О максимуме сумм случайного числа независимых случайных величин

Пусть $\{\xi_n\}$ – последовательность независимых случайных величин $S_n=\xi_1+\dots+\xi_n, ~\bar{S}_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}|S_k|, ~n\geq 1.$ Показано, что правильное изменение функции $N_n(t)=\sum\limits_{k=1}^n P(|\xi_k|\geq t)$ на бесконечности, где $P$ – знак вероятности, влечет предельные соотношения $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{P(\bar{S}_n\geq t)}{N_n(t)}= \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{P(|S_n|\geq t)}{N_n(t)}=1.$ Пусть $v>0$ – не зависящая от $\{\xi_n\}$ целочисленная случайная величина с конечным математическим ожиданием,
$$ S_v=\xi_1+\dots+\xi_v, ~\bar{S}_v=\max\limits_{1\leq n\leq v}|S_n|.$$
Рассмотрим следующую модель. Пусть $\{\delta_n\}$ – последовательность положительных чисел, $\alpha\geq 0, ~L(t) $ медленно меняется на бесконечности, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\big(P(|\xi_n|\geq t) / t^{-\alpha}L(t)\big)= \delta_n$ равномерно на $n\geq 1.$ Обозначим $c_n=(v=n), A_n=\sum\limits_{k=1}^n \delta_n,~ n\geq 1,~A=\sum\limits_{n\geq 1}c_n \cdot A_n$. Доказано, что в рамках модели $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{P(\bar{S}_v\geq t)}{ t^{-\alpha}L(t)}= \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{P(|S_v|\geq t)}{ t^{-\alpha}L(t)}=A.$ В вышеупомянутых условиях при существовании асимметрии у $P(\xi_n <x),~ n\geq 1,$ найдена асимметрия у $P(S_v<x).$