О сохранении отношения смежности треугольников при квазиизометрическом отображении

В настоящей работе предлагается количественная характеристика отношения смежности двух треугольников, представляющая собой расстояние $\rho$ в пространстве $4$-точечных семейств от семейства $X$, определяемого данной парой смежных треугольников, до множества $\mathcal{Y}^*$ семейств, определяемых всевозможными парами несмежных треугольников (с общей стороной). Такая характеристика представляет собой локальный достаточный признак отсутствия захлеста сетки при квазиизометрическом отображении и может быть применена для составления триангуляции заданной области как образа некоторой эталонной триангулированной области. Для вычисления величины $\rho(X,\mathcal{Y}^*)$ требуется конструктивно указать в $\mathcal{Y}^*$ некоторое подмножество, расстояние от $X$ до которого равно $\rho(X,\mathcal{Y}^*)$. Это требует, в свою очередь, разбиения множества $\mathcal{Y}^*$ на $15$ классов и исследования каждого из них на предмет исключения «лишних» семейств и описания оставшихся. Ввиду большого объема полного исследования в статье дано исследование только трех классов из указанных $15$-ти. Два из них являются «узловыми» в общей схеме исследования, на примере третьего показан комбинаторный характер задачи.