| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Движение частиц в поле нелинейных волновых пакетов в слое жидкости под ледяным покровом А. Т. Ильичевa, А. С. Савинbc, А. Ю. Шашковb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия c Институт геохимии и аналитической химии им. В. И. Вернадского Российской академии наук, Москва, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030097 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРезультаты исследования гидроупругого взаимодействия жидкости с ледяным покровом представляют не только теоретический интерес, связанный с фундаментальными взаимодействиями ледяного покрова и волновых структур на поверхности жидкости (см., например, [1]–[7]), но и имеют ряд инженерных применений [8]–[10]. Многие физические волновые системы допускают бифуркацию из состояния покоя, которая порождает уединенную волну огибающей, состоящую из огибающей и монохроматического наполнения, распространяющегося под огибающей со своей скоростью. Эта волна возникает в рассматриваемой системе в результате модуляционной неустойчивости несущей волны. Поэтому существование уединенных волн огибающей в системе обычно указывает на то обстоятельство, что в системе имеет место самофокусировка. Уединенные волны огибающей, имеющие скорость монохроматического наполнения, равную скорости огибающей, и соответствующие возникновению минимума скорости при конечном волновом числе на дисперсионной кривой (для определенности такие волны будем далее называть уединенными волновыми пакетами), описываются решениями типа бегущей волны полных двумерных уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости при наличии ледяного покрова. Геометрически нелинейная модель льда, основанная на теории пластин Кирхгоффа–Лява, впервые была использована в работах [11], [12] для некоторой периодической задачи для изгибно-гравитационных волн. Комбинация теории нормальных форм, изложенной в работе [13], с редукцией на центральное многообразие (см. [14], [15]) для задачи распространения волн на поверхности воды под ледяным покровом, где ледяной покров моделировался пластиной Кирхгоффа–Лява в напряженном состоянии, для конечной глубины была впервые адаптирована в работе [16]. Метод, описанный в [16], был обобщен на случай движущейся нагрузки на ледяном покрове [17]. Полученные волновые структуры сравнивались с численными решениями. С тех пор появился ряд работ, посвященных изучению изгибно-гравитационных волн на поверхности жидкости под ледяным покровом, который моделировался геометрически нелинейной пластиной Кирхгоффа–Лява (см. ссылки в [18]). В работах [16], [17] показано, что для жидкости конечной глубины фокусирующая область заменяется дефокусирующей, а именно: уединенные волны огибающей, ответвляющиеся от минимальной скорости на дисперсионной кривой, заменяются темными солитонами, это происходит из-за того, что коэффициент при ведущей нелинейности в уравнении меняет знак. Некоторые примеры критической глубины в зависимости от толщины льда для свободных волн были приведены в статье [19]. В работе [20] была предложена нелинейная формулировка, основанная на специальной теории Коссера для гиперупругих оболочек, которые обладают явным выражением для упругой энергии, соответствующей сохраняющейся полной энергии. В этом случае гамильтонова формулировка уравнений гидроупругой системы вода–лед облегчает аналитическое и численное исследование поверхностных волновых структур, которое было предпринято в ряде работ (см. ссылки в [18]). В большинстве работ, посвященных гидроупругой системе вода–лед, исследуется поверхность контакта вода–лед и, насколько нам известно, не анализируется волновое поле скоростей в толще жидкости. Движение частиц жидкости в поле поверхностной монохроматической волны в линейной постановке описано, например, в монографиях [21], [22]. Частицы движутся по эллипсам в жидкости конечной глубины и по окружностям в жидкости бесконечной глубины. Если формально учитывать члены второго порядка по крутизне волны в разложении скорости частицы (что в линейной теории некорректно), траектории частиц оказываются незамкнутыми и, следовательно, существует медленный дрейф частиц в направлении распространения волны. В работе [23] впервые показано, что для гравитационных волн в рамках модели идеальной жидкости при распространении нелинейной волны по поверхности жидкости материальные частицы в ней медленно (по сравнению с фазовой и групповой скоростями) перемещаются в направлении распространения волны. С тех пор явление дрейфа частиц активно изучалось в большом количестве работ для разных моделей жидкости. Хороший обзор работ на эту тему можно найти в [24]. В работе [18] исследованы траектории частиц в жидкости под ледяным покровом в поле поверхностной изгибно-гравитационной уединенной волны, которая не имеет предела при переходе к линейной формулировке. В настоящей работе определяется поле траекторий частиц в толще жидкости под ледяным покровом в поле нелинейной поверхностной бегущей волны, быстро убывающей на бесконечности. Для анализа использованы явные асимптотические выражения для решений типа уединенного волнового пакета малой, но конечной амплитуды. Работа организована следующим образом. Раздел 2 посвящен формулировке задачи и описанию получения быстро убывающих решений базовой системы уравнений, соответствующих уединенным волновым пакетам, распространяющимся по поверхности контакта ледяного покрова со свободной поверхностью жидкости. В разделе 3 построены траектории частиц жидкости под ледяным покровом в поле уединенного волнового пакета, распространяющегося по поверхности контакта вода–лед. В разделе 4 приведены заключение и обсуждение. 2. Уединенные волновые пакеты в жидкости под ледяным покровом2.1. Моделирование ледяного покроваЭксперименты показывают, что ледяной покров в естественных условиях ведет себя как тонкая упругая пластина Кирхгоффа–Лява [25], относительно которой приняты следующие допущения:
Будем предполагать, что пластина находится в предварительно напряженном состоянии, которое характеризуется горизонтальным напряжением $\sigma_0$. Это напряжение обусловлено начальным растяжением (или сжатием) серединной поверхности, которое в связи с вышеизложенным остается неизменным при изгибных деформациях. Математическое описание упругой пластины формулируется в локальной криволинейной системе координат в плоских сечениях $(\xi,\zeta)$, жестко присоединенной к серединной поверхности пластины. В недеформированном состоянии эта система координат (с точностью до сдвига) совпадает с глобальной декартовой системой координат $x,z$, $-\infty<x<\infty$, $0<z<\eta(x,t)$, упругая пластина в недеформированном состоянии имеет толщину $h$ (см., например, [26]). 2.2. Система уравнений для бегущих волн на поверхности жидкости под ледяным покровомМы будем изучать плоскопараллельные потенциальные движения идеальной несжимаемой жидкости глубины $H$ и плотности $\rho$. Жидкость занимает область которая имеет границу
$$
\begin{equation*}
\partial G=\partial G^+\cup\partial G^-=\{x\in \mathbb{R}; z=\eta(x,t)\cup z=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Массовую плотность пластины обозначим через $\rho_s$, поверхность раздела вода–лед задается уравнением $z=\eta(x,t)$, $x\in \mathbb{R}$. Пластина свободно плавает на поверхности жидкости. Рассмотрим бегущую волну, которая распространяется влево вдоль оси $x$ со скоростью $V$. В системе координат, движущейся со скоростью $V$, компоненты вектора скорости частиц $\mathbf{v}=(u,v)$ удовлетворяют следующим асимптотическим условиям: $u\to V$, $v\to 0$ при $x\to \infty$. Произведем далее следующие масштабные преобразования:
$$
\begin{equation*}
(x,z)\to \biggl(\frac{x}{H}, \frac{z}{H}\biggr),\qquad \eta\to \frac{\eta}{H},\qquad \mathbf{v}\to\frac{\mathbf{v}}{V}.
\end{equation*}
\notag
$$
В новых безразмерных переменных, для обозначения которых будем использовать старые символы, система уравнений Эйлера для бегущих волн ($x\to x+Vt$, $V>0$) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{rot}\mathbf{v}=\mathbf{0},\qquad \operatorname{div}\mathbf{v}= 0, \qquad (xH,zH)\in G,\\ \frac{1}{2}|\mathbf{v}|^2+\lambda \eta-b\kappa_1+\gamma\kappa_2+c\partial_{xx}\eta=\mathrm{const}, \qquad (xH,zH)\in \partial G^+, \\ \partial_x\eta\, u-v = 0,\qquad v =0,\qquad (xH,zH)\in\partial G^-, \\ \mathbf{v}\to (1,0),\qquad \eta(x)\to 1,\qquad x\to\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $E_0$ – модуль Юнга упругой пластины, моделирующей ледяной покров, а $\nu_0$ – ее коэффициент Пуассона. Постоянные $\lambda$, $b$, $\gamma$ и $c$ определяются соотношениями
$$
\begin{equation}
\lambda =\frac{gH}{V^{2}},\qquad b=\frac{h\sigma_0}{\rho H V^{2}},\qquad \gamma=\frac{J}{\rho V^2 H^3},\qquad c=\frac{\rho_s h}{\rho H},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
параметр $\lambda$, очевидно, равен квадрату обратного числа Фруда, параметр $b$ – аналог числа Бонда для гравитационно-капиллярных волн, параметр $\gamma$ – безразмерная жесткость на изгиб, а параметр $c$ – отношение инерции упругой пластины к инерции слоя жидкости. Функции $\kappa_j$, $j=1,2$, выражаются по формулам
$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\frac{\partial_{xx}\eta}{(1+(\partial_x\eta)^2)^{3/2}-\kappa\partial_{xx} \eta},\qquad \kappa_2=\partial^2_{xx}\frac{\partial_{xx}\eta}{(1+(\partial_x\eta)^2)^{3/2} -\kappa\partial_{xx}\eta}, \qquad \kappa=\frac{h}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее для простоты будем использовать приближение $\kappa=c=0$, т. е. будем полагать, что инерция ледяной пластины пренебрежимо мала по сравнению с инерцией слоя жидкости. Определим новые “полулагранжевы” координаты $(x,y)\in \mathbb{R}\times (0,1)$ по формуле $y=\psi(x,z)=z+\Psi$, где $\psi(x,z)$ обозначает функцию тока, нормированную при помощи среднего расхода $Q=VH$. Это отображение локально (для малых амплитуд поверхностных возмущений) обратимо [15]. Кроме того, произведем отображение поля скоростей $\mathbf{v}=(u,v)$ на векторное поле $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$ [15]: где $u-1$, $v$ предполагаются малыми, а $\partial_z\Psi=u-1$, $\partial_x\Psi=-v$.Отклонение поверхности $\eta$ дается формулой Можно показать (см., например, обзор [27]), что уравнения (2.1) для волн малой, но конечной амплитуды можно записать в операторной форме
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{F}(\mu,\mathbf{u}),\qquad \partial _\mathbf{u}\mathbf{F}(0,\mathbf{0})=0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где верхняя точка обозначает дифференцирование по неограниченной координате $x$. Неограниченный замкнутый оператор $\mathbf{A}$ действует на вектор-функцию $\mathbf{u}\in D(\mathbf{A})$, $\mathbf{u}=\{\delta,\delta_1,\delta_2,w_1(y),w_2(y)\}^\mathrm{T}$,
$$
\begin{equation*}
D(\mathbf{A})=\mathbb{R}^3\times\mathbb{H}^1(0,1)\cap \{w_2(0)=0, w_2(1)=\delta\},
\end{equation*}
\notag
$$
и не зависит от $\lambda$. Здесь $H^1(0,1)$ – пространство функций, квадратично интегрируемых вместе с первой производной на интервале $(0,1)$. Малый параметр $\mu$ определяется из равенства
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\gamma_0 q^4+\frac{q\operatorname{cth} q}{ 2}+\frac{q^2\operatorname{sh}^{-2} q}{2},\qquad b_0=-2\gamma_0 q^2+\frac{\operatorname{cth} q}{ 2q}-\frac{\operatorname{sh}^{-2} q}{2}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Величина $q$ определяется ниже. Параметром бифуркации является скорость волны $V$. Из (2.2), (2.4) имеем
$$
\begin{equation*}
V^{-2}=V_0^{-2}+\frac{\mu}{g H}\qquad\text {или}\qquad V=V_0\biggl(1-\frac{V_0^2\mu}{2gH}\biggr)+O(\mu^2)
\end{equation*}
\notag
$$
и в низшем приближении по $\mu$
$$
\begin{equation*}
b=b_0+\omega_1 \mu,\qquad \gamma=\gamma_0+\omega_2\mu,\qquad \mu\ll1,\qquad \omega_1=\frac{h\sigma_0}{\rho g H^2},\qquad \omega_2=\frac{J}{\rho g H^4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметры $b_0$ и $\gamma_0$ определяются по формулам (2.2) с $V=V_0$. Рассматриваемые в настоящей статье солитоноподобные структуры (уединенные волновые пакеты) являются нелинейными продуктами $1:1$ резонанса (2.5), когда собственными значениями $iq$ оператора $\mathbf{A}$, лежащими на мнимой оси, являются две пары кратных ненулевых собственных значений, симметричных относительно начала координат (см., например, [27]). Для $1:1$ резонанса четыре собственных значения $\mathbf{A}$ образуют две пары совпадающих собственных значений $\pm iq$, $q>0$, приходящих на мнимую ось из комплексной плоскости (когда происходит бифуркация, ведущая к появлению уединенных волновых пакетов; $q=kH$ – безразмерное волновое число). Оператор $\mathbf{A}$ определяется по действию на вектор-функцию $\mathbf{u}$ равенством [27]
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}\mathbf{u}=\{\delta_1,\delta_2, \gamma_0^{-1}(b_0\delta_1-w_1(1)+\lambda_0[w_1]),-\partial_yw_2(y),\partial_yw_1(y)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Движение центральных (выходящих на мнимую ось) собственных значений оператора $\mathbf{A}$ в рассматриваемых случаях простого и $1:1$ резонансов cхематически изображены на рис. 1.  Рис. 1.Поверхности $\lambda=1$ и (2.5), на которых происходит бифуркация в пространстве параметров. Расположение собственных значений, пары которых совпадают на мнимой оси на этих поверхностях, показано черными кружками по обе стороны от поверхности (2.5) и над плоскостью $\lambda=1$ и белыми кружками – под плоскостью $\lambda=1$. Можно показать (см., например, [15], [28], а также [29]), что бесконечномерная система уравнений (2.3) локально эквивалентна конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Формально подобное понижение порядка осуществляется при помощи разбиения неизвестных функций на сумму двух слагаемых. Одно из этих слагаемых представляет собой линейную комбинацию присоединенных и собственных векторов, соответствующих центральному спектру (мнимым собственным значениям), а другое является малой следующего порядка по амплитуде волн и представляет собой определяемую функцию от первого слагаемого. Уравнения на коэффициенты упомянутой линейной комбинации являются системой пониженного порядка. Конечномерная система, локально эквивалентная полной системе (2.3), имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{u}}_0 = \mathbf{A}_0\mathbf{u}_0+\mathbf{F}_0(\mu, \mathbf{u}_0), \qquad\partial_{\mathbf{u}_0} \mathbf{F}(0,\mathbf{0})=0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Оказывается, что до тех пор, пока сохраняется неравенство $\|\mathbf{u}_0\|<\varepsilon$, решение $\mathbf{u} =\mathbf{u}_0\oplus\mathbf{u}_1$ системы уравнений (2.3) целиком определяется конечномерной частью $\mathbf{u}_0$, которая принадлежит ограниченному множеству (центральному многообразию) $\mathbb{M}_\mu=\{\mathbf{u}_0,\mathbf{u}_1=\mathbf{h}(\mu,\mathbf{u}_0)\}\subset \mathbb{X}$ (в рассматриваемом случае гильбертово пространство $\mathbb{X}=\mathbb{R}^3\times \mathbb{H}^1(0,1)$). Уравнения (2.6) называются приведенными уравнениями на центральном многообразии $M_\mu$, или просто приведенными уравнениями [14], [15], [28]. В рассматриваемом случае $1:1$ резонанса полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{u}_0&=A\boldsymbol{\phi}_0+B\boldsymbol{\phi}_1+A^*\boldsymbol{\phi}_0^* +{B}^*\boldsymbol{\phi}_1^*, \\ \mathbf{A}\boldsymbol{\phi}_0&=iq\boldsymbol{\phi}_0,\qquad \mathbf{ A}\boldsymbol{\phi}_1=iq\boldsymbol{\phi}_1+\boldsymbol{\phi}_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда приведенная система (2.6) эквивалентна системе
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{a}}=\mathbf{A}_0\mathbf{a}+\mathbf{g}_0(\mu,\mathbf{a}),\qquad \mathbf{g}=\mathcal{O}(\mu|\mathbf{a}|+|\mathbf{a}|^2),\qquad \mathbf{a}=(A,B,A^*,B^*)^\mathrm{T},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где знак $*$ обозначает комплексное сопряжение. Имеем также [30]
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}_0=\begin{pmatrix} iq & 1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0\\ 0 & iq & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0 \\ 0 & 0 & -iq & \hphantom{-}1\\ 0 & 0 & \hphantom{-}0& -iq \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $1:1$ резонанса все ограниченные решения $\mathbf{u}$ системы уравнений (2.3) малой амплитуды записываются в виде [30]
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}=A\boldsymbol{\phi}_0+B\boldsymbol{\phi}_1+A^*\boldsymbol{\phi}_0^* +{B}^*\boldsymbol{\phi}_1^* +\boldsymbol{\Phi}(\mu,A,B,{A}^*,{B}^*),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\Phi}(0,A,B,{A}^*,{B}^*)=(A^2\boldsymbol{\Phi}_{2000}+\text{к. с.})+ |A|^2\boldsymbol{\Phi}_{1100}+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
является нелинейной вектор-функцией своих аргументов. Собственный и присоединенный векторы $\mathbf{A}$, соответствующие центральному спектру, имеют вид
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\phi}_0= \begin{pmatrix} iq^{-1}\operatorname{th} q\\ -\operatorname{th} q\\ -iq \operatorname{th} q\\ -\operatorname{ch} qy/(q\operatorname{ch} q)\\ i\operatorname{sh} qy/ (q\operatorname{ch} q) \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\phi}_1=\begin{pmatrix} q^{-1}\\ i+iq^{-1}\operatorname{th} q\\ -q-2 \operatorname{th} q\\ iy\operatorname{sh} qy/( q\operatorname{ch} q)\\ y\operatorname{ch} qy/(q\operatorname{ch} q) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Можно показать, что в данном случае справедлива следующая теорема. Теорема 1 [30]. Приведенные уравнения (2.7) приближаются системой в квазинормальной форме Обозначим локализованное решение системы (2.9) в нижнем порядке по $\mu$ через
$$
\begin{equation*}
\mathbf{u}_{0s}^{r}=(A^{r}_s,B^{r}_s,A^{r*}_s,B^{r*}_s)^\mathrm{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 [30]. Существует семейство решений типа волновых пакетов огибающей $\mathbf{u}_{0s}=(A_s,B_s,A^*_s,B^*_s)^\mathrm{T}$, удовлетворяющих приведенным уравнениям (2.7). Кроме того, эти решения приведенных уравнений мало отличаются от $\mathbf{u}_{0s}^{r}$, а именно: где $\tilde{\mu}=q_1\mu>0$, $\tilde{c}>0$ – некоторая постоянная, $0<\chi<1$. Убывающее на пространственной бесконечности решение уравнений (2.9) в низшем приближении по $\mu$ имеет вид
$$
\begin{equation}
A^r_s=\pm\sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}x e^{iqx},\qquad B^r_s=\pm q_1\mu \operatorname{ch}^{-1}\sqrt{\mu q_1}x \operatorname{th} \sqrt{\mu q_1}x.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Можно показать, что приведенная система (2.7) в случае $1:1$ резонанса (2.5) имеет решение, определяющее поверхностную волну [30]:
$$
\begin{equation}
\eta=1\pm \frac{2\operatorname{th} q}{q^2} \sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1} x\cos qx+O(|\mu|^{3/2}),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
знак плюс после единицы соответствует волне повышения уровня, а минус – волне понижения уровня, где
$$
\begin{equation}
q_1={} \frac{1+\omega_1 q^2+\omega_2 q^4} {(2b_0q+4\gamma_0 q^3)\operatorname{cth} q+6\gamma_0 q^2+b_0-1}>0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
q_2={} -\frac{r}{16 q^4 ({\lambda_0}-1)\operatorname{ch}^3 q } (\lambda_0-9\lambda_0^{2}+16 q^2-12\lambda_0\operatorname{ch} 2q +12\lambda_0^{2}\operatorname{ch} 2q+{}\nonumber
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
{}+11\lambda_0\operatorname{ch} 4q-3\lambda_0^{2}\operatorname{ch} 4q +14q\operatorname{sh} 2q+ 16\alpha q\operatorname{sh} 2q+ 18\lambda_0 q\operatorname{sh} 2q-{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}- 16\alpha\lambda_0 q\operatorname{sh} 2q +q\operatorname{sh} 4q+ 4\alpha q\operatorname{sh} 4q-\lambda_0 q\operatorname{sh} 4q -4\alpha\lambda_0 q\operatorname{sh} 4q),
\end{equation}
\notag
$$
а
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r(q)=\frac{q^4 \operatorname{cth} q}{\lambda_0q\operatorname{ch} q- b_0q^3\operatorname{ch} q-3\gamma_0 q^5\operatorname{ch} q- \lambda_0\operatorname{sh} q-3{\gamma}_0 q^4\operatorname{sh} q}, \\ \alpha=\frac{2(2+\operatorname{ch} 2q)}{ -5-\operatorname{ch} 2q +6q\operatorname{cth} q-18\gamma_0 q^3\operatorname{sh} 2q}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $H=H(q)$ и фиксированных всех остальных физических параметров ледяного покрова и жидкости имеем $q_2>0$ при $q<q^*$ и $q_2<0$ при $q>q^*$, где $q^*$ – фиксированное значение безразмерного волнового числа $q$. На рис. 2 изображена форма изгибной поверхностной волны – уединенного волнового пакета – для конкретных значений физических параметров бассейна и ледяного покрова. 3. Поле скорости в слое жидкости для поверхностного уединенного волнового пакетаЛегко видеть, что имеет место выражение для компонент актуальной скорости $(u,v)^\mathrm{T}$ через компоненты вспомогательной скорости $(w_2,w_2)^\mathrm{T}$:
$$
\begin{equation}
u=\sqrt{\frac{1+2w_1}{1+w_2}}, \qquad v=w_2\sqrt{\frac{1+2w_1}{1+w_2}}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из (3.1) в младшем порядке по $\mu$ имеем Напомним, что все рассмотрения проводятся в системе отсчета, связанной с волной. Чтобы перейти в лабораторную систему отсчета, где жидкость покоится на бесконечности, необходимо сделать преобразование $x\to x+t$ и $u\to u-1$. Таким образом, для уединенного волнового пакета (нелинейного продукта $1:1$ резонанса) в соответствии с (2.8) в низшем порядке по $\mu$ в лабораторной системе отсчета имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w_1&=-\frac{\operatorname{ch} qz}{q\operatorname{ch} q} (A_r^s+A^{*s}_r)=-\frac{\operatorname{ch} qz}{q\operatorname{ch} q} \biggl(\pm 2\sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}(x+t) \cos q(x+t)\biggr),\\ w_2&=\frac{i\operatorname{sh} qz}{q\operatorname{ch} q}(A_r^s-A^{*r}_s)=-\frac{z \operatorname{sh} qz}{q \operatorname{ch} q}\biggl(\pm 2 \sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}(x+t) \sin q(x+t)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Из (2.10), (3.2) и (3.3) в низшем порядке по $\mu$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u={}&-\frac{\operatorname{ch} qz}{q\operatorname{ch} q} \biggl(\pm 2\sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}(x+t) \cos q(x+t)\biggr)+{}\\ &{}+ \frac{\operatorname{sh} qz}{q \operatorname{ch} q}\biggl(\pm \sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}(x+t) \sin q(x+t)\biggr),\\ v={}&-\frac{\operatorname{sh} qz}{q \operatorname{ch} q}\biggl(\pm 2 \sqrt{\frac{2\mu q_1}{q_2}}\operatorname{ch}^{-1} \sqrt{\mu q_1}(x+t) \sin q(x+t)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Знак плюс в скобках соответствует волне понижения уровня, а минус – волне повышения уровня. Для определения траекторий жидких частиц в лабораторной системе отсчета имеем уравнения Скорости $u$ и $v$ в поле поверхностной волны (2.11) с точностью до соответствующих малых по амплитуде волны определяются выражениями (3.4).Для определения коэффициентов в (2.11) при фиксированных $h$, $H$, $\sigma_0$ и $\rho$ из уравнений (2.2) и первого уравнения (2.5) мы определяли $V_0$. Затем из второго уравнения (2.5) определяли соответствующее значение безразмерного волнового числа $q$. После этого по формулам (2.12) и (2.13) вычислялись коэффициенты $q_1$ и $q_2$ (при этом необходимо убедиться, что $q_2>0$). Если задан параметр $\mu$, все параметры поверхностного уединенного волнового пакета (2.11) и правая часть динамической системы (3.5) оказываются полностью определенными. Для физических параметров $h$, $H$, $\sigma_0$ и $\rho$, а также параметра $\mu$, соответствующих уединенному волновому пакету, изображенному на рис. 2, имеем $V_0=16.1$ м/с, $q=2.8$, $q_1=2.75$, $q_2=1.47>0$. Система уравнений (3.5) решалась численно для параметров, приведенных на рис. 2, и различных начальных положений частицы по горизонтали $x(0)$ и по вертикали $y(0)$ (глубины, на которой расположена частица). На рис. 3 изображен типичный пример эволюции с течением времени $t$ траектории частицы, находящейся в начальный момент времени слева от центра волны повышения уровня примерно на расстоянии, равном половине длины волны (в связи с трансляционной инвариантностью рассматриваемой системы уравнений можно считать, что горизонтальная координата центра волны равна нулю) $x(0)=-26$ и на фиксированной глубине $y(0)=0.75$. Из этого рисунка легко видеть, что при небольших значениях времени траектория частицы, расположенной в начальной точке достаточно далеко от центра волны, начинает закручиваться против часовой стрелки. Затем при прохождении волны (с течением времени) радиус “закрутки” траектории достигает максимального значения и начинает уменьшаться до нуля. Расстояние между начальной и конечной точками траектории очевидно не равно нулю, откуда следует, что при распространении рассматриваемой поверхностной волны имеет место дрейф частиц. 4. Заключение и обсуждениеВ настоящей работе построены траектории частиц жидкости в поле убывающих на бесконечности нелинейных бегущих волн, распространяющихся по поверхности раздела жидкость–лед в слое идеальной несжимаемой жидкости под ледяным покровом. Волновые процессы в жидкости описываются уравнениями Эйлера с дополнительным поверхностным давлением, вызванным наличием льда, который моделируется свободно плавающей на поверхности упругой геометрически нелинейной пластиной Кирхгоффа–Лява. Уравнения для бегущих волн в жидкости под ледяным покровом (которые локально могут быть записаны в операторном виде (2.3)) допускают проекцию на центральное многообразие – локальное нелинейное многообразие конечной размерности в бесконечномерном фазовом пространстве основной системы дифференциальных уравнений в частных производных, – где находятся ограниченные решения и основные уравнения для бегущих волн записываются в виде конечномерной динамической системы (в виде так называемых приведенных уравнений). В статье рассматривается случай, когда размерность центрального многообразия равна $4$, она соответствует линейному $1:1$ резонансу. В этом случае центральный спектр оператора $\mathbf{A}$ в (2.3) состоит из четырех собственных значений (двух пар, симметричных относительно начала координат), которые при изменении скорости волны сходят с мнимой оси в комплексную плоскость, попарно совпадая в точке “схода” на мнимой оси. Быстро убывающие волновые структуры ответвляются от состояния покоя на многообразиях в пространстве физических праметров, где собственные значения, принадлежащие к центральному спектру $\mathbf{A}$, являются попарно совпадающими. Иными словами, бифуркация из состояния покоя происходит в двухкратных собственных значениях центрального спектра. В случае простого резонанса (рассмотренного в недавней статье авторов [18]) соответствующее многообразие – плоскость в пространстве обратного квадрата числа Фруда $\lambda$, безразмерного начального напряжения в ледовой пластине $b$ и безразмерной жесткости пластины на изгиб $\gamma$, а в случае $1:1$ резонанса – поверхность (2.5). При этом нелинейным продуктом простого резонанса является семейство классических уединенных волн, а $1:1$ резонанса – семейство уединенных волновых пакетов. Упомянутые волновые структуры являются решением приведенных обыкновенных дифференциальных уравнений на центральном многообразии. Эти уравнения приближаются до любого алгебраического порядка по амплитуде волны уравнениями в квазинормальной форме, которые в рассматриваемых случаях простого и $1:1$ резонансов являются интегрируемыми, допуская нужное число первых интегралов, находящихся в инволюции. Таким образом, решение “усеченных уравнений” в квазинормальной форме до любого алгебраического порядка по амплитуде, в принципе, может быть получено в явном виде. Кроме того, для рассматриваемых резонансов, полученное решение “усеченной системы” является приближением решения полных приведенных уравнений с точностью до членов более высокого порядка по амплитуде волны. Это решение имеет тот же тип, а именно: оно экспоненциально убывает на обеих пространственных бесконечностях. Иными словами, для рассматриваемых резонансов имеет место результат о грубости решений “усеченных” уравнений в квазинормальной форме, который выражается теоремами 1, 2. В статье получены приближения первого порядка по малой амплитуде для бегущих поверхностных волн типа уединенного волнового пакета, а также построены соответствующие приближения полей скоростей частиц жидкости, отвечающих этим волнам. Распределение траекторий частиц по глубине слоя жидкости тогда вычисляется путем интегрирования обыкновенной неавтономной динамической системы (3.5). Классические уединенные волны (рассмотренные в [18]) имеют место при больших безразмерных напряжениях в ледовой пластине, когда число $b$ (аналог числа Бонда для гравитационно-капиллярных волн) больше $1/3$. Это неравенство налагает ограничения на соотношение толщины льда и глубины слоя жидкости при физически реальном напряжении в ледяном покрове. Разумеется, указанное неравенство означает, что рассматриваются только начальные растяжения в ледяном покрове ($b>0$). В случае уединенных волновых пакетов, когда $b<1/3$, тоже рассматривался случай начального растяжения ($b>0$). Подобные бифуркации были впервые рассмотрены в работе [31] для $b>0$, $\gamma=0$ (случай гравитационно-капиллярных волн). В отличие от этой работы, в (2.5) нет ограничений на знак $b$, что позволяет рассматривать также изначально сжатый ледяной покров. Уединенный волновой пакет является членом семейства солитонов огибающей, у которых скорости монохроматического наполнения совпадают. Эти волны являются членами семейства нелинейных волн – уединенных волн огибающих (в низшем порядке по амплитуде описываемых хорошо известным уравнением Шредингера), которые характеризуются двумя скоростями: скоростью огибающей (групповой скоростью) и скоростью монохроматического наполнения (фазовой скоростью). Уединенные волны огибающей представляют собой продукт модуляционой неустойчивости (самофокусировки) несущей периодической волны. Напомним, что пространственные переменные приводятся к безразмерному виду при помощи глубины жидкости $H$. Из рис. 2 видно, что при глубине жидкости 55 м и $\mu=0.005$ амплитуда изгибной волны может достигать 1.5 м. При этом изгибные деформации ледяной пластины (а значит, и напряжения в пластине) невелики, так как волна очень длинная (ее длина больше $2$ км) и, как следствие, расстояние между соседними горбами превосходит 100 м. Разброс горизонтальных положений рассматриваемой частицы составляет порядка 5 м, а вертикальных положений – более 2 м. Заметим, что линейного аналога уединенного волнового пакета не существует, т. е. сама эта волна является продуктом взаимодействия нелинейности и дисперсии. Как уже упоминалось, уединенные волновые пакеты имеют место при положительных $q_2$. При увеличении волнового числа $q$ коэффициент $q_2$ становится отрицательным [19]; при $q_2<0$ происходит замещение уединенных волновых пакетов на так называемые темные солитоны, которые являются нелинейным продуктом боры и периодической волны. Для волн под ледяным покровом при фиксированной толщине льда существует критическая глубина жидкости $H_\mathrm{c}$, выше которой не существует более решений типа уединенных волновых пакетов, а для $\mu<0$ имеют место темные солитоны [19]. Темный солитон является индикатором модуляционной устойчивости несущей периодической волны. Таким образом, можно говорить, что при переходе через $H_\mathrm{c}$ (в сторону возрастания) фокусирующая окрестность безразмерного волнового числа $q$ заменяется на дефокусирующую. Траектории жидких частиц в поле темного солитона планируется исследовать в последующей работе авторов. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IliSavSha24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|