О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций в пространстве $L_{2}$

Рассматривается множество $L_{2}^{(r)}$ $2\pi$-периодических функций $f\in L_{2},$ у которых производная $(r-1)$-го порядка абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}.$ Решается экстремальная задача нахождения точной константы типа Джексона–Стечкина, связывающей наилучшее полиномиальное приближение функций из $L_{2}^{(r)}$ и усредненное значение обобщенного модуля непрерывности $m$-го порядка их производной $f^{(r)}$ в пространстве $L_{2}.$ Также рассмотрены классы $W_{m}^{(r)}(u)$ и $W_{m}^{(r)}(u,\Phi)$ функций из $L_{2}^{(r)}$ таких, что усредненное значение обобщенного модуля непрерывности $m$-го порядка их производной $f^{(r)}$ ограничено сверху единицей и, соответственно, значением некоторой функции $\Phi(u).$ Вычислены точные значения известных $n$-поперечников (по Бернштейну, по Гельфанду, колмогоровского, линейного и проекционного) класса $W_{m}^{(r)}(u).$ Затем решена экстремальная задача нахождения точного значения наилучшего приближения для класса $W_{m}^{(r)}(u,\Phi).$ Полученные результаты развивают и дополняют некоторые известные результаты о наилучшем приближении в $L_{2}$ различных классов функций. В работе мы используем методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах, а также метод оценки снизу $n$-поперечников функциональных классов в банаховых пространствах, разработанный В. М. Тихомировым.