| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Полунепрерывность снизу возмущения квантовой относительной энтропии квантовыми операциями и ее следствия М. Е. Широков Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10107e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеКвантовая относительная энтропия – одна из важнейших характеристик квантовых состояний, которая существенно используется при анализе информационных и статистических свойств квантовых систем и каналов [1]–[6]. С математической точки зрения квантовая относительная энтропия $D(\rho\,\|\,\sigma)$ – это совместно выпуклая функция пары $(\rho,\sigma)$ квантовых состояний (или, более общо, положительных ядерных операторов), принимающая значения в $[0,+\infty]$. Одно из фундаментальных свойств квантовой относительной энтропии – монотонность при действии квантовых операций (вполне положительных не увеличивающих след линейных отображений), которая означает, что
$$
\begin{equation*}
D(\Phi(\rho)\,\|\, \Phi(\sigma))\leqslant D(\rho\,\|\,\sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольной квантовой операции $\Phi$ из квантовой системы $A$ в квантовую систему $B$ и любых состояний $\rho$ и $\sigma$ системы $A$ (с возможным значением $+\infty$ с одной или обеих сторон) [7]. Другим важным и широко используемым свойством квантовой относительной энтропии является ее (совместная) полунепрерывность снизу, которая означает, что множество пар $(\rho,\sigma)$ таких, что $D(\rho\,\|\,\sigma)\leqslant c$, – это замкнутое подмножество в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ для любого $c\geqslant0$, где $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ – конус положительных ядерных операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ [4], [5], [8]. В настоящей статье изучается неотрицательная функция
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)\doteq D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))
\end{equation*}
\notag
$$
для заданной произвольной квантовой операции $\Phi\colon A\to B$, которая корректно определена на множестве всех пар $(\rho,\sigma)$ в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$ таких, что $D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))<+\infty$. Если $\Phi$ – квантовый канал (сохраняющая след квантовая операция), то функция $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ характеризует степень обратимости $\Phi$. В силу теоремы Петса (см. [9]) равенство $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)=0$ для некоторых квантовых состояний $\rho$ и $\sigma$ равносильно тому, что канал $\Phi$ (полностью) обратим относительно этих состояний (это означает существование такого квантового канала $\Psi=\Psi(\Phi,\rho,\sigma)$, что $\rho=\Psi\circ\Phi(\rho)$ и $\sigma=\Psi\circ\Phi(\sigma)$). Если $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)\leqslant\varepsilon$, то канал $\Phi$ $\varepsilon$-обратим относительно состояний $\rho$ и $\sigma$ в том смысле, что существует такой квантовый канал $\Psi=\Psi(\Phi,\rho,\sigma)$, что
$$
\begin{equation*}
F(\rho,\Psi\circ\Phi(\rho))\geqslant \exp\biggl(-\frac{\varepsilon}2\biggr), \qquad \sigma=\Psi\circ\Phi(\sigma),
\end{equation*}
\notag
$$
где $F(\cdot,\cdot)$ – точность воспроизведения (fidelity) квантовых состояний [10]–[12]. Мы докажем, что функция $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ полунепрерывна снизу на своей области определения для любой заданной квантовой операции $\Phi$. Более того, мы докажем, что функция полунепрерывна снизу на множестве
$$
\begin{equation}
\bigl\{(\rho,\sigma,\Phi)\in\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A) \times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)\times\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B) \bigm| D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))<+\infty\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B)$ – множество всех квантовых операций из $A$ в $B$, снабженное топологией сильной сходимости [13], [14]. Последнее свойство означает, что множество всех троек $(\rho,\sigma,\Phi)$ таких, что $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)\leqslant\varepsilon$, – это замкнутое подмножество множества (1.1) для любого $\varepsilon\geqslant0$. Оно также показывает, что равенство
$$
\begin{equation}
D(\rho\,\|\,\sigma)=D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))+\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
– это разложение $D(\rho\,\|\,\sigma)$ в сумму двух неотрицательных полунепрерывных снизу функций на множестве (1.1), поскольку полунепрерывность снизу функции $(\rho,\sigma,\Phi)\mapsto D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$ следует из полунепрерывности снизу квантовой относительной энтропии и определения сильной сходимости. Из разложения (1.2) непосредственно следует, что локальная непрерывность величины $D(\rho\,\|\,\sigma)$ (как функции пары $(\rho,\sigma)$) влечет локальную непрерывность величин $D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$ и $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ (рассматриваемых либо как функции пары $(\rho,\sigma)$ при фиксированной операции $\Phi$, либо как функции тройки $(\rho,\sigma,\Phi)$). Это свойство было первоначально доказано в [15] прямым и технически сложным способом с использованием критерия сходимости квантовой относительной энтропии, предложенного в работе [15]. Более того, разложение (1.2) позволяет показать, что
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to+\infty}D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))-D(\Phi(\rho_0) \,\|\,\Phi(\sigma_0))\leqslant\limsup_{n\to+\infty}D(\rho_n\,\|\,\sigma_n)-D(\rho_0\,\|\,\sigma_0)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
для произвольной квантовой операции $\Phi\colon A\to B$ и любых последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящихся к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ таким, что $D(\rho_0\,\|\,\sigma_0)<+\infty$. Поскольку величина в правой части (1.3) характеризует локальную разрывность квантовой относительной энтропии для заданных сходящихся последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ (она всегда неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда $D(\rho_n\,\|\,\sigma_n)$ сходится к $D(\rho_0\,\|\,\sigma_0)$), неравенство (1.3) можно интерпретировать как “сжатие” возможных разрывов квантовой относительной энтропии при действии квантовых операций. Значительная часть настоящей статьи посвящена различным применениям рассмотренного выше общего свойства при анализе локальной непрерывности квантовой относительной энтропии и связанных с ней функций (квантовой взаимной информации, условной относительной энтропии и др.). § 2. Предварительные сведения2.1. Основные обозначенияПусть $\mathcal{H}$ – сепарабельное гильбертово пространство, $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ – алгебра всех ограниченных операторов в $\mathcal{H}$ с операторной нормой $\|\cdot\|$ и $\mathfrak{T}( \mathcal{H})$ – банахово пространство всех ядерных операторов в $\mathcal{H}$ со следовой нормой $\|\cdot\|_1$. Пусть $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ – множество квантовых состояний (положительных операторов в $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ с единичным следом) [14], [16], [17]. Обозначим единичный оператор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ через $I_{\mathcal{H}}$, а тождественное преобразование банахова пространства $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ через $\operatorname{Id}_{\mathcal{\mathcal{H}}}$. Ядерные операторы будем обозначать греческими буквами $\rho,\sigma,\omega,\dots$ . Другие линейные операторы будем обозначать латинскими буквами $A,B,H,\dots$ . Для векторов и операторов ранга 1 в гильбертовом пространстве будем использовать обозначения Дирака $|\phi\rangle$, $|\chi\rangle\langle\psi|$ (в которых действие оператора $|\chi\rangle\langle\psi|$ на вектор $|\phi\rangle$ дает вектор $\langle\psi|\phi\rangle|\chi\rangle$) [14], [16]. Носитель $\operatorname{supp}\rho$ оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ – это замкнутое подпространство, порожденное собственными векторами $\rho$, соответствующими его положительным собственным значениям. Размерность подпространства $\operatorname{supp}\rho$ называется рангом оператора $\rho$ и обозначается $\operatorname{rank}\rho$. Если квантовые системы $A$ и $B$ описываются гильбертовыми пространствами $\mathcal{H}_A$ и $\mathcal{H}_B$, то двухчастичная система $AB$ описывается тензорным произведением этих пространств, т.е. $\mathcal{H}_{AB}\doteq\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$. Частичные состояния $\operatorname{Tr}_{B}\rho\doteq \operatorname{Tr}_{\mathcal{H}_B}\rho$ и $\operatorname{Tr}_{A}\rho\doteq\operatorname{Tr}_{\mathcal{H}_A}\rho$ состояния $\rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{AB})$ обозначим через $\rho_{A}$ и $\rho_{B}$ соответственно1. Энтропия фон Неймана квантового состояния $\rho \in \mathfrak{S}(\mathcal{H})$ определяется формулой $S(\rho)=\operatorname{Tr}\eta(\rho)$, где $\eta(x)=-x\ln x$, если $x>0$, и $\eta(0)=0$. Это вогнутая полунепрерывная снизу функция на множестве $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$, принимающая значения в $[0,+\infty]$ [5], [8], [14]. Энтропия фон Неймана удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
S(p\rho+(1-p)\sigma)\leqslant pS(\rho)+(1-p)S(\sigma)+h_2(p),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
которое справедливо для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ и любого $p\in(0,1)$, где $h_2(p)=\eta(p)+\eta(1-p)$ – бинарная энтропия [4], [16]. Будем использовать однородное расширение энтропии фон Неймана на положительный конус $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, определенное формулой
$$
\begin{equation}
S(\rho)\doteq(\operatorname{Tr}\rho)S(\rho/\operatorname{Tr}\rho) =\operatorname{Tr}\eta(\rho)-\eta(\operatorname{Tr}\rho)
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для любого ненулевого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ и равное нулю в нулевом операторе [8]. Используя вогнутость энтропии и неравенство (2.1), легко показать, что
$$
\begin{equation}
S(\rho)+S(\sigma)\leqslant S(\rho+\sigma)\leqslant S(\rho)+S(\sigma)+H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\})
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для любых $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, где $H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\}) \,{=}\,\eta(\operatorname{Tr}\rho)+\eta(\operatorname{Tr}\sigma)-\eta(\operatorname{Tr}(\rho+\sigma))$ – однородное расширение бинарной энтропии на положительный конус в $\mathbb{R}^2$. Заметим, что обе части неравенства в (2.1) и все части в (2.3) могут быть равны $+\infty$. Квантовая относительная энтропия для двух квантовых состояний $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
D(\rho\,\|\,\sigma)=\sum_i\langle i|\rho\ln\rho-\rho\ln\sigma|i\rangle,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $\{|i\rangle\}$ – ортонормированный базис из собственных векторов состояния $\rho$ и предполагается, что $D(\rho\,\|\,\sigma)=+\infty$, если $\operatorname{supp}\rho$ не содержится в $\operatorname{supp}\sigma$ [1], [14], [16]. Пусть $H$ – положительно полуопределенный оператор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ (будем всегда предполагать, что положительный оператор является самосопряженным). Обозначим область определения $H$ через $\mathcal{D}(H)$. Для любого положительного оператора $\rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ определим величину $\operatorname{Tr} H\rho$ правилом
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} H\rho= \begin{cases} \displaystyle \sup_n \operatorname{Tr} P_n H\rho, &\text{если }\ \operatorname{supp}\rho\subseteq \operatorname{cl}(\mathcal{D}(H)), \\ +\infty &\text{в противном случае,} \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $P_n$ – спектральный проектор $H$, соответствующий интервалу $[0,n]$, $\operatorname{cl}(\mathcal{D}(H))$ – замыкание $\mathcal{D}(H)$. Будем использовать следующее понятие, введенное в [15]. Определение. Двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\, m\geqslant m_0}$ ($m_0\in\mathbb{N}$) проекторов2 конечного ранга вполне согласована с последовательностью $\{\sigma_n\}\,{\subset}\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, если где $Q_n$ – проектор на носитель состояния $\sigma_n$, и для всех $m\geqslant m_0$ и $n\geqslant0$, где предел в топологии операторной нормы. Существенно, что для любой последовательности $\{\sigma_n\}\subset\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, существует двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}$ [15; лемма 4]. Конечное или счетное множество $\{\rho_i\}$ квантовых состояний с распределением вероятностей $\{p_i\}$ называется (дискретным) ансамблем и обозначается $\{p_i,\rho_i\}$. Состояние $\overline{\rho}=\sum_{i} p_i\rho_i$ называется средним состоянием ансамбля $\{p_i,\rho_i\}$. Граница Холево для ансамбля $\{p_i,\rho_i\}$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
\chi(\{p_i,\rho_i\})= \sum_{i} p_i D(\rho_i\,\|\,\overline{\rho})=S(\overline{\rho})-\sum_{i} p_iS(\rho_i),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где второе равенство справедливо при условии, что энтропия $S(\overline{\rho})$ конечна. Эта величина дает верхнюю границу на количество классической информации, которую можно получить квантовыми измерениями ансамбля [18], [14], [16]. Для полунепрерывной снизу функции $f$ на метрическом пространстве $X$ и заданной последовательности $\{x_n\}\subset X$, сходящейся к точке $x_0\in X$, такой, что $f(x_0)<+\infty$, будем использовать величину
$$
\begin{equation}
\operatorname{dj}\{f(x_n)\}\doteq\limsup_{n\to+\infty}f(x_n)-f(x_0),
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
характеризующую разрыв функции $f$, соответствующий последовательности $\{x_n\}$. Полунепрерывность снизу функции $f$ показывает, что $\operatorname{dj}\{f(x_n)\}\geqslant0$ и что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dj}\{f(x_n)\}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем использовать следующий простой результат. Лемма 1. Если $f$ и $g$ – полунепрерывные снизу функции на метрическом пространстве $X$, принимающие значения в $(-\infty,+\infty]$, то для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$, сходящейся к такому $x_0\in X$, что $(f+g)(x_0)<+\infty$. В частности, если то Квантовая операция $\Phi$ из системы $A$ в систему $B$ – это вполне положительное неувеличивающее след линейное отображение из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$. Сохраняющая след квантовая операция называется квантовым каналом [14], [16]. Для любой квантовой операции $\Phi\colon A\to B$ теорема Стайнспринга (см. [19]) показывает существование гильбертова пространства $\mathcal{H}_E$ и сжатия $V_{\Phi}\colon \mathcal{H}_A\to\mathcal{H}_B\otimes\mathcal{H}_E$ такого, что
$$
\begin{equation}
\Phi(\rho)=\operatorname{Tr}_{E}V_{\Phi}\rho V_{\Phi}^{*}, \qquad \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Если $\Phi$ – квантовый канал, то $V_{\Phi}$ – изометрия [14], [16]. Взаимная информация $I(\Phi,\rho)$ квантового канала $\Phi\colon A\to B$ в состоянии $\rho$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ определяется выражением
$$
\begin{equation*}
I(\Phi,\rho)=I(B:R)_{\Phi\otimes\operatorname{Id}_R(\overline{\rho})}\doteq D(\Phi\otimes\operatorname{Id}_R(\overline{\rho})\,\|\,\Phi(\rho)\otimes\overline{\rho}_R),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\rho}$ – любое чистое состояние из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_R)$ такое, что $\operatorname{Tr}_R\overline{\rho}=\rho$ [14], [16]. Пусть $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ – множество всех квантовых операций из $A$ в $B$, снабженное топологией сильной сходимости, определенной семейством полунорм $\Phi\mapsto\|\Phi(\rho)\|_1$, $\rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ [13], [14]. Сильная сходимость последовательности $\{\Phi_n\}$ операций из $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ к операции $\Phi_0\in\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ означает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\Phi_n(\rho)=\Phi_0(\rho) \quad \forall\,\rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем использовать следующий важный результат. Лемма 2 (см. [20]). Если последовательность $\{\rho_n\}$ квантовых состояний сходится к квантовому состоянию $\rho_0$ в слабой операторной топологии, то последовательность $\{\rho_n\}$ сходится к состоянию $\rho_0$ по следовой норме. 2.2. Расширение Линдблада квантовой относительной энтропииРасширение Линдблада квантовой относительной энтропии между положительными операторами $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
D(\rho\,\|\,\sigma)=\sum_i\langle\varphi_i|\rho\ln\rho-\rho\ln\sigma+\sigma-\rho|\varphi_i\rangle,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\{\varphi_i\}$ – ортонормированный базис из собственных векторов оператора $\rho$ и предполагается, что $D(0\,\|\,\sigma)=\operatorname{Tr}\sigma$ и $D(\rho\,\|\,\sigma)=+\infty$, если $\operatorname{supp}\rho$ не содержится в $\operatorname{supp}\sigma$ (в частности, если $\rho\neq0$ и $\sigma=0$) [8]. Легко показать, что все слагаемые в правой части (2.11) неотрицательны. Поэтому величина $D(\rho\,\|\,\sigma)$ корректно определена для любых положительных операторов $\rho$ и $\sigma$ (как неотрицательное число или $+\infty$). Если расширенная энтропия фон Неймана $S(\rho)$ оператора $\rho$ (определенная в (2.2)) конечна, то
$$
\begin{equation}
D(\rho\,\|\,\sigma)=\operatorname{Tr}\rho(-\ln\sigma) -S(\rho)-\eta(\operatorname{Tr}\rho)+\operatorname{Tr}\sigma-\operatorname{Tr}\rho,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где величина $\operatorname{Tr}\rho(-\ln\sigma)$ определена в соответствии с правилом (2.5) и $\eta(x)=-x\ln x$. Функция $(\rho,\sigma)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)$ неотрицательна, полунепрерывна снизу и совместно выпукла на $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. Будем использовать следующие свойства этой функции:
Неравенства (2.15) и (2.16) легко доказать, используя представление (2.12), если расширенная энтропия фон Неймана операторов $\rho$, $\sigma$ и $\omega$ конечна. Действительно, неравенство (2.15) следует из операторной монотонности логарифма, неравенство (2.16) следует из неравенства (2.3). В общем случае эти неравенства можно доказать с помощью аппроксимации, используя лемму 4 из [8]. Неравенство (2.17) – прямое следствие совместной выпуклости относительной энтропии и тождества (2.13). Равенство (2.18) следует из определения [8]. Будем использовать тождество Дональда
$$
\begin{equation}
pD(\rho\,\|\,\omega)+\overline{p}D(\sigma\,\|\,\omega)=pD(\rho\,\|\,p\rho +\overline{p}\sigma)+\overline{p}D(\sigma\,\|\,p\rho+\overline{p}\sigma) +D(p\rho+\overline{p}\sigma\,\|\,\omega),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $\overline{p}=1-p$, справедливое для произвольных операторов4 $\rho$, $\sigma$ и $\omega$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ и любого $p\in[0,1]$ [21]. Заметим, что обе части равенства в (2.19) могут быть равны $+\infty$.
§ 3. Основные результаты3.1. Возмущение квантовой относительной энтропии и ее полунепрерывность снизуОсновное свойство квантовой относительной энтропии (КОЭ) – ее монотонность при действии квантовых операций (вполне положительных не увеличивающих след линейных отображений), которая означает, что
$$
\begin{equation}
D(\Phi(\rho)\,\|\, \Phi(\sigma))\leqslant D(\rho\,\|\,\sigma)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для произвольной квантовой операции $\Phi:\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)\to\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ и любых операторов5 $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$ [7]. Свойство монотонности (3.1) означает неотрицательность функции
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)\doteq D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma)),
\end{equation*}
\notag
$$
корректно определенной на множестве всех пар $(\rho,\sigma)$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$ таких, что $D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))<+\infty$. Эту функцию будем (для краткости) называть6 возмущением квантовой относительной энтропии операцией $\Phi$. Существенно, что функция $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ появляется (явно или неявно) в различных задачах квантовой теории информации. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть следующие “специальные реализации” этой функции:
В дополнение к приведенным выше примерам следует заметить, что во многих важных неравенствах квантовой теории информации разница между правой и левой частями может быть выражена через функцию $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$. Например, это имеет место для первого и второго цепных правил для взаимной информации квантового канала $I(\Phi,\rho)$ (определенной в п. 2.1). Действительно, легко видеть, что для любых каналов $\Phi\colon A\to B$ и $\Psi\colon B\to C$ и произвольного состояния $\rho$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ справедливы следующие выражения:
$$
\begin{equation}
I(\Phi,\rho)-I(\Psi\circ\Phi,\rho)=\Delta_{\Psi\otimes\operatorname{Id}_R} (\omega_{BR},\omega_{B}\otimes\omega_{R}),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
I(\Psi,\Phi(\rho))-I(\Psi\circ\Phi,\rho)=\Delta_{\operatorname{Tr}_E(\cdot)} (\Psi\otimes\operatorname{Id}_{RE}(\omega),\Psi(\omega_{B})\otimes\omega_{RE}),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\omega=(V_{\Phi}\otimes I_R)\overline{\rho}(V_{\Phi}^*\otimes I_R)$ – состояние в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{BER})$, определенное посредством представления Стайнспринга (2.10) квантового канала $\Phi$ и заданного очищения $\overline{\rho}\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{AR})$ состояния $\rho$. Для первых трех из приведенных выше “специальных реализаций” функции $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ известно, что соответствующая характеристика является полунепрерывной снизу функцией состояния $\rho$. Это доказано соответственно в [27], [13] и [28]. Как оказалось, полунепрерывность снизу всех характеристик, выраженных через функцию $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$, – это следствие одного общего результата, представленного в части A) следующей теоремы. Теорема. A) Для произвольной квантовой операции $\Phi\colon \mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)\to\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ функция $\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)=D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$ полунепрерывна снизу на множестве B) Функция $(\rho,\sigma,\Phi)\mapsto\Delta_{\Phi}(\rho,\sigma)$ полунепрерывна снизу на множестве
$$
\begin{equation*}
\bigl\{(\rho,\sigma,\Phi)\in \mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A) \times\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B)\mid D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))<+\infty\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B)$ – множество всех квантовых операций из $A$ в $B$, снабженное топологией сильной сходимости (см. п. 2.1). Доказательство. A) Предположим сначала, что $\Phi$ – квантовый канал с представлением Стайнспринга $\Phi(\varrho)=\operatorname{Tr}_E V\varrho V^*$, $\varrho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$, где $V$ – изометрия из $\mathcal{H}_{A}$ в $\mathcal{H}_{BE}$.
Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, такие, что $D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))<+\infty$ для всех $n\geqslant0$. Нам надо показать, что
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to+\infty}\Delta_{\Phi}(\rho_n,\sigma_n)\geqslant\Delta_{\Phi}(\rho_0,\sigma_0).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Если $\sigma_0=0$, то $\rho_0=0$ (в противном случае $D(\Phi(\rho_0)\,\|\,\Phi(\sigma_0))=+\infty$) и (3.4) прямо следует из свойства монотонности (3.1). Поэтому предположим, что $\sigma_0\neq0$ и, следовательно, $\Phi(\sigma_0)\neq0$ (поскольку $\Phi$ – канал). Поскольку $V$ – изометрия, имеем
$$
\begin{equation*}
a_n\doteq D(V\rho_nV^*\,\|\, V\sigma_nV^*)=D(\rho_n\,\|\,\sigma_n) \quad \forall\, n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов конечного ранга из $\mathfrak{B}(\mathcal{H}_B)$, вполне согласованная с последовательностью $\{\Phi(\sigma_n)\}$ (определение в п. 2.1), которая существует в силу леммы 4 из [15]. Рассмотрим двойные последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_n^m=D((P^n_m\otimes I_E)V\rho_nV^*(P^n_m\otimes I_E)\,\|\, (P^n_m\otimes I_E)V\sigma_nV^*(P^n_m\otimes I_E))\leqslant+\infty, \\ b_n^m=D((\overline{P}^{\,n}_m\otimes I_E)V\rho_nV^*(\overline{P}^{\,n}_m\otimes I_E)\,\|\, (\overline{P}^{\,n}_m\otimes I_E)V\sigma_nV^*(\overline{P}^{\,n}_m\otimes I_E))\leqslant+\infty, \\ \widehat{a}_n^m=D(P^n_m\Phi(\rho_n)P^n_m\,\|\, P^n_m\Phi(\sigma_n))<+\infty, \\ \widehat{b}_n^m=D(\overline{P}^{\,n}_m\Phi(\rho_n)\overline{P}^{\,n}_m\,\|\, \overline{P}^{\,n}_m\Phi(\sigma_n))<+\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$ n\geqslant0$, $m\geqslant m_0$, где $\overline{P}^{\,n}_m=I_B-P^n_m$. Конечность величин $\widehat{a}_n^m$ и $\widehat{b}_n^m$ следует из леммы 4 в [8] и предполагаемой конечности величины $D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))$ при каждом $n\geqslant0$. В силу этой же леммы имеем
$$
\begin{equation}
a_n\geqslant a_n^m+b_n^m \quad \forall\, n\geqslant0, \quad m\geqslant m_0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Приведенная ниже лемма 3 показывает, что
$$
\begin{equation}
\widehat{a}_n\doteq D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))=\widehat{a}_n^m+\widehat{b}_n^m +D\biggl(\Phi(\rho_n)\biggm\|\frac{1}{2}(\Phi(\rho_n)+U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$, где $U^n_m=2P^n_m-I_B$ – унитарный оператор.
Поскольку $\widehat{b}_n^m\leqslant b_n^m$ в силу свойства монотонности (3.1), из (3.5) и (3.6) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_n^m &\doteq a_n^m-\widehat{a}_n^m-D\biggl(\Phi(\rho_n)\biggm\|\frac{1}{2}(\Phi(\rho_n) +U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*)\biggr) \nonumber \\ &\leqslant a_n-\widehat{a}_n=\Delta_{\Phi}(\rho_n,\sigma_n) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$.
В силу приведенной ниже леммы 4 из свойств двойной последовательности $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\widehat{a}_n^m=\widehat{a}_0^m<+\infty \quad\forall\, m\geqslant m_0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Поскольку $P^n_m$ стремится к $P^0_m$ при $n\to+\infty$ в топологии операторной нормы и $\Phi(\rho_n)\leqslant \Phi(\rho_n)+U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*$ для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$, то, используя предложение 2 из [29] и тривиальное равенство $D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\rho_n))=0$, получим, что существует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to+\infty} D\biggl(\Phi(\rho_n)\biggm\|\frac{1}{2}(\Phi(\rho_n)+U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*)\biggr) \\ &\qquad =D\biggl(\Phi(\rho_0)\biggm\|\frac{1}{2}(\Phi(\rho_0)+U^0_m\Phi(\rho_0)[U^0_m]^*)\biggr)<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Поскольку $(P^n_m\otimes I_E)V\omega_nV^*(P^n_m\otimes I_E)$ стремится к $(P^0_m\otimes I_E)V\omega_0V^*(P^0_m\otimes I_E)$ по следовой норме при $n\to+\infty$ для всех $m\geqslant m_0$, $\omega=\rho,\sigma$, то из полунепрерывности снизу квантовой относительной энтропии следует, что
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to+\infty}a_n^m\geqslant a_0^m \quad\forall\, m\geqslant m_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это вместе с предельными соотношениями (3.8) и (3.9) показывает, что
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to+\infty}c_n^m\geqslant c_0^m \quad\forall\, m\geqslant m_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (3.4) будет доказано, если мы покажем, что $\Delta_{\Phi}(\rho_n,\sigma_n)=\sup_{m\geqslant m_0}c_n^m$ при каждом $n\geqslant0$. В силу (3.7) для этого достаточно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty}c_n^m=\Delta_{\Phi}(\rho_n,\sigma_n)\leqslant+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\geqslant0$. Это можно сделать, замечая, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}D\biggl(\Phi(\rho_n)\biggm\| \frac{1}{2}(\Phi(\rho_n)+U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*)\biggr)=0
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
для всех $n\geqslant0$, поскольку лемма 4 из [8] показывает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty}\widehat{a}_n^m=\widehat{a}_n<+\infty, \quad \lim_{m\to+\infty}a_n^m=a_n\leqslant+\infty \quad \forall\, n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку условие $D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))<+\infty$ гарантирует, что $\operatorname{supp}\Phi(\rho_n)\subseteq\operatorname{supp}\Phi(\sigma_n)$ для всех $n\geqslant0$, то из свойств двойной последовательности $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ следует, что $U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*$ стремится к $\Phi(\rho_n)$ при $m\to+\infty$ для каждого $n\geqslant0$. Следовательно, предельное соотношение (3.10) просто доказывается с использованием предложения 2 из [29] (с учетом очевидного неравенства $\Phi(\rho_n)\leqslant \Phi(\rho_n)+U^n_m\Phi(\rho_n)[U^n_m]^*$ и тривиального равенства $D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\rho_n))=0$). Справедливость утверждения A) в случае, когда $\Phi$ – произвольная квантовая операция, следует из утверждения B), доказанного ниже (с помощью доказанной части утверждения A)). B) Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$. Пусть $\{\Phi_n\}$ – такая последовательность квантовых операций из $\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B)$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$, что $D(\Phi_n(\rho_n)\,\|\,\Phi_n(\sigma_n))<+\infty$ для всех $n\geqslant0$. Нам надо показать, что
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to+\infty}\Delta_{\Phi_n}(\rho_n,\sigma_n)\geqslant\Delta_{\Phi_0}(\rho_0,\sigma_0).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Предположим сначала, что $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых каналов, сильно сходящаяся к квантовому каналу $\Phi_0$. В силу теоремы 7 из [13] существуют система $E$ и такая последовательность $\{V_n\}$ изометрий из $\mathcal{H}_{A}$ в $\mathcal{H}_{BE}$, сильно сходящаяся к изометрии $V_0$, что $\operatorname{\Phi}_n(\varrho)=\operatorname{Tr}_E V_n\varrho V^*_n$ для всех $n\geqslant0$. Ясно, что операторы $\varrho_n=V_n\rho_nV_n^*$ и $\varsigma_n=V_n\sigma_nV_n^*$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_{BE})$ стремятся соответственно к операторам $\varrho_0=V_0\rho_0V_0^*$ и $\varsigma_0=V_0\sigma_0V_0^*$ при $n\to+\infty$. Поскольку все операторы $V_n$ – это изометрии, имеем
$$
\begin{equation*}
D(\varrho_n\,\|\, \varsigma_n)=D(\rho_n\,\|\, \sigma_n) \quad \forall\, n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Delta_{\Phi_n}(\rho_n,\sigma_n)=\Delta_{\Theta}(\varrho_n,\varsigma_n)$ для всех $n\geqslant0$, где $\Theta=\operatorname{Tr}_E(\cdot)$ – канал из $BE$ в $B$. Поэтому предельное соотношение (3.11) следует из доказанной части утверждения A).
Предположим теперь, что $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых операций, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$. Лемма 2 из [15] и ее доказательство показывают существование системы $C$ и такой последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n\}$ квантовых каналов из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B\oplus\mathcal{H}_C)$, сильно сходящейся к квантовому каналу $\widetilde{\Phi}_0$, что
$$
\begin{equation*}
\Phi_n(\varrho)=P_B\widetilde{\Phi}_n(\varrho)=\widetilde{\Phi}_n(\varrho)P_B \quad \forall\, \varrho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A), \quad \forall\, n\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_B$ – проектор на подпространство $\mathcal{H}_B$ в $\mathcal{H}_{B}\oplus\mathcal{H}_{C}$. В силу тождества (2.18) имеем
$$
\begin{equation}
D(\widetilde{\Phi}_n(\rho_n)\,\|\, \widetilde{\Phi}_n(\sigma_n))=D(\Phi_n(\rho_n)\,\|\, \Phi_n(\sigma_n))+D(\Psi_n(\rho_n)\,\|\, \Psi_n(\sigma_n)) \quad \forall\, n\geqslant0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $\Psi_n(\varrho)=P_C\widetilde{\Phi}_n(\varrho)$, $P_C$ – проектор на подпространство $\mathcal{H}_C$ в $\mathcal{H}_{B}\oplus\mathcal{H}_{C}$.
Поскольку мы не предполагаем, что $D(\rho_n\,\|\, \sigma_n)<+\infty$ для всех $n\geqslant0$, то нельзя гарантировать, что $D(\widetilde{\Phi}_n(\rho_n)\,\|\, \widetilde{\Phi}_n(\sigma_n))<+\infty$ для всех $n\geqslant0$. Поэтому мы не можем прямо применить приведенную выше часть доказательства к последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n\}$. Однако мы можем все свести к случаю
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to+\infty}D(\widetilde{\Phi}_n(\rho_n)\,\|\, \widetilde{\Phi}_n(\sigma_n))\leqslant\liminf_{n\to+\infty}D(\rho_n\,\|\, \sigma_n)<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку в противном случае предельное соотношение (3.11), очевидно, выполнено. Поэтому, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно предположить, что $D(\widetilde{\Phi}_n(\rho_n)\,\|\, \widetilde{\Phi}_n(\sigma_n))<+\infty$ для всех $n>0$.
Если $D(\widetilde{\Phi}_0(\rho_0)\,\|\, \widetilde{\Phi}_0(\sigma_0))<+\infty$, то, применяя приведенную выше часть доказательства к последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n\}$ квантовых каналов, получаем
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to+\infty}\Delta_{\widetilde{\Phi}_n}(\rho_n,\sigma_n)\geqslant\Delta_{\widetilde{\Phi}_0}(\rho_0,\sigma_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Это с учетом неравенства (3.12) показывает выполнимость (3.11), поскольку
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to+\infty}D(\Psi_n(\rho_n)\,\|\, \Psi_n(\sigma_n))\geqslant D(\Psi_0(\rho_0)\,\|\, \Psi_0(\sigma_0))
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
в силу полунепрерывности снизу КОЭ.
Если $D(\widetilde{\Phi}_0(\rho_0)\,\|\, \widetilde{\Phi}_0(\sigma_0))\,{=}\,{+}\infty$, то выражение (3.12) и предполагаемая конечность величины $D(\Phi_0(\rho_0)\,\|\, \Phi_0(\sigma_0))$ показывают, что $D(\Psi_0(\rho_0)\,\|\, \Psi_0(\sigma_0))=+\infty$. Поэтому из (3.13) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(\Psi_n(\rho_n)\,\|\, \Psi_n(\sigma_n))=+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}\Delta_{\Phi_n}(\rho_n,\sigma_n)=+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\Delta_{\Phi_n}(\rho_n,\sigma_n)\geqslant D(\Psi_n(\rho_n)\,\|\, \Psi(\sigma_n))$ для всех $n\geqslant0$ благодаря равенству (3.12) и очевидному неравенству $D(\widetilde{\Phi}_n(\rho_n)\,\|\, \widetilde{\Phi}_n(\sigma_n))\leqslant D(\rho_n\,\|\,\sigma_n)$, $n\geqslant0$. Следовательно, предельное соотношение (3.11) тривиально выполняется в этом случае.
Теорема доказана. Лемма 3. Пусть $\rho$ и $\sigma$ – операторы из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ и $P$ – проектор из $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ такие, что $P\sigma=\sigma P$. Тогда Доказательство. Мы можем предполагать, что операторы $\rho$ и $\sigma$ ненулевые, поскольку в противном случае (3.14) тривиально выполняется.
Поскольку $U\sigma U^*=\sigma$ и $U^*=U$, то, используя тождество Дональда (2.19), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\rho\,\|\, \sigma) &=\frac{1}{2}D(\rho\,\|\, \sigma)+\frac{1}{2}D(U\rho U^*\,\|\, \sigma) =D\biggl(\frac{1}{2}(\rho+U\rho U^*)\biggm\| \sigma\biggr) \\ &\qquad+ \frac{1}{2}D\biggl(\rho\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+U\rho U^*)\biggr) +\frac{1}{2}D\biggl(U\rho U^*\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+U\rho U^*)\biggr) \\ &=D(P\rho P+\overline{P}\rho\overline{P}\,\|\, \sigma) +D\biggl(\rho\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+U\rho U^*)\biggr) \\ &=D(P\rho P\,\|\, P\sigma)+D(\overline{P}\rho\overline{P}\,\|\, \overline{P}\sigma)+D\biggl(\rho\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+U\rho U^*)\biggr) \\ &=D(P\rho P\,\|\, P\sigma) +D(\overline{P}\rho \overline{P}\,\|\,\overline{P}\sigma)+ D(\rho\,\|\, P\rho P+\overline{P}\rho\overline{P}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где предпоследнее равенство следует из тождества (2.18).
Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0\neq0$. Если $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}$ (определение в п. 2.1), то Доказательство. Поскольку $P^n_m\rho_n P^n_m$ стремится к $P^0_m\rho_0 P^0_m$ при $n\to+\infty$ и $\sup_{n\geqslant0}\operatorname{rank} P^n_m\rho_n P^n_m< +\infty$ в силу условий в (2.6) и (2.7), имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}S(P^n_m\rho_nP^n_m)=S(P^0_m\rho_0P^0_m)<+\infty \quad \forall\, m\geqslant m_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя представление (2.12), видим, что для доказательства (3.15) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\|P^n_m \ln (P^n_m\sigma_n)-P^0_m \ln (P^0_m\sigma_0)\|=0
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
для любого заданного $m\geqslant m_0$. В силу второго условия в (2.7) $\operatorname{rank} P^n_m\sigma_n=\operatorname{rank} P^n_m$ для всех $n\geqslant0$. Следовательно, последовательность $\{P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\}_n$ состоит из ограниченных невырожденных операторов и сходится к невырожденному оператору $P^0_m\sigma_0+\overline{P}^{\,0}_m$ по операторной норме в силу третьего условия в (2.7). Следовательно, $P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\geqslant\epsilon I_{\mathcal{H}}$ для всех $n\geqslant0$ и некоторого $\epsilon>0$. Поэтому в силу предложения VIII.20 из [30] последовательность $\{\ln (P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m)\}_n$ сходится к оператору $\ln (P^0_m\sigma_0+\overline{P}^{\,0}_m)$ по операторной норме. Это доказывает (3.16), поскольку
Лемма доказана. 3.2. Невозрастание локальных разрывов КОЭ при действии квантовых операцийПолунепрерывность снизу возмущения относительной энтропии квантовыми операциями показывает, что локальные разрывы КОЭ не могут увеличивать при действии квантовых операций. Предложение 1. Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ таким, что $D(\rho_0\,\|\,\sigma_0)<+\infty$. A) Если $\Phi$ – произвольная квантовая операция из $A$ в $B$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\limsup_{n\to+\infty}D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))-D(\Phi(\rho_0)\,\|\, \Phi(\sigma_0)) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\limsup_{n\to+\infty}D(\rho_n\,\|\,\sigma_n)-D(\rho_0\,\|\,\sigma_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
B) Если $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых операций из $A$ в $B$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$, то Замечание 1. Левые части (3.17) и (3.18) корректно определены благодаря конечности величины $D(\rho_0\,\|\,\sigma_0)$ и монотонности КОЭ. В силу полунепрерывности снизу КОЭ величины в правой и левой частях неравенства (3.17) характеризуют разрывность функций $(\rho,\sigma)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)$ и $(\rho,\sigma)\mapsto D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$ для заданных сходящихся последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$. Поэтому утверждение части A) предложения 1 можно трактовать как “сжатие” возможных разрывов квантовой относительной энтропии при действии квантовой операции, а утверждение В) – как “сжатие” возможных разрывов квантовой относительной энтропии при действии сильно сходящейся последовательности квантовых операций. Доказательство предложения 1. Поскольку КОЭ – полунепрерывная снизу функция своих аргументов, утверждения A) и B) предложения следуют соответственно из утверждений A) и B) теоремы из п. 3.1 в силу леммы 1. Следует только заметить, что условие в утверждении B) гарантирует сходимость последовательностей $\{\Phi_n(\rho_n)\}$ и $\{\Phi_n(\sigma_n)\}$ к операторам $\Phi_0(\rho_0)$ и $\Phi_0(\sigma_0)$.
Предложение доказано. Из предложения 1 вытекают следующие утверждения, которые можно рассматривать как свойства сохранения локальной непрерывности КОЭ при действии отдельной квантовой операции и сильно сходящейся последовательности квантовых операций. Эти свойства были первоначально доказаны в [15] совершенно другим методом (основанным на использовании критерия сходимости КОЭ, предложенного в этой работе). Следствие 1. Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, такие, что A) Если $\Phi$ – произвольная квантовая операция из $A$ в $B$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\Phi(\rho_n)\,\|\,\Phi(\sigma_n))=D(\Phi(\rho_0)\,\|\,\Phi(\sigma_0))<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
B) Если $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых операций из $A$ в $B$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$, то Замечание 2. Грубо говоря, КОЭ состояний $\rho$ и $\sigma$ может быть представлена в виде Поэтому если $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – такие сходящиеся последовательности состояний, что предельные соотношения в (3.21) выполнены, но предельное соотношение (3.23) не выполнено, то часть А) следствия 1 показывает, что предельное соотношение (3.22) также не выполняется и что разрыв функции $(\varrho,\varsigma)\mapsto F(\Phi(\varrho),\Phi(\varsigma))$ компенсирует разрыв функции $(\varrho,\varsigma)\mapsto S(\Phi(\varrho))$ таким образом, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}(F-S)(\Phi(\rho_n),\Phi(\sigma_n)) =(F-S)(\Phi(\rho_0),\Phi(\sigma_0))<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что свойство монотонности КОЭ означает аналогичную компенсацию возможного уменьшения энтропии фон Неймана $S$ при действии квантового канала. Эта компенсация необходима для обеспечения невозрастания КОЭ – функции $F-S$. Замечание 3. На первый взгляд следствие 1 – единственный “вклад” предложения 1 в задачу доказательства локальной непрерывности (сходимости) КОЭ и связанных с ней функций. В действительности более общее утверждение предложения 1 дает возможность доказать локальную непрерывность заданной функции $f$ посредством ее равномерной аппроксимации функциями $f_n$, для которых может быть установлено соотношение, аналогичное (3.17), с правой частью, стремящейся к нулю при $n\to+\infty$. Этот подход используется в доказательстве предложения 9 в п. 4.6. Существует класс квантовых операций $\Phi$, для которых соотношение (3.23) выполнено при условии, что выполнено второе предельное соотношение в (3.21). Квантовые операции этого класса характеризуются следующими равносильными свойствами [31; теорема 1]: a) $S(\Phi(\rho))<+\infty$ для любого состояния $\rho$ такого, что $S(\rho)<+\infty$; b) $\sup\{S(\Phi(\rho))\mid \rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}), \operatorname{rank}\rho=1\}<+\infty$. Свойство a) можно трактовать как сохранение конечности энтропии фон Неймана квантовой операцией $\Phi$. Поэтому такие квантовые операции названы PFE-операциями (Preserving Finiteness of Entropy) в [31], где дана их подробная классификация. Следствие 2. Пусть $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ – такие последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, что Тогда для любой PFE-операции $\Phi$. Доказательство. С помощью выражения (2.12) и леммы 1 нетрудно показать, что из условия (3.24) следует выполнимость (3.19) и второго предельного соотношения в (3.21). Поэтому (3.20) выполнено в силу части А) следствия 1, а (3.23) выполнено, поскольку $\Phi$ – PFE-операция. Ясно, что (3.25) следует из (3.20) и (3.23) в силу выражения (2.12).
Следствие доказано. 3.3. Полунепрерывность снизу модуля совместной выпуклости КОЭ3.3.1. Случай выпуклых смесей состоянийСовместная выпуклость КОЭ означает, что
$$
\begin{equation*}
D\biggl(\sum_ip_i\rho_i\biggm\|\sum_ip_i\sigma_i\biggr)\leqslant \sum_i p_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых ансамблей $\{p_i,\rho_i\}$ и $\{p_i,\sigma_i\}$ квантовых состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ с одинаковыми распределениями вероятностей [8], [14], [16]. Обозначим множество всех дискретных ансамблей состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ через $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$. Будем говорить, что последовательность ансамблей $\mu_n=\{p^n_i,\rho^n_i\}$ из $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$ $D_0$-сходится к ансамблю $\mu_0=\{p^0_i,\rho^0_i\}$, если
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}p^n_i\rho^n_i=p^0_i\rho^0_i \quad \forall\, i.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение А) теоремы из п. 3.1 позволяет доказать следующее утверждение. Предложение 2. Неотрицательная функция полунепрерывна снизу на множестве относительно $D_0$-сходимости в $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})\times\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$. Доказательство. Для заданной пары ансамблей $\mu=\{p_i,\rho_i\}$ и $\nu=\{p_i,\sigma_i\}$, принадлежащих множеству (3.26), введем квантово-классические состояния
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mu}=\sum_i p_i\rho_i\otimes|i\rangle\langle i|, \qquad \widehat{\nu}=\sum_i p_i\sigma_i\otimes|i\rangle\langle i|
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}_E)$, где $\{|i\rangle\}$ – базис в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_E$. Тогда тождества (2.13) и (2.18) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\sum_i p_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)=D(\widehat{\mu}\,\|\,\widehat{\nu}),
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как
$$
\begin{equation*}
D\biggl(\sum_ip_i\rho_i\biggm\|\sum_ip_i\sigma_i\biggr)=D(\Phi(\widehat{\mu})\,\|\,\Phi(\widehat{\nu})),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi=\operatorname{Tr}_E(\cdot)$. Поэтому чтобы вывести утверждение предложения из части А) теоремы из п. 3.1, достаточно заметить, что из $D_0$-сходимости последовательности $\{\{p^n_i,\varrho^n_i\}_i\}_n$ ансамблей из $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$ к ансамблю $\{p^0_i,\varrho^0_i\}_i$ следует сходимость соответствующей последовательности $\{\sum_i p^n_i\varrho^n_i\otimes|i\rangle\langle i|\}_n$ квантово-классических состояний к квантово-классическому состоянию $\sum_i p^0_i\varrho^0_i\otimes|i\rangle\langle i|$ по следовой норме в силу леммы 2.
Предложение доказано. Используя полунепрерывность снизу КОЭ и последнее замечание в доказательстве предложения 2, легко показать, что функция $(\{p_i,\rho_i\},\{p_i,\sigma_i\})\mapsto D\bigl(\sum_ip_i\rho_i\bigm\|\sum_ip_i\sigma_i\bigr)$ полунепрерывна снизу относительно $D_0$-сходимости. Поэтому предложение 2 дает (в силу леммы 1) следующее условие сходимости для квантовой относительной энтропии. Следствие 3. Пусть $\{\{p^n_i,\rho^n_i\}\}_n$ и $\{\{p^n_i,\sigma^n_i\}\}_n$ – последовательности ансамблей из $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$, $D_0$-сходящиеся к ансамблям $\{p^0_i,\rho^0_i\}$ и $\{p^0_i,\sigma^0_i\}$ соответственно. Если то В п. 4.5 будет получено обобщение следствия 3 на случай произвольных $D_0$-сходящихся последовательностей дискретных ансамблей. 3.3.2. Случай конечных и счетных суммСовместная выпуклость и полунепрерывность снизу КОЭ вместе с тождеством (2.13) показывают, что
$$
\begin{equation}
D\biggl(\sum_i\rho_i\biggm\|\sum_i\sigma_i\biggr)\leqslant \sum_i D(\rho_i\,\|\,\sigma_i)
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
для любых конечных или счетных наборов $\{\rho_i\}$ и $\{\sigma_i\}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ таких, что $\sum_i\operatorname{Tr}\rho_i<+\infty$ и $\sum_i\operatorname{Tr}\sigma_i<+\infty$. Обозначим через $\mathfrak{T}^{\infty}_+(\mathcal{H})$ множество $\{\{\varrho_i\}_{i=1}^{+\infty}\subset\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}) |\sum_i\operatorname{Tr}\varrho_i<+\infty\}$. Будем говорить, что последовательность $\{\{\varrho^n_i\}_i\}_n\subset\mathfrak{T}^{\infty}_+(\mathcal{H})$ сходится к $\{\varrho^0_i\}\in\mathfrak{T}^{\infty}_+(\mathcal{H})$, если
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\varrho^n_i=\varrho^0_i \quad\forall\, i, \qquad \lim_{n\to+\infty}\sum_i\operatorname{Tr}\varrho^n_i=\sum_i\operatorname{Tr}\varrho^0_i.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
В силу леммы 2 это равносильно сходимости последовательности $\bigl\{\sum_i \varrho^n_i\otimes|i\rangle\langle i|\bigr\}\subset\mathfrak{T}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}_E)$ к оператору $\sum_i \varrho^0_i\otimes|i\rangle\langle i|\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}_E)$ по следовой норме, где $\{|i\rangle\}$ – базис в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_E$. Поэтому те же аргументы, что и в доказательстве предложения 2, позволяют получить из части А) теоремы из п. 3.1 следующее утверждение. Предложение 3. Функция $(\{\rho_i\},\{\sigma_i\})\mapsto\sum_i D(\rho_i\,\|\,\sigma_i)-D(\sum_i\rho_i\,\|\,\sum_i\sigma_i)$ полунепрерывна снизу на множестве Этот результат и лемма 1 дают следующее условие сходимости КОЭ для конечных и счетных сумм. Следствие 4. Пусть $\{\{\rho^n_i\}_{n\geqslant 0}\}_{i\in I}$ и $\{\{\sigma^n_i\}_{n\geqslant 0}\}_{i\in I}$ – конечные или счетные множества сходящихся последовательностей операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ такие, что $\sum_{i\in I}D(\rho^0_i\,\|\,\sigma^0_i)<+\infty$, Замечание 4. Левая часть неравенства (3.29) корректно определена, поскольку $D\bigl(\sum_{i\in I}\rho^0_i\bigm\|\sum_i\sigma^0_i\bigr)<+\infty$ в силу условия $\sum_{i\in I}D(\rho^0_i\,\|\,\sigma^0_i)<+\infty$ и неравенства (3.27). Если множество $I$ конечно, то условие (3.30) означает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i)=D(\rho^0_i\,\|\,\sigma^0_i)<+\infty \quad \forall\, i\in I.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Поэтому в этом случае последнее утверждение следствия 4 согласуется со следствием 3 из [29], которое утверждает сохранение сходимости КОЭ при конечном суммировании. Если множество $I$ счетно, то (3.31) необходимо, но не достаточно для (3.30). Поэтому в этом случае (3.30) можно трактовать как достаточное условие сохранения сходимости КОЭ при счетном суммировании. Его можно сравнить с условием, которое дает следствие 4 из [15]. Используя неравенство (3.27) и лемму Дини, можно показать, что первое условие немного слабее последнего. Преимуществом следствия 4 (настоящей статьи) является общее соотношение (3.29), которое дает дополнительные возможности анализа локальной непрерывности КОЭ (см. доказательство предложения 9 в п. 4.6, использующее основное утверждение следствия 7 в п. 4.5, которое доказано с помощью (3.29)). § 4. Анализ локальной непрерывности КОЭ и связанных с ней функций4.1. Обобщение леммы ЛиндбладаНаиболее известный и широко используемый результат о сходимости (локальной непрерывности) КОЭ представлен в лемме 4 из [8]. Он утверждает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(P_n\rho P_n\,\|\,P_n\sigma P_n)=D(\rho\,\|\,\sigma)\leqslant+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любых операторов $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, где $\{P_n\}$ – любая неубывающая последовательность проекторов, сходящаяся к единичному оператору в сильной операторной топологии. Результаты из § 3 позволяют получить следующую усиленную версию этого утверждения. Предложение 4. Если $\rho$ и $\sigma$ – такие операторы из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, что $D(\rho\,\|\,\sigma)<+\infty$, то Доказательство. В силу принципа равномерной ограниченности (см. [30; теорема III.9]) имеем $\sup_n\|A_n\|<+\infty$. Поэтому благодаря тождеству (2.13) можно предположить, что $\|A_n\|\leqslant1$ для всех $n\geqslant0$. Последовательность квантовых операций $\Phi_n=A_n(\cdot)A_n$ сильно сходится к квантовой операции $\Phi_0=A_0(\cdot)A_0$. Поэтому предельное соотношение (4.1) следует из части В) следствия 1.
Выполнимость (4.1) в случае $D(\rho\,\|\,\sigma)=+\infty$ при условии, что $A_0=I_{\mathcal{H}}$ и $\|A_n\|\leqslant1$ для всех $n$, следует из полунепрерывности снизу КОЭ, поскольку $D(A_n\rho A_n\,\|\,A_n\sigma A_n)\leqslant D(\rho\,\|\,\sigma)$ в силу монотонности КОЭ при действии квантовой операции $\Phi_n=A_n(\cdot)A_n$. Предложение доказано. Замечание 5. Условие $D(\rho\,\|\,\sigma)<+\infty$ в основном утверждении предложения 4 существенно. Действительно, пусть $\rho$ и $\sigma$ – такие ядерные операторы, диагонализуемые в заданном базисе $\{|i\rangle\}$ в $\mathcal{H}$, что $D(\rho\,\|\,\sigma)=+\infty$ и $A_n=\sum_{i>n}|i\rangle\langle i|$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Легко видеть, что последовательность $\{A_n\}$ сильно сходится к $A_0=0$, однако 4.2. Функция $\Phi\mapsto D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$Используя часть В) следствия 1 в случае, когда $\rho_n=\rho_0$ и $\sigma_n=\sigma_0$ для всех $n$, получаем следующий результат о свойствах функции $\Phi\mapsto D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$. Предложение 5. Если $\rho$ и $\sigma$ – такие операторы в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, что $D(\rho\,\|\,\sigma)<+\infty$, то функция $\Phi\mapsto D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$ непрерывна на множестве всех квантовых операций из $A$ в любую квантовую систему $B$ относительно топологии сильной сходимости. Полезность этого утверждения показывает следующий пример. Пример 1. Пусть $\{\Phi_t\}_{t\in \mathbb{R}_+}$ – произвольное сильно непрерывное семейство квантовых каналов (например, квантовая динамическая полугруппа). Тогда предложение 5 показывает, что функция непрерывна на $\mathbb{R}_+$ для любых входных состояний $\rho$ и $\sigma$ таких, что $D(\rho\,\|\,\sigma)<+\infty$. Если $\{\Phi_t\}$ – полугруппа, то общие свойства КОЭ показывают, что приведенная выше функция не возрастает и является полунепрерывной снизу на $\mathbb{R}_+$. Отсюда следует только ее непрерывность справа на $\mathbb{R}_+$. Поэтому утверждение о непрерывности данной функции нетривиально даже в этом случае. 4.3. Функция $(\rho,\sigma,\eta,\theta)\mapsto D(\rho+\eta\,\|\,\sigma)-D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)$Неравенства (2.15) и (2.16) показывают, что
$$
\begin{equation*}
D(\rho+\eta\,\|\,\sigma)\geqslant D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)-\operatorname{Tr}\theta-\operatorname{Tr}\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
для любых операторов $\rho$, $\sigma$, $\eta$ и $\theta$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. Часть А) теоремы из п. 3.1 позволяет получить следующее утверждение. Предложение 6. Функция $(\rho,\sigma,\eta,\theta)\mapsto D(\rho+\eta\,\|\,\sigma)-D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)$ полунепрерывна снизу на множестве Доказательство. Пусть $\mathcal{H}_R$ – двумерное гильбертово пространство. Для заданных операторов $\rho,\sigma$ и $\theta$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ рассмотрим операторы
$$
\begin{equation*}
\widehat{\rho}=\rho\otimes |0\rangle\langle0|, \qquad \widehat{\sigma}=\sigma\otimes |0\rangle\langle0|+\theta\otimes |1\rangle\langle1|
\end{equation*}
\notag
$$
из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}_R)$, где $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ – базис в $\mathcal{H}_R$. Тогда тождество (2.18) показывает, что
$$
\begin{equation*}
D(\widehat{\rho}\,\|\,\widehat{\sigma})=D(\rho\,\|\,\sigma)+D(0\,\|\,\theta) =D(\rho\,\|\,\sigma)+\operatorname{Tr}\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом Следовательно,
Используя тождество Дональда (2.19) и тождества (2.13) и (2.14), получаем
$$
\begin{equation}
D(\rho+\eta\,\|\,\sigma)+f(\rho,\eta)=D(\rho\,\|\,\sigma)+D(\eta\,\|\,\sigma) +\operatorname{Tr}(\rho+\eta)\ln2-\operatorname{Tr}\sigma,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(\rho,\eta)=D\biggl(\rho\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+\eta)\biggr) +D\biggl(\eta\biggm\|\frac{1}{2}(\rho+\eta)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 2 из [29], легко показать, что $f(\rho,\eta)$ – непрерывная функция на $[\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})]^{\times2}$. Тождество (2.14) и неравенство (2.15) показывают, что $f(\rho,\eta)\leqslant\operatorname{Tr}(\rho+\eta)\ln2$.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D(\rho+\eta\,\|\,\sigma)-D(\rho\,\|\,\sigma+\theta) \\ &\qquad=D(\eta\,\|\,\sigma) +\Delta_{\operatorname{Tr}_R(\cdot)}(\widehat{\rho},\widehat{\sigma}) +[\operatorname{Tr}(\rho+\eta)\ln2-f(\rho,\eta)]-\operatorname{Tr}(\sigma+\theta) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых операторов $\rho,\sigma,\eta$ и $\theta$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ таких, что $D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)<+\infty$. Поэтому утверждение предложения следует из полунепрерывности снизу КОЭ, части А) теоремы из п. 3.1 и непрерывности функции $f(\rho,\eta)$, упомянутой выше.
Предложение доказано. Предложение 6, полунепрерывность снизу КОЭ и лемма 1 позволяют доказать следующее утверждение. Следствие 5. Пусть $\{\rho^1_n\}$, $\{\rho^2_n\}$, $\{\sigma^1_n\}$ и $\{\sigma^2_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho^1_0$, $\rho^2_0$, $\sigma^1_0$ и $\sigma^2_0$, такие, что $\rho^2_n\leqslant \rho^1_n$ и $\sigma^1_n\leqslant \sigma^2_n$ для всех $n\geqslant0$. Если $D(\rho^1_0\,\|\,\sigma^1_0)<+\infty$, то9 $D(\rho^2_0\,\|\,\sigma^2_0)<+\infty$ и Последнее утверждение следствия 5 совпадает с утверждением предложения 2 в [29], доказанным достаточно сложным способом10. 4.4. Функция $(\rho,\sigma,\eta,\theta)\mapsto \operatorname{Tr} (\rho+\eta)(-\ln\sigma)-\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))$Операторная монотонность логарифма и очевидное неравенство $\sigma\leqslant I_{\mathcal{H}}\operatorname{Tr}\sigma $ показывают, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr} (\rho+\eta)(-\ln\sigma)\geqslant \operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))-\operatorname{Tr}\eta\ln\operatorname{Tr}\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
для любых операторов11 $\rho$, $\sigma$, $\eta$ и $\theta$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. Предложение 6 позволяет доказать следующее утверждение. Предложение 7. Функция $(\rho,\sigma,\eta,\theta)\mapsto \operatorname{Tr} (\rho+\eta)(-\ln\sigma)-\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))$ полунепрерывна снизу на множестве Доказательство. В силу полунепрерывности снизу КОЭ и расширенной энтропии фон Неймана функция полунепрерывна снизу на множестве $[\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})]^{\times 2}$ . Следовательно, для доказательства предложения будет достаточно показать, что функция $(\rho,\sigma,\theta)\mapsto \operatorname{Tr} \rho(-\ln\sigma)-\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))$ полунепрерывна снизу на множестве всех троек операторов $(\rho,\sigma,\theta)$ таких, что $\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))<+\infty$.
Представление (2.12) показывает, что конечность величины $\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))$ гарантирует конечность энтропии $S(\rho)$. Поэтому, используя это же представление (2.12), видим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}\rho(-\ln\sigma)-\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))=D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)+\operatorname{Tr}\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 6 функция $(\rho,\sigma,\theta)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\rho\,\|\,\sigma+\theta)$ полунепрерывна снизу на множестве всех троек операторов $(\rho,\sigma,\theta)$ таких, что $D(\rho\,\|\,\sigma+ \theta)< {+}\infty$, которое содержит множество всех троек операторов $(\rho,\sigma,\theta)$ таких, что $\operatorname{Tr} \rho(-\ln(\sigma+\theta))<+\infty$.
Предложение доказано. Используя полунепрерывность снизу функции $(\rho,\sigma)\mapsto \operatorname{Tr} \rho(-\ln\sigma)$ на $[\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})]^{\times 2}$ (упомянутую в доказательстве предложения 7), предложение 7 и лемму 1, нетрудно доказать следующее утверждение. Следствие 6. Пусть $\{\rho^1_n\}$, $\{\rho^2_n\}$, $\{\sigma^1_n\}$ и $\{\sigma^2_n\}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho^1_0$, $\rho^2_0$, $\sigma^1_0$ и $\sigma^2_0$, такие, что $\rho^1_n\geqslant \rho^2_n$ и $\sigma^1_n\leqslant \sigma^2_n$ для всех $n\geqslant0$. Если $\operatorname{Tr} \rho^1_0(-\ln \sigma_0^1)<+\infty,$ то $\operatorname{Tr} \rho^2_0(-\ln \sigma_0^2)<+\infty$ и Прямое доказательство следствия 6, полученное в [29; приложение], требует больших технических усилий. 4.5. Функция $(\{p_i,\rho_i\},\{q_i,\sigma_i\})\mapsto D\bigl(\sum_ip_i\rho_i\,{\bigm\|}\sum_iq_i\sigma_i\bigr)$Используя совместную выпуклость КОЭ (в форме неравенства (3.27)) и тождества (2.13) и (2.14), легко показать, что
$$
\begin{equation*}
D\biggl(\sum_ip_i\rho_i\biggm\|\sum_iq_i\sigma_i\biggr)\leqslant\sum_i p_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)+D_{\mathrm{KL}}(\{p_i\}\,\|\,\{q_i\})
\end{equation*}
\notag
$$
для любых ансамблей $\{p_i,\rho_i\}$ и $\{q_i,\sigma_i\}$ квантовых состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$, где
$$
\begin{equation*}
D_{\mathrm{KL}}(\{p_i\}\,\|\,\{q_i\})\doteq \sum_i p_i \ln \biggl(\frac{p_i}{q_i}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– дивергенция Кульбака–Лейблера между распределениями вероятностей $\{p_i\}$ и $\{q_i\}$ (предполагаем, что $D_{\mathrm{KL}}(\{p_i\}\,\|\,\{q_i\})=+\infty$, если существует такое $i$, что $p_i\neq0$ и $q_i=0$) [32]. Действительно, используя тождества (2.13) и (2.14), легко показать, что
$$
\begin{equation}
\sum_i p_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)+D_{\mathrm{KL}}(\{p_i\}\,\|\,\{q_i\})=\sum_i D(p_i\rho_i\,\|\, q_i\sigma_i).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Часть А) теоремы из п. 3.1 позволяет получить следующий результат. Предложение 8. Неотрицательная функция Для доказательства достаточно использовать (4.4) и применить предложение 3. Предложение 8 позволяет обобщить утверждение следствия 3. Следствие 7. Пусть $\{\{p^n_i,\rho^n_i\}\}_n$ и $\{\{q^n_i,\sigma^n_i\}\}_n$ – последовательности ансамблей в $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$, $D_0$-сходящиеся к ансамблям $\{p^0_i,\rho^0_i\}$ и $\{q^0_i,\sigma^0_i\}$ таким, что $\sum_i p^0_iD(\rho^0_i\,\|\,\sigma^0_i)<+\infty,$ и $D_{\mathrm{KL}}(\{p^0_i\}\,\|\,\{q^0_i\})<+\infty$. Тогда13 Доказательство. В силу леммы 1 основное утверждение следствия непосредственно следует из предложения 8 и полунепрерывности снизу функции $(\{p_i,\rho_i\},\{q_i,\sigma_i\})\mapsto D\bigl(\sum_i p_i\rho_i\,{\bigm\|}\sum_i q_i\sigma_i\bigr)$ относительно $D_0$-сходимости в $\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})\times\mathcal{P}_{d}(\mathcal{H})$ (которую легко доказать с помощью леммы 2).
Если $\rho^n_i\rho^n_j=\rho^n_i\sigma^n_j=\sigma^n_i\sigma^n_j=0$ для всех $i\neq j$ и любого $n$, то тождество (2.18) показывает, что
$$
\begin{equation*}
D\biggl(\sum_ip^n_i\rho^n_i\biggm\|\sum_iq^n_i\sigma^n_i\biggr) =\sum_i p^n_iD(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i)+D_{\mathrm{KL}}(\{p^n_i\}\,\|\,\{q^n_i\}) \quad \forall\, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому последнее утверждение следует в силу леммы 1 из полунепрерывности снизу функции $(\{p_i,\rho_i\},\{q_i,\sigma_i\})\mapsto \sum_i p_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)$ и дивергенции Кульбака–Лейблера.
Следствие доказано. Пример 2. Пусть $\{\rho_i\}$ и $\{\sigma_i\}$ – такие счетные наборы квантовых состояний, что $\sup_iD(\rho_i\,\|\,\sigma_i)<+\infty$. Если $\{\{p^n_i\}_i\}_n$ и $\{\{q^n_i\}_i\}_n$ – последовательности распределений вероятностей, поэлементно сходящиеся соответственно к распределениям вероятностей $\{p^0_i\}$ и $\{q^0_i\}$, такие, что выполнено условие (4.6), то следствие 7 показывает, что 4.6. Функция $\displaystyle(\mu,\nu)\mapsto D\biggl(\int \rho(x)\,\mu(dx)\biggm\|\int \rho(x)\,\nu(dx)\biggr)$Предположим, что $\rho(x)$ – это $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$-значная измеримая функция на сепарабельном метрическом пространстве $X$ и что $\{\mu_n\}$ и $\{\nu_n\}$ – последовательности вероятностных мер на $X$, сходящиеся (в некоторое смысле) к вероятностным мерам $\mu_0$ и $\nu_0$, такие, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D_{\mathrm{KL}}(\mu_n\,\|\,\nu_n)=D_{\mathrm{KL}}(\mu_0\,\|\,\nu_0)<+\infty,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_{\mathrm{KL}}(\mu\,\|\,\nu)=\int_X \ln\biggl(\frac{d\mu}{d\nu}\biggr)\,\mu(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
– дивергенция Кульбака–Лейблера между вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$; $\frac{d\mu}{d\nu}$ обозначает производную Радона–Никодима меры $\mu$ относительно меры $\nu$ (если $\mu$ не является абсолютно непрерывной относительно $\nu$, то $D_{\mathrm{KL}}(\mu\,\|\,\nu)=+\infty$) [32]–[34]. Пример 2 дает основание предположить, что условие (4.8) позволяет показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to+\infty} D\biggl(\int_X \rho(x)\,\mu_n(dx)\biggm\|\int_X \rho(x)\,\nu_n(dx)\biggr) \\ &\qquad = D\biggl(\int_X \rho(x)\,\mu_0(dx)\biggm\|\int_X \rho(x)\,\nu_0(dx)\biggr)<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Используя основное утверждение следствия 7 и аппроксимационную технику, можно доказать следующее утверждение. Предложение 9. Пусть $\rho(x)$ – это $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$-значная непрерывная функция на сепарабельном метрическом пространстве $X$. Пусть $\{\mu_n\}$ и $\{\nu_n\}$ – последовательности вероятностных мер, сходящиеся на множествах14 к вероятностным мерам $\mu_0$ и $\nu_0$ соответственно, такие, что мера $\mu_n$ абсолютно непрерывна относительно меры $\nu_n$ при каждом $n\geqslant0$ и семейство $\{\frac{d\mu_n}{d\nu_n}\}_{n\geqslant 0}$ производных Радона–Никодима равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на $X$, т.е. Доказательство. Предположим, что (4.8) выполнено и $D_{\mathrm{KL}}(\mu_n\,\|\,\nu_n)\,{<}\,{+}\infty$ для всех $n$.
Для заданного $\varepsilon>0$ возьмем счетное разложение $\{X_i\}$ множества $X$ на непересекающиеся борелевские подмножества с диаметром, не превосходящим $\varepsilon$. Для каждого $n$ рассмотрим ансамбли $\{p^{n}_i,\rho^{n}_i\}$ и $\{q^{n}_i,\sigma^{n}_i\}$ состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p^{n}_i=\mu_n(X_i), \qquad \rho^{n}_i=\frac{1}{p^{n}_i}\int_{X_i}\rho(x)\,\mu_n(dx), \\ q^{n}_i=\nu_n(X_i), \qquad \sigma^{n}_i=\frac{1}{q^{n}_i}\int_{X_i}\rho(x)\,\nu_n(dx). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mu_n(X_i)=0$ (соответственно $\nu_n(X_i)=0$), то предполагаем, что $p^n_i=0$ и $\rho^n_i=\tau$ (соответственно $q^n_i=0$ и $\sigma^n_i=\tau$), где $\tau$ – любое состояние из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$. Заметим, что из $q^n_i=0$ следует, что $p^n_i=0$ в силу предположения.
Замечая, что сходимость на множествах не слабее, чем слабая сходимость, и используя лемму 2, легко показать, что сходимость на множествах последовательностей $\{\mu_n\}$ и $\{\nu_n\}$ к вероятностным мерам $\mu_0$ и $\nu_0$ влечет $D_0$-сходимость15 последовательностей $\{\{p^{n}_i,\rho^{n}_i\}_i\}_n$ и $\{\{q^{n}_i,\sigma^{n}_i\}_i\}_n$ к ансамблям $\{p^{0}_i,\rho^{0}_i\}$ и $\{q^{0}_i,\sigma^{0}_i\}$. Для упрощения записи функцию $\frac{d\mu_n}{d\nu_n}$ на $X$ обозначим через $f_n$. Условие (4.10) показывает, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant 0}\sup_{x\in X}f_n(x)\leqslant b, \qquad \sup_{n\geqslant 0}\sup_{d(x_1,x_2)\leqslant\varepsilon}\bigl|f_n(x_1)-f_n(x_2)\bigr|\leqslant \alpha(\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $b\in\mathbb{R}_+$ и $\alpha(\varepsilon)$ – функция, стремящаяся к нулю при $\varepsilon\to0^+$.
Пусть $\omega_{\eta,b}(\varepsilon)\doteq \sup\{|\eta(x_1)-\eta(x_2)|\mid x_1,x_2\in[0,b],\,|x_1-x_2|\leqslant\varepsilon\}$ – модуль непрерывности функции $\eta(x)=-x\ln x$ на $[0,b]$ (предполагаем, что $\eta(0)=0$). Покажем, что
$$
\begin{equation}
\sum_i p^n_iD(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i)\leqslant \omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)) \quad \forall\, n\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
$$
\begin{equation}
0\leqslant D_{\mathrm{KL}}(\mu_n\,\|\,\nu_n)-D_{\mathrm{KL}}(\{p^n_i\}\,\|\,\{q^n_i\})\leqslant \omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)) \quad \forall\, n\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Для любых заданных $n\geqslant0$ и $i$ пусть $a^n_i=\inf_{x\in X_i}f_n(x)$ и $b^n_i=\sup_{x\in X_i}f_n(x)$. Поскольку для каждого $i$ диаметр множества $X_i$ не превосходит $\varepsilon$, из (4.11) следует, что Поскольку $\displaystyle p_i=\mu_n(X_i)=\int_{X_i}f_n(x)\,\nu_n(dx)$ и $q_i=\nu_n(X_i)$, имеем
$$
\begin{equation}
a^n_i\leqslant \frac{p^n_i}{q^n_i}\leqslant b^n_i \quad \forall\, i\colon q^n_i\neq0.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Из (4.14) и (4.15) следует, что
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in X_i}\biggl|f_n(x)- \frac{p^n_i}{q^n_i}\biggr|\leqslant \alpha(\varepsilon) \quad \forall\, i\colon q^n_i\neq0.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Для доказательства (4.12) заметим, что $\frac{\nu_n}{q^n_i}$ – вероятностная мера на $X_i$ для каждых $i$ и $n$ таких, что $q_i^n\neq0$. Поэтому, используя приведенную ниже лемму 5 и тождества (2.13) и (2.14), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p^n_iD(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i) &=p^n_iD\biggl(\int_{X_i}\frac{q^n_i}{p^n_i}\rho(x)f_n(x)\,\frac{\nu_n(dx)}{q^n_i} \biggm\|\int_{X_i}\rho(x)\,\frac{\nu_n(dx)}{q^n_i}\biggr) \\ &\leqslant\int_{X_i} D(q^n_i\rho(x)f_n(x)\,\|\, p^n_i\rho(x))\,\frac{\nu_n(dx)}{q^n_i} \\ &=\int_{X_i} f_n(x)\ln \biggl(\frac{q^n_if_n(x)}{p_i^n}\biggr)\, \nu_n(dx) \\ &=\int_{X_i}\biggl(\eta\biggl(\frac{p^n_i}{q_i^n}\biggr)-\eta(f_n(x))\biggr)\,\nu_n(dx) \leqslant q^n_i\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждых $i$ и $n$ таких, что $p_i^n\neq0$, где последнее неравенство следует из (4.16). Это неравенство доказывает (4.12).
Левое неравенство в (4.13) следует из монотонности дивергенции Кульбака–Лейблера при действии положительного линейного отображения $\mu\mapsto \{\mu(X_i)\}_i$ из пространства всех знакопеременных борелевских мер на $X$ в пространство $\ell_1$, определенное разложением $\{X_i\}_i$ множества $X$. Для доказательства правого неравенства в (4.13) заметим, что из (4.16) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{\mathrm{KL}}(\mu_n\,\|\,\nu_n) &=-\int_{X}\eta(f_n(x))\, \nu_n(dx) \\ &\leqslant\sum_i\int_{X_i}\biggl(-\eta\biggl(\frac{p_i^n}{q_i^n}\biggr) +\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon))\biggr)\, \nu_n(dx) \\ &=D_{\mathrm{KL}}(\{p^n_i\}\,\|\,\{q^n_i\})+\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенства (4.12) и (4.13) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{n\geqslant0} \biggl|\sum_i p^n_iD(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i)+D_{\mathrm{KL}}(\{p^n_i\}\,\|\,\{q^n_i\})-D_{\mathrm{KL}} (\mu_n\,\|\,\nu_n)\biggr|\leqslant \omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из условия (4.8) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dj}\biggl\{\sum_i p^n_iD(\rho^n_i\,\|\,\sigma^n_i)+D_{\mathrm{KL}}(\{p^n_i\}\,\|\,\{q^n_i\})\biggr\}_{n}\leqslant 2\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу следствия 7 имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dj}\biggl\{D\biggl(\sum_ip^n_i\rho^n_i\biggm\|\sum_iq^n_i\sigma^n_i\biggr)\biggr\}_{n} \leqslant 2\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку величину $\omega_{\eta,b}(\alpha(\varepsilon))$ можно сделать сколь угодно малой, выбирая достаточно малое $\varepsilon$, соотношение (4.9) можно получить, замечая, что
$$
\begin{equation*}
\sum_ip_i^n\rho_i^n=\int_X \rho(x)\,\mu_n(dx), \qquad \sum_iq_i^n\sigma_i^n=\int_X \rho(x)\,\nu_n(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Замечание 6. Сходимость на множествах последовательностей $\{\mu_n\}$ и $\{\nu_n\}$ к мерам $\mu_0$ и $\nu_0$ в предложении 9 можно заменить слабой сходимостью при условии, что для любого $\varepsilon>0$ существует счетное разложение $\{X_i\}$ пространства $X$ на непересекающиеся борелевские подмножества с диаметром, не превосходящим $\varepsilon$, такое, что $\mu_0(\partial X_i)=\nu_0(\partial X_i)=0$ для всех $i$, где $\partial X_i$ – граница множества $X_i$. Это следует из приведенного выше доказательства и теоремы Портманто (Portmanteau) [36], [35]. Условие (4.10) достаточно ограничительно, но, кажется, его можно ослабить, используя более тонкие оценки в доказательствах неравенств (4.12) и (4.13). Пример 3. Пусть $\mathcal{H}$ – гильбертово пространство, описывающее $n$-модовый квантовый осциллятор, и $\mathfrak{S}_{\mathrm{cl}}(\mathcal{H})$ – множество классических состояний – выпуклое замыкание семейства $\{|\overline{z}\rangle\langle \overline{z}| \}_{\overline{z}\in\mathbb{C}^n}$ когерентных состояний [14], [37]. Каждое состояние $\rho$ из $\mathfrak{S}_{\mathrm{cl}}(\mathcal{H})$ представимо в виде Предложение 9 с $X=\mathbb{C}^n$ и $\rho(\overline{z})=|\overline{z}\rangle\langle \overline{z}|$ дает достаточное условие сходимости КОЭ между классическими состояниями $n$-модового квантового осциллятора в терминах их представляющих мер. Замечание 6 позволяет заменить условие сходимости на множествах последовательностей $\{\mu_n\}$ и $\{\nu_n\}$ к мерам $\mu_0$ и $\nu_0$ в предложении 9 на условие слабой сходимости во многих случаях, в частности, если меры $\mu_0$ и $\nu_0$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега на $\mathbb{C}^n$. Следующая лемма содержит “непрерывную” версию свойства совместной выпуклости КОЭ. Лемма 5. Пусть $\rho(x)$ и $\sigma(x)$ – $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$-значные непрерывные функции на сепарабельном метрическом пространстве $X$. Тогда для любой борелевской вероятностной меры $\mu$ на $X$. Замечание 7. Поскольку КОЭ – полунепрерывная снизу функция своих аргументов, функция $x\mapsto D(\rho(x)\,\|\,\sigma(x))$ полунепрерывна снизу на $X$ и, следовательно, измерима относительно борелевской $\sigma$-алгебры на $X$. Поэтому правая часть (4.18) корректно определена. Доказательство леммы 5. Используя совместную выпуклость и полунепрерывность снизу КОЭ, нетрудно видеть, что неравенство (4.18) выполнено для любой чисто атомической (дискретной) вероятностной меры $\mu$, т.е. меры вида $\sum_ip_i\delta(x_i)$, где $\{p_i\}$ – распределение вероятностей, $\{x_i\}$ – конечное или счетное подмножество в $X$ и $\delta(x)$ обозначает дираковскую меру, сосредоточенную в точке $x$.
Для заданной вероятностной меры $\mu$ на $X$ нетрудно16 построить такую последовательность $\{\mu_n\}$ чисто атомических вероятностных мер на $X$, слабо сходящуюся к мере $\mu$ на $X$, что
$$
\begin{equation}
\int_X D(\rho(x)\,\|\,\sigma(x))\,\mu_n(dx)\leqslant \int_X D(\rho(x)\,\|\,\sigma(x))\,\mu(dx) \quad \forall\, n.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Используя определение слабой сходимости (см. [36], [35]) и лемму 2, легко доказать, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}\int_X \rho(x)\,\mu_n(dx)=\int_X \rho(x)\,\mu(dx), \qquad \lim_{n\to+\infty}\int_X \sigma(x)\,\mu_n(dx)=\int_X \sigma(x)\,\mu(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
(пределы относительно следовой нормы). Поэтому полунепрерывность снизу КОЭ показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\liminf_{n\to+\infty}D\biggl(\int_X \rho(x)\,\mu_n(dx)\biggm\|\int_X \sigma(x)\,\mu_n(dx)\biggr) \\ &\qquad\geqslant D\biggl(\int_X \rho(x)\,\mu(dx)\biggm\|\int_X \sigma(x)\,\mu(dx)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку (4.18) выполнено при $\mu=\mu_n$ для всех $n$, из последнего неравенства и (4.19) следует (4.18).
Лемма 5 доказана. 4.7. Квантовая взаимная информацияПолунепрерывность снизу функции $(\rho,\sigma)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))$, доказанная в настоящей статье в общем виде, была установлена ранее в специальном случае, когда $\rho$ – состояние составной квантовой системы $A_1\dotsb A_n$, $\sigma=\rho_{A_1}\otimes\dots \otimes\rho_{A_n}$ и $\Phi$ – локальный канал [40]. В этом случае $D(\rho\,\|\,\sigma)=I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}$ – квантовая взаимная информация (КВИ) состояния $\rho$, которая описывает полную корреляцию этого состояния [41], [11]. Полунепрерывность снизу уменьшения КВИ при действии локального канала связана (благодаря представлению Стайнспринга (2.10)) с полунепрерывностью снизу квантовой условной взаимной информации (3.2), которая доказана в [27; § 6]. В § 5 из [40] это свойство используется для получения новых условий сходимости КВИ (условной и безусловной) и сжатой сцепленности (squashed entanglement), эффективность которых показана на конкретных примерах. Все эти результаты также могут рассматриваться как примеры использования теоремы из п. 3.1. Здесь мы представим один результат, который не был упомянут в [40]. Предложение 10. Пусть $A_1\dotsb A_n$ – $n$-частичная квантовая система, $n>2$, и $B_1=A_{i^1_1}\dotsb A_{i^1_{k(1)}}$, $\dots$, $B_m=A_{i^m_1}\dotsb A_{i^m_{k(m)}}$ – ее подсистемы, определенные непересекающимися подмножествами17 $\{i^1_1,\dots ,i^1_{k(1)}\}$, $\dots$, $\{i^m_1,\dots ,i^m_{k(m)}\}$ в $[1,n]\cap\mathbb{N}$, $m<n$. Неотрицательная функция $\rho\mapsto I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}-I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}$ полунепрерывна снизу на множестве
$$
\begin{equation}
\bigl\{\rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{A_1\dots A_n}) \mid I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}<+\infty\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Если функция $\rho\mapsto I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}$ непрерывна на некотором подмножестве $\mathfrak{S}_0$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{A_1\cdots A_n})$, то функция $\rho\mapsto I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}$ непрерывна на $\mathfrak{S}_0$. Доказательство. Можем предположить (без ограничения общности), что $\bigcup_{j=1}^m\{i^j_1,\dots ,i^j_{k(j)}\}=[1,n']\cap\mathbb{N}$ для некоторого $n'\leqslant n$.
Часть А) теоремы в п. 3.1 показывает полунепрерывность снизу неотрицательной функции $\rho\mapsto I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}-I(A_1:\dots :A_{n'})_{\rho}$ на множестве
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}=\bigl\{\rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{A_1\dots A_n})\mid I(A_1:\dots :A_{n'})_{\rho}<+\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
I(A_1:\dots :A_{n'})_{\rho}=I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}+\sum_{j=1}^m I(A_{i^j_1}:\dots :A_{i^j_{k(j)}})_{\rho},
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
из полунепрерывности снизу КВИ следует полунепрерывность снизу функции $\rho\mapsto I(A_1:\dots :A_{n'})_{\rho}-I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}$ на множестве в (4.20), которое обозначим через $\mathfrak{B}$.
Поэтому функция $f(\rho)=I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}-I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}$ полунепрерывна снизу на множестве $\mathfrak{A}\subseteq\mathfrak{B}$. Ясно, что $f(\rho)=+\infty$ для любого состояния $\rho$ из $\mathfrak{B}\setminus\mathfrak{A}$. Поэтому для доказательства полунепрерывности снизу функции $f$ на $\mathfrak{B}$ достаточно показать, что $\lim_{n\to+\infty}f(\rho_n)=+\infty$ для любой последовательности $\{\rho_n\}\subset\mathfrak{A}$, сходящейся к состоянию $\rho_0\in\mathfrak{B}\setminus\mathfrak{A}$. Это можно сделать, замечая, что из тождества (4.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
f(\rho_n)\geqslant \sum_{j=1}^m I(A_{i^j_1}:\dots :A_{i^j_{k(j)}})_{\rho_n} \quad \forall\, n,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку правая часть этого неравенства стремится к
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^m I(A_{i^j_1}:\dots :A_{i^j_{k(j)}})_{\rho_0}=+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
в силу полунепрерывности снизу КВИ.
Второе утверждение предложения следует из первого в силу леммы 1 и полунепрерывности снизу КВИ. Предложение доказано. В силу предложения 10 локальная непрерывность (сходимость) полной корреляции в “большой” составной системе $A_1\dotsb A_n$ гарантирует локальную непрерывность (сходимость) полной корреляции в любой составной системе $B_1\dotsb B_m$, компоненты $B_1,\dots ,B_m$ которой получены соединением некоторых подсистем $A_1,\dots,A_n$. Например, из локальной непрерывности $I(A:B:C)$ следует локальная непрерывность $I(A:B)$, $I(B:C)$, $I(A:C)$, $I(A:BC)$, $I(AB:C)$ и $I(AC:B)$. Замечание 8. Утверждения предложения 10 также выполнены для многочастичной квантовой условной взаимной информации, т.е. они остаются справедливыми при замене функций $I(A_1:\dots :A_n)_{\rho}$ и $I(B_1:\dots :B_m)_{\rho}$ на функции $I(A_1:\dots :A_n| C)_{\rho}$ и $I(B_1:\dots :B_m| C)_{\rho}$. Это можно показать с помощью тех же аргументов, используя теорему 3 из [40] и полунепрерывность снизу многочастичной квантовой условной взаимной информации [27]. 4.8. Квантовая условная относительная энтропияКапель (Capel), Лючия (Lucia) и Перес-Гарсия (Perez-Garcia) определили квантовую условную относительную энтропию между состояниями $\rho$ и $\sigma$ составной системы $AB$ с помощью выражения
$$
\begin{equation*}
D_A(\rho\,\|\,\sigma)=D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\rho_B\,\|\,\sigma_B).
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [25], где введена эта величина, обнаружено много ее интересных свойств. Монотонность КОЭ показывает, что $D_A(\rho\,\|\,\sigma)\geqslant0$ для любых $\rho$ и $\sigma$. Теорема из п. 3.1 и следствие 1 непосредственно показывают справедливость следующего утверждения. Предложение 11. Неотрицательная функция $(\rho,\sigma)\mapsto D_A(\rho\,\|\,\sigma)$ полунепрерывна снизу на множестве Если функция $(\rho,\sigma)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)$ непрерывна на некотором подмножестве $\mathfrak{S}_0$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{AB})\times\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{AB})$, то функция $(\rho,\sigma)\mapsto D_A(\rho\,\|\,\sigma)$ непрерывна на $\mathfrak{S}_0$. § 5. Заключительные замечания и открытые вопросыВ настоящей статье доказана полунепрерывность снизу функции
$$
\begin{equation*}
(\rho,\sigma)\mapsto D(\rho\,\|\,\sigma)-D(\Phi(\rho)\,\|\,\Phi(\sigma))
\end{equation*}
\notag
$$
для любой заданной квантовой операции $\Phi$, рассмотрены ее следствия и примеры применения. Как оказалось, это свойство позволяет получить много новых локальных условий непрерывности (сходимости) КОЭ и связанных с ней функций, а также передоказать несколько результатов такого рода, полученных ранее различными методами. Поэтому можно сказать, что установленное свойство КОЭ играет центральную роль в анализе локальной непрерывности энтропийных характеристик квантовых систем и каналов, которые либо определяются через КОЭ (как, например, КВИ), либо могут быть выражены через КОЭ (как, например, энтропия фон Неймана). Естественно, возникает вопрос о возможности доказать аналогичное свойство для других функций “дивергентного” типа (относительной энтропии Белавкина–Сташевского, относительной энтропии Реньи и т.п.). Ниже описаны основные свойства (расширения Линдблада) КОЭ, которые существенно используются в доказательстве теоремы в п. 3.1:
Первые три из приведенных свойств КОЭ присущи функциям дивергентного типа, а последние три весьма специфичны. Например, есть основания считать, что четвертое свойство не выполняется для относительной энтропии Белавкина–Сташевского в силу ее разрывности в конечномерном случае, упомянутой в [42; предложение 6.7]. Мы, конечно, не утверждаем, что все приведенные выше свойства необходимы для доказательства аналога теоремы в п. 3.1 для функции дивергентного типа. БлагодарностиАвтор благодарен А. С. Холево и Г. Г. Амосову за полезные обсуждения и ценные замечания, а также М. М. Вайлде (M. M. Wilde) за важную информацию. Особая благодарность – рецензенту за полезные замечания и рекомендации.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shi24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|