An introduction to finite type invariants of knots and 3-manifolds defined by counting graph configurations

Концепция инвариантов конечного типа для узлов была предложена в 90-х гг. в работах Васильева, Гусарова и Бар-Натана с целью классификации инвариантов узлов вскоре после появления многочисленных квантовых инвариантов узлов. Эта очень полезная концепция была расширена Отсуки до случая инвариантов трехмерных многообразий. В статье показывается, как определить инварианты конечного типа для узлов и трехмерных многообразий путем подсчета конфигураций графа в трехмерных многообразиях. Мы следуем идеям Виттена и Концевича. Число зацеплений является простейшим инвариантом конечного типа для двухкомпонентных зацеплений. Он определяется несколькими эквивалентными способами в первом разделе. В качестве важного примера приводится его определение как алгебраическое пересечение тора и 4-цепи, называемое пропагатором в конфигурационном пространстве. Во втором разделе мы вводим простейший инвариант конечного типа для трехмерных многообразий — инвариант Кассона (или $\Theta$-инвариант) целочисленных гомологических 3-сфер. Он определяется как алгебраическое пересечение трех пропагаторов в одном и том же двухточечном конфигурационном пространстве. В третьем разделе описано общее понятие инварианта конечного типа и введены соответствующие пространства диаграмм Фейнмана–Якоби. В разделах 4 и 5 мы даем набросок оригинальной конструкции, основанной на интегралах конфигурационного пространства универсальных инвариантов конечного типа для зацеплений в рациональных гомологических сферах, а также формулируем несколько нерешенных проблем. Наша конструкция обобщает известные конструкции для зацеплений в 3 и для рациональных гомологических 3-сфер, что делает ее более гибкой. В разделе 6 детально описываны необходимые свойства параллелизаций трехмерных многообразий и соответствующих классов Понтрягина.