собственных правого и левого векторов суммы матриц из $\mathcal{M}'$ с собственным значением $1$ встречаются нулевые координаты. Пусть теперь $\mathcal{M}'=\{A_1,A_2,A_3\}$, где матрицы $A_i$ (размера $4\times4$) есть результат очистки $\{m_1^2,m_2,m_1m_2\}$. Обозначим через $L'$, $R'$ левый и правый положительные собственные векторы матрицы $\overline A=A_1+A_2+A_3$, отвечающие спектральному радиусу $1$ и такие, что $L'R'=1$. Введем на бернуллиевском компакте софическую меру $\nu'$, отвечающую семейству $\mathcal{M}'$, с помощью формулы для цилиндров:Справедливо следующее простое (по формулировке), но очень важное утверждение. Утверждение 2. Софическая мера $\nu$, отвечающая семейству матриц $\mathcal{M}=\{m_1,m_2\}$, совпадает с $(\rho,\rho^2)$-мерой Бернулли в том и только том случае, когда софическая мера $\nu'$, отвечающая семейству $\mathcal{M}'=\{A_1,A_2, A_3\}$, совпадает с $(\rho^2,\rho^2,\rho^3)$-мерой Бернулли. Наметим доказательство этого утверждения. Пусть мера $\nu$ совпадает с $(\rho,\rho^2)$-мерой Бернулли. Эта мера Бернулли инвариантна относительно преобразования $S_2\colon y\to S_1^{f_1(y)}y$, где $S_1$ — сдвиг на $Y$, $f_1(y)=2$ для $y=11\dots$ или $y=12\dots$ и $f_1(y)=1$ для $y=2\dots$. Введем также функцию $f(y)$ такую, что $f(y)=1$ для $y=11\dots$, $f(y)=2$ для $y=2\dots$ и $f(y)=3$ для $y=12\dots$. Отображение $y\to y'$, где $y'=f(y)f(S_2y)\ldots f(S_2^ky)\dots$, переводит меру Бернулли на $Y$ в $(\rho^2,\rho^2,\rho^3)$-меру Бернулли на $Y'$. Значит, софическая мера $\nu'$ совпадает с мерой Бернулли на $Y'$. Пусть теперь мера $\nu'$ совпадает с $(\rho^2,\rho^2,\rho^3)$-мерой Бернулли. Из формулы для энтропии где $g(y'_1)=2$ для $y'_1=1$ или $y'_1=3$ и $g(y'_1)=1$ для $y'_1=2$, следует, что энтропия меры $\nu$ на $Y$ совпадает с энтропией $(\rho,\rho^2)$-меры Бернулли. Из совпадения меры $\nu'$ с мерой Бернулли на $Y'$ можно получить конкретные значения параметров $q$, $t$, $s$, $u$ для $2$-марковского случая или значения параметров $q$, $s$ для $1$-марковского случая и вычислить одномерное распределение меры $\nu$. Оно совпадает с распределением $(\rho,\rho^2)$. Отсюда следует совпадение меры $\nu$ с $(\rho,\rho^2)$-мерой Бернулли, поскольку энтропия инвариантной меры $\nu$ совпадает с энтропией ее одномерного распределения.2.2. Цепь БлекуэллаРассмотрим марковскую цепь Блекуэлла $\{\xi_k\}_{k\geqslant0}$ (см. [3]) на симплексе
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S} =\{l\in\mathbf{R}^4\colon l\geqslant0, \, lR'=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
с переходами если $lA_i\ne0$, и вероятностями перехода $lA_i R'$. Напомним, что $R'$ — правый положительный собственный вектор матрицы $\overline A=A_1+A_2+A_3$, отвечающий собственному значению $1$. Рассмотрим процесс $\eta_k=f(\xi_k,\xi_{k+1})$, для которого $f(l,S_il)=i$. Пусть $\xi_0$ распределено по любой инвариантной мере для марковской цепи Блекуэлла, тогда процесс $\{\xi_k\}$ — стационарный и процесс $\{\eta_k\}$ — стационарный. Лемма 1. Распределение процесса $\{\eta_k\}$ — это софическая мера, отвечающая семейству матриц $\mathcal{M}'=\{A_1, A_2, A_3\}$. Доказательство. Пусть $\alpha$ — инвариантная мера для цепи Блекуэлла на симплексе $\mathfrak{S}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(\eta_1=x_1,\dots,\eta_n=x_n) \\ &\qquad=\int_{\mathfrak{S}}d\alpha(l)\, \mathbf{P}(\xi_1=S_{x_1}l,\dots,\xi_n=S_{x_n}\dots S_{x_1}l \mid \xi_0=l) \\ &\qquad=\int_\mathfrak{S} d\alpha(l)\, lA_{x_1}\cdots A_{x_n}R'=\overline{L}^{\,\prime} A_{x_1}\cdots A_{x_n}R', \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{L}^{\,\prime}=\int_\mathfrak{S} d\alpha(l)\,l$.
Поскольку процесс $\{\eta_k\}$ стационарный, то $\overline{L}^{\,\prime}=L'$. Лемма доказана. Заметим, что распределение процесса $\eta_k$ не зависит от выбора инвариантной меры для марковской цепи Блекуэлла. 2.3. Абсолютная непрерывность для 2-марковских коэффициентовПокажем, что для случаев 1–6 имеет место указанное в утверждении 2 совпадение мер. Случаи 1–4Для указанных случаев операция очистки семейства $\mathcal{M}'$ дает три матрицы второго порядка, из них не менее двух ранга $1$. Приведем эти матрицы для всех четырех случаев:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \text{случаи }1 \text{ и }4&: &\quad &A_1=\rho^2\begin{pmatrix}1&0\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_2=\rho^2\begin{pmatrix}0&1\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad A_3=\rho^3\begin{pmatrix}0&1\\ 0&1\end{pmatrix}; \\ \text{случай }2&: &\quad &A_1=\rho^2\begin{pmatrix}0&0\\ 1&1\end{pmatrix},\quad A_2=\rho^2\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad A_3=\rho^3\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}; \\ \text{случай }3&: &\quad &A_1=\rho^2\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix},\quad A_2=\rho^2\begin{pmatrix}0&0\\ 1&1\end{pmatrix}, \quad A_3=\rho^3\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Разберем случай 2. Соответствующие отображения $S_1$, $S_2$, $S_3$ одномерного симплекса (отрезка) — это отображения в точку. Отображения $S_1$, $S_2$ переводят весь отрезок в точку $(1/2,1/2)$. Третье отображение оставляет каждую точку отрезка неподвижной. Любая инвариантная мера Блекуэлла — мера Дирака в точке $l=(1/2,1/2)$. В данном случае стационарная цепь Блекуэлла — это схема Бернулли с одномерным распределением $(\rho^2,\rho^2, \rho^3)$. Значит, и процесс $\{\eta_k\}$ — та же схема Бернулли. Точно такая же одноточечная инвариантная мера Блекуэлла возникает для случаев 1, 3 и 4. Замечание. Для случаев 2, 3 строка $L'=(1/2,1/2)$, а для случаев 1, 4 столбец $R'=(1,1)^\top$ является общим собственным вектором для матриц $A_1$, $A_2$, $A_3$ с собственными значениями $\rho^2$, $\rho^2$, $\rho^3$. Из формулы для софической меры цилиндров получаем совпадение с нашей бернуллиевской мерой. Случай 6После очистки семейство $\mathcal{M}'$ остается семейством матриц 4-го порядка:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1=\rho^2\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&\rho&\rho^2&0\\ 0&\rho&\rho^2&0\end{pmatrix}, \qquad A_2=\rho^2\begin{pmatrix}0&\rho^2&\rho&0\\ 0&\rho^2&\rho&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}, \\ A_3=\rho^3\begin{pmatrix}0&\rho^2&\rho&0\\ 0&\rho^2&\rho&0\\ 0&\rho&\rho^2&0\\ 0&\rho&\rho^2&0\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Вектор $R'=(1,1,1,1)^\top$ является собственным для каждой матрицы $A_i$. Переходные вероятности равны $\rho^2$, $\rho^2$, $\rho^3$. Из формулы для софической меры $\nu'$ получаем совпадение с нашей бернуллиевской мерой. Случай 5Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1=\rho^2\begin{pmatrix}\rho^2&0&0&0\\ \rho^2&0&0&0\\ 0&\rho&1&0\\ 0&\rho&1&0\end{pmatrix},\qquad A_2=\rho^2\begin{pmatrix}0&1&\rho&0\\ 0&1&\rho&0\\ 0&0&0&\rho^2\\ 0&0&0&\rho^2\end{pmatrix}, \\ A_3=\rho^3\begin{pmatrix}0&\rho&\rho^2&0\\ 0&\rho&\rho^2&0\\ 0&\rho^2&\rho&0\\ 0&\rho^2&\rho&0\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что сумма этих матриц стохастична по строкам. Предъявим инвариантную меру цепи Блекуэлла. Пусть
$$
\begin{equation*}
l_1=0.5\,(\rho^2,\rho,1,0),\qquad l_2=0.5\,(0,1,\rho,\rho^2),\qquad l_3=0.5\,(0,1,1,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathfrak{L}=\{l_1,l_2,l_3\}$ инвариантно относительно $S_i$, $i=1,2,3$. Цепь Блекуэлла на этом множестве имеет бернуллиевскую переходную матрицу
$$
\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix}\rho^2&\rho^2&\rho^3\\ \rho^2&\rho^2&\rho^3\\ \rho^2&\rho^2&\rho^3\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мера $\alpha$ на симплексе, заданная формулой
$$
\begin{equation*}
\alpha(\{l_1\})=\rho^2,\qquad \alpha(\{l_2\})=\rho^2,\qquad \alpha(\{l_3\})=\rho^3,
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантна для марковской цепи Блекуэлла. Отсюда следует, что процесс $\{\eta_k\}$ — это схема Бернулли с одномерным распределением $(\rho^2,\rho^2,\rho^3)$. Получилось совпадение мер. 2.4. Новое доказательство для марковских коэффициентовКак уже отмечалось, случаи 1, 5, 6 и частично случай 3 (при $q=0$) являются случаями марковских коэффициентов. Иными словами, в этих случаях $2$-марковская цепь есть $1$-марковская цепь и мы можем задать переходную матрицу в виде В итоге семейство трех матриц шестого порядка $\{m_1^2,m_2,m_1m_2\}$ после очистки имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1=\begin{pmatrix}q^2& 0\\ s(1-s)& s(1-q)\end{pmatrix},\qquad B_2=\begin{pmatrix}s(1-q) &q(1-q)\\ 0 &(1-s)^2\end{pmatrix}, \\ B_3=\begin{pmatrix}sq(1-q) &q^2(1-q)\\ s(1-s)^2 &s(1-s)(1-q)\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из совпадения мер следует мультипликативность спектрального радиуса и два равенства $\lambda(B_1)=\rho^2$, $\lambda(B_2)=\rho^2$. Спектральные радиусы равны
$$
\begin{equation*}
\lambda(B_1) =\max\{q^2,s(1-q)\},\qquad \lambda(B_2)=\max\{(1-s)^2,s(1-q)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $s (1-q)<\rho^2$, тогда имеем одно решение: $q=\rho$, $1-s=\rho$. Пусть теперь $s (1-q)=\rho^2$. Обозначим через $\chi_{B_3}(x)$ характеристический многочлен матрицы $B_3$. Поскольку $\lambda(B_3)=\rho^3$, то $\chi_{B_3}(\rho^3)=0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &= \bigl(s^2(1-q)^2q (1-s)-s (1-q)q^2(1-s)^2 \\ &\qquad -s (1-q)(1-s+q)x +x^2\bigr)\big|_{x=\rho^3} \\ &=\rho^2[q (1-s)(\rho^2-q (1-s)) -(1-s+q)\rho^3 +\rho^4]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учет равенства $s (1-q)=\rho^2$ позволяет исключить $1-s$. В результате приходим к уравнению которое имеет три корня: 0, $\rho$ и $\rho^2$ (кратный корень). Всего получаем четыре решения: (a) $q=\rho$, $s=1$ (2-марковская цепь, случай 1); (b) $q=0$, $s=\rho^2$ (2-марковская цепь, случай 3 при $q=0$); (c) $q=\rho$, $s=\rho^2$ (2-марковская цепь, случай 5); (d) $q=\rho^2$, $s=\rho$ (2-марковская цепь, случай 6). В случае (a) мера Эрдёша совпадает с инвариантной мерой Эрдёша и совпадает с единственной $T$-инвариантной абсолютно непрерывной мерой (мерой с максимальной энтропией $\ln\beta$). Случай (b) — это случай такого же совпадения при кодировании $x \in[0,1]$ по формуле
$$
\begin{equation*}
x \to \{1-x_1(x),1-x_1(T x),\dots ,1-x_1(T^n x),\dots\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для случая (c) имеем
$$
\begin{equation*}
B_1=\rho^2\begin{pmatrix}1& 0\\ \rho& \rho^2\end{pmatrix},\qquad B_2=\rho^2\begin{pmatrix}\rho^2 &\rho\\ 0 &1\end{pmatrix},\qquad B_3=\rho^3\begin{pmatrix}\rho^2 &\rho\\ \rho &\rho^2\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $R'=(1,1)$ и $L'$ — соответственно правый и левый собственные векторы для $B_1 +B_2+B_3$ с собственным значением $1$, причем $L'R'=1$. Имеем $B_1R' =\rho^2R'$, $B_2R'=\rho^2R'$, $B_3R'=\rho^3R'$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\nu'(x_1\dots x_n)=L'B_{x_1}\cdots B_{x_n}R'=L'R'p(x_1)\cdots p(x_n) =\prod_{i=1}^n p(x_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p(1)=p(2)=\rho^2$, $p(3)=\rho^3$. Получили совпадение мер, т.е. мера Эрдёша абсолютно непрерывна. Для случая (d) матрицы $B_1$, $B_2$, $B_3$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
B_1=\rho^2\begin{pmatrix}\rho^2& 0\\ \rho& 1\end{pmatrix},\qquad B_2=\rho^2\begin{pmatrix}1 &\rho\\ 0 &\rho^2\end{pmatrix}, \qquad B_3=\rho^3\begin{pmatrix}\rho &\rho^2\\ \rho^2 &\rho\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $L'=(1/2,1/2)$. Заметим, что $L'(B_1+B_2+B_3)=L'$, а также $L'B_1=\rho^2L'$, $L'B_2=\rho^2L'$, $L'B_3=\rho^3L'$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\nu'(x_1\dots x_n)=L'B_{x_1}\cdots B_{x_n}R'=p(x_1)\cdots p(x_n)L'R' =\prod_{i=1}^n p(x_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p(1)=p(2)=\rho^2$, $p(3)=\rho^3$. Получили совпадение мер, т.е. мера Эрдёша абсолютно непрерывна.
3. Случай числа трибоначчиПусть $\beta$ — число трибоначчи, для которого $\beta^3=\beta^2 +\beta+1$. Параметр $\rho=1/\beta$ удовлетворяет уравнению $\rho+\rho^2+\rho^3=1$. Уравнение самоподобия имеет вид
$$
\begin{equation*}
d\widehat F(x)=p_0d\widehat F(\beta x)+p_1d\widehat F(\beta x-1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat F(x)=(F_{00}(x),F_{10}(x),F_{01}(x),F_{11}(x))^\top$ и условные функции распределения $F_{kl}$ соответствуют числу трибоначчи. Введем векторную функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde F(x)=\bigl(\widehat{F}^\top(x), \widehat{F}^\top(x+\rho), \widehat{F}^\top(x+\rho+\rho^2), \widehat{F}^\top(x+1)\bigr),\qquad x\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и блочные матрицы
$$
\begin{equation*}
M_0=\begin{pmatrix}p_0 &0&0&0\\ p_1 &0 &0 &p_0\\ 0& p_1 &0&0\\ 0&0 &p_1 &0\end{pmatrix},\qquad M_1=\begin{pmatrix} p_1 &0&0 &p_0\\ 0&0&0 &p_1 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $Tx=\{\beta x\}$, $x\in[0,1]$, — эндоморфизм единичного отрезка. Рассмотрим разбиение промежутка $[0,1)$:
$$
\begin{equation}
\Delta_0=[0,\rho), \quad \Delta_1=[\rho,\rho+\rho^2),\quad \Delta_2=[\rho+\rho^2,1).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Определим функцию $x_1(x)$ формулой Функция $\widetilde F(x)$ удовлетворяет уравнению (в смысле теории обобщенных функций) Разбиение (7) для эндоморфизма $T$ является марковским:
$$
\begin{equation*}
T\Delta_i =\bigcup_{j=0}^2 a_{ij}\Delta_j, \quad 1\,\Delta_i=\Delta_i, \quad 0\,\Delta_i=\varnothing, \qquad i=0,1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A=(a_{ij})$ — матрица трибоначчи: Граф трибоначчи $G_{\mathrm{T}}$ изображен на рис. 2. С этим графом связан марковский компакт $X$ бесконечных слов с алфавитом $\{0,1,2\}$:
$$
\begin{equation*}
X=\{x_1x_2\dots x_n\ldots\colon a_{x_k x_{k+1}}=1,\, k\geqslant1\}
\end{equation*}
\notag
$$
— с метрикой $\rho^{n(x,y)}$, где $n(x,y)$ — длина наибольшего общего префикса слов $x,y\in X$. Функции $M_{x_1(x)}$, которая на $\Delta_0$ равна $M_0$, а на $\Delta_1$ и $\Delta_2$ равна $M_1$, соответствует функция $m(j)$ на состояниях $j\in\{0,1,2\}$ (вершинах графа $G_{\mathrm{T}}$): $m(0)=M_0$, $m(1)=m(2)=M_1$. На рис. 2 на ребрах указаны значения этой функции, отвечающие концу ребра. Функция $m(j)$ задает матричные веса как вершин, так и ребер. Эта функция определяет софическую меру $\nu$, инвариантную относительно сдвига на марковском компакте $X$.Софическая мера задается (см. [2]) блочной матрицей $M =(m_{ij})$, где $m_{ij}=a_{ij}m(j)$. Утверждение 3. Спектральный радиус матрицы $M$ равен $1$, и собственное значение $1$ — простое для $M$. Матрице $M$ соответствует нагруженный граф $G_{\mathrm{T}}$. Нагрузка (матричный вес) на ребре $(i,j)$ — это $m_{ij}$ (см. рис. 2). Матричный вес пути $x_1x_2\dots x_n$ равен
$$
\begin{equation*}
m_{x_1x_2}m_{x_2x_3}\cdots m_{x_{n-1}x_n} =m(x_2)m(x_3)\cdots m(x_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $R=(R(0),R(1),R(2))^\top$ — неотрицательный блочный правый собственный вектор матрицы $M$ и $L=(L(0),L(1),L(2))$ — неотрицательный блочный левый собственный вектор матрицы $M$ с собственным значением $1$. Софическая мера (инвариантная мера Эрдёша) на $X$ задается вероятностями конечных путей $x_1x_2\dots x_n$ в графе $G_{\mathrm{T}}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\nu_X(x_1x_2\dots x_n) =\frac{L(x_1)m(x_2)\cdots m(x_n)R(x_n)}{LR}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [2]). Задача об абсолютной непрерывности меры Эрдёша сводится к следующей задаче по аналогии с работой [2]: определить, для каких параметров $q$, $t$, $s$, $u$ инвариантная мера Эрдёша $\nu_X$ совпадает с мерой Перри (марковской мерой с максимальной энтропией $\ln\beta$) на марковском компакте $X$. 3.1. Переход к матричной бернуллиевской цепиЗафиксируем вершину $0$ графа $G_{\mathrm{T}}$ и рассмотрим простые циклы первого возвращения в эту вершину вместе с их матричными весами. Имеем циклы $11$, $121$, $132$ с весами Мера $\nu$ на компакте Бернулли $Y=\{1,2,3\}^\mathbf{N}$ бесконечных слов, составленных из номеров простых циклов, соответствует условной инвариантной мере Эрдёша на $X$ с условием $x_1x_2\ldots =0x_2\dots$.Возникает матричная бернуллиевская цепь с тремя состояниями, которые есть указанные простые циклы. Этой цепи соответствует полный граф $G_{\mathrm{B}}$ с вершинами $1$, $2$, $3$, имеющими матричные веса $m_1$, $m_2$, $m_3$ соответственно. Софическая мера конечного пути $(y_i)_{i=1,\dots,n}$ в графе $G_{\mathrm{B}}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\nu(y_1\dots y_n)=\frac{L\,m_{y_1}\cdots m_{y_n} R}{L\,R},
\end{equation*}
\notag
$$
где векторы $L$ и $R$ являются левым и правым собственными векторами с собственным значением $1$ матрицы а блочные векторы $(L m_1,L m_2,L m_3)$ и $(R,R,R)^\top$ являются левым и правым собственными векторами с собственным значением 1 блочной бернуллиевской матрицы
$$
\begin{equation*}
M_{\mathrm{B}} =\begin{pmatrix}m_1 &m_2 &m_3\\ m_1 &m_2 &m_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если сделать аналогичный переход от меры Перри, то соответствующая условная мера будет мерой Бернулли с одномерным распределением $(\rho,\rho^2,\rho^3)$. Таким образом, наша задача свелась к задаче о совпадении софической меры $\nu$ с указанной бернуллиевской мерой. 3.2. Два случая абсолютной непрерывностиРассмотрим последовательность $iii\ldots\in Y$. Для этой последовательности софическая мера $\nu$ префикса длины $n$ ведет себя как $\lambda^n(m_i)$, где $\lambda(m_i)$ — спектральный радиус матрицы $m_i$. Из совпадения меры $\nu$ с бернуллиевской мерой получим соотношения $\lambda(m_i)=\rho^i$, $i=1,2,3$. Отсюда имеем два независимых уравнения на четыре параметра:
$$
\begin{equation}
\lambda(m_2) =s(1-t) =\rho^2, \qquad \lambda(m_3) =u(1-s)(1-t) =\rho^3.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Совпадение меры $\nu$ с бернуллиевской мерой влечет мультипликативность спектрального радиуса на полугруппе, порожденной матрицами $m_1$, $m_2$, $m_3$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\lambda(m_a)=\rho^{a_1+\dots+a_n},\qquad a=a_1\dots a_n\in\mathcal{A}^*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{A}^*$ — множество всех конечных слов на алфавите $\{1,2,3\}$. Добавим уравнение при $a=13$: Заметим, что
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda(m_2)\lambda(m_{13})}{\lambda(m_3)} =st(1-q)=\rho^3.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Добавим еще два уравнения:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda(m_{1123}) =u(1-s)(1-t)[qst(1-q) +s(1-t)(1-u)^2] =\rho^7, \\ \lambda(m_{1133}) =u(1-s)(1-t)[qtu(1-q)(1-s) +s(1-t)(1-u)^3] =\rho^8. \end{cases}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Упростим уравнения (11), используя (8)–(10):
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \rho^3[\rho^3 q +\rho^2(1-u)^2] =\rho^7, \\ \rho^3[\rho^4 q +\rho^2(1-u)^3] =\rho^8 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} (1-u)^2 =\rho(\rho-q), \\ (1-u)^3 =\rho^2(\rho-q). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученной системы имеем либо $1-u=\rho-q=0$, либо $1-u =\rho-q=\rho$. Отсюда, используя (8), получаем два решения: 1) $q=\rho$, $t=\rho$, $s=1/(1+\rho)$, $u=1$; 2) $q=0$, $t=\rho/(1+\rho)$, $s=1-\rho$, $u=1-\rho$. Первое решение отвечает мере с максимальной энтропией на компакте трибоначчи (когда в бесконечных словах из $\{0,1\}^\mathbf{N}$ есть запрет подслова $111$). В этом случае носитель меры Эрдёша совпадает с отрезком $[0,1]$ и мера Эрдёша совпадает с инвариантной мерой Эрдёша и с мерой Перри. Второе решение отвечает мере с максимальной энтропией на компакте антитрибоначчи (когда есть запрет подслова $000$). В этом случае также носитель меры Эрдёша совпадает с отрезком $[0,1]$, и мера Эрдёша совпадает с инвариантной мерой Эрдёша и с мерой Перри. Замечание. Для случая полной $2$-марковской меры на $\{0,1\}^\mathbf{N}$ (когда мера любого цилиндра положительна) мы тем самым доказали, что мера Эрдёша сингулярна. Кроме того, из вида полученных решений следует новое доказательство теоремы работы [6] о сингулярности меры Эрдёша для 1-марковских коэффициентов и числа трибоначчи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KulOleOse24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|