Однопараметрические семейства конформных отображений неограниченных двусвязных многоугольных областей

Мы предлагаем приближённый метод нахождения конформного отображения концентрического кольца на произвольную неограниченную двусвязную многоугольную область. Этот метод основан на идеях, связанных с параметрическим методом Лёвнера — Комацу. Мы рассматриваем гладкие однопараметрические семейства конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ концентрических колец на двусвязные многоугольные области $\mathcal{D}(t)$, которые получаются из фиксированной неограниченной двусвязной многоугольной области $\mathcal{D}$ проведением конечного числа прямолинейных или, в общем случае, полигональных разрезов переменной длины; при этом мы не требуем монотонности семейства областей $\mathcal{D}(t)$. В интегральное представление для конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ входят неизвестные (акцессорные) параметры. Мы находим дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяют такие семейства конформных отображений, и выводим из него систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику акцессорных параметров при изменении параметра $t$ и динамику конформного модуля данной двусвязной области в зависимости от параметра $t$. Отметим, что в правые части полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений входят функции, которые являются скоростями движения концевых точек разрезов. Это позволяет полностью контролировать динамику разрезов, в частности, добиваться их согласованного изменения в случае, если в области $\mathcal{D}$ проводится более одного разреза. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода. Отметим, что предложенный в этой работе параметрический метод уже рассматривался нами для случая ограниченных двусвязных многоугольных областей.