Влияние условий Винклера–Стеклова на собственные колебания упругого весомого тела

Рассмотрена спектральная задача для пространственной системы уравнений теории упругости. На малых участках поверхности тела поставлены условия Винклера–Стеклова, моделирующие пружинные крепления, а остальная часть границы свободна от внешних воздействий. В нескольких случаях (варьируются относительная жесткость пружинок и их взаимное расположение) построена асимптотика собственных частот колебаний тела и соответствующих собственных мод. В качестве предельных задач выступают задача для самого тела (спектральная или стационарная в некоторых случаях) и задачи теории упругости для полупространства с условиями Винклера–Стеклова на плоских множествах (изолированные или объединенные в единую спектральную задачу в некоторых случаях). Дискретность спектра задачи в полупространстве обеспечена полиномиальным свойством системы уравнений теории упругости. Разобраны частные случаи, сформулированы открытые вопросы и обсуждены патологические ситуации, в которых спектр теряет привычные свойства. Построены асимптотические модели задачи, предоставляющие двучленные асимптотики собственных пар исходной задачи и использующие технику самосопряженных расширений дифференциальных операторов или гильбертовы весовые пространства с отделенной асимптотикой.