О комплексных операторных функциях комплексного операторного переменного

Рассмотрено семейство комплексных операторных функций, область определения и область значений которых включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в банаховом пространстве комплексных векторов над полем вещественных чисел. Показано, что исследование данной функции из этого семейства сводится к изучению пары действительных операторных функций двух действительных операторных переменных. Рассмотрены основные элементарные функции данного семейства: степенная функция; экспонента; тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс; доказано основное свойство экспоненты. Получена комплексная операторная формула Эйлера. Найдены соотношения, выражающие синус и косинус через экспоненту. Для тригонометрических функций синус, косинус обоснованы формулы сложения. Доказана периодичность экспоненты, тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс; для этих функций указаны формулы приведения.