Об одном приложении интерполирующей функции Леонтьева в теории тригонометрически выпуклых функций

Исследуется связь $\rho$–тригонометрически выпуклых функций с классом субгармонических функций. Установленная связь используется для доказательства новых неравенств, характеризующих $\rho$–тригонометрически выпуклые функции и нахождения интегральных уравнений первого рода, которым удовлетворяют $\rho$–тригонометрические функции. При более детальной разработке этой темы появляется свёрточное интегральное уравнение
$$ h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}h(\theta-u)d\sigma(u), $$
где $\sigma$ — конечная финитная мера. Результаты по теории этого уравнения излагаются следуя А.Ф. Леонтьеву, который изучал его в связи с теорией рядов Дирихле. Используя интерполирующую функцию Леонтьева, предлагаются дополнительные условия, гарантирующее, что непрерывное решение уравнения
\begin{equation*} h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}a_R(u)h(\theta-u)du \end{equation*}
при фиксированном $R$ будет $\rho$–тригонометрической функцией.