Оптимальные оценки количества звеньев базисных горизонтальных ломаных для 2-ступенчатых групп Карно с горизонтальным распределением коранга 1

Доказано, что для 2-ступенчатой группы Карно $\Bbb D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1,$ $\dim\Bbb D_n=n+1,$ минимальное число $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}$ такое, что любые две точки $u,v\in\Bbb D_n$ можно соединить базисной горизонтальной $k$-ломаной (ломаной, состоящей из $k$ звеньев) $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v),$ $k\leq N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}},$ не превосходит $n+2.$ Построены примеры групп $\Bbb D_n,$ для которых $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}=n+i,$ $i=1,2.$ Здесь $\mathcal{X}_{\Bbb D_n}=\{X_1,\ldots,X_n\}$ — набор базисных левоинвариантных горизонтальных векторных полей алгебры Ли группы $\Bbb D_n,$ а звено ломаной $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v)$ имеет вид $\exp(asX_i)(w),$ $s\in[0,s_0],$ $a=const.$