О приближении сумм локально зависимых случайных величин с использованием возмущений оператора Стейна

Пусть $(X_i,\, i\in J)$ есть семейство локально зависимых неотрицательных целочисленных случайных величин, рассмотрим сумму $W=\sum_{i\in J}X_i$. Используя метод Стейна, мы устанавливаем верхнюю границу для полной вариации $d_{\mathrm{TV}}(W, M)$, где приближающая случайная величина $M$ имеет распределение, являющееся смесью пуассоновского распределения либо с биномиальным, либо с отрицательным биномиальным распределением. Как следствие общих результатов, мы получаем оценки приближения порядка $O(|J|^{-1})$ для распределений ($k_1,k_2$)-серий и $k$-серий. Полученные результаты значительно улучшают известные ранее оценки, такие, например, как $O(|J|^{-0.5})$ (Bernoulli, 19(2013), 610–623) и $O(1)$ (Bernoulli, 23(2017), 2828–2859).