Ручные априорные оценки в пространствах Соболева для задачи со свободной границей «плазма-вакуум»

В данной работе рассматривается задача со свободной границей «плазма–вакуум» для случая, когда плотность плазмы строго положительна вплоть до границы. Течение плазмы описывается уравнениями магнитной гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости. В отличие от классической постановки, в которой область вакуума описывается $\mathrm{div}$-$\mathrm{rot}$ системой, мы не пренебрегаем током смещения и рассматриваем полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. Данная работа является продолжением статьи Мандрика и Трахинина 2014 г., где было найдено и исследовано достаточное условие корректности линеаризованной задачи, а также были получены базовые априорные оценки и исследовано влияние электрического поля в вакууме на корректность задачи. Тот факт, что свободная граница является характеристической, а условие Крайса–Лопатинского выполнено только в слабом смысле, ведет к использованию весовых анизотропных пространств Соболева $H^s_*$ и потере производных в априорных оценках. Предполагая, что в каждой точке невозмущенной свободной границы выполняется упомянутое достаточное условие корректности, мы выводим для линеаризованной задачи, так называемые, ручные априорные оценки в $H^s_*$, которые в дальнейшем могут быть использованы для доказательства существования решений нелинейной задачи с помощью метода Нэша–Мозера.