RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2008
25 июля 2008 г. 15:30, г. Дубна
 


A что будет, если $n$ очень большое? Лекция первая

А. М. Вершик
Видеозаписи:
Real Video 242.2 Mb
Windows Media 256.0 Mb
Flash Video 403.8 Mb
MP4 403.8 Mb
Материалы:
Adobe PDF 166.4 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:1810
Видеофайлы:2610
Материалы:205

А. М. Вершик


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Ответом на этот вопрос занимется пол-математики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него.
Но это не значит, что, если вы видите в задаче $n$ или даже $2^n$, то надо сразу задавать этот вопрос или немедленно переходить к пределу по $n$ — «асимптотничать» надо с умом.
Мы рассмотрим несколько таких примеров.
Пример № 1. Как устроена подстановка $n$ предметов (т.е. элемент симметрической группы $S_n$) когда $n$ большое?
1. Простая задача: сколько циклов в произвольной («типичной» или «случайной» — это будет уточнено) подстановке при большом $n$?
2. Задача посложнее с неожиданным ответом: каким может быть типичное соотношение между суммами длин циклов четной и нечетной длины — при больших $n$?
3. Трудный вопрос: в скольких циклах содержится 99% предметов у 99% всех подстановок при очень больших $n$ (ответ — в 11).
Оказывается, все эти вопросы можно задать и получить те же ответы в задаче о совсем не похожих объектах, а именно: о простых делителях типичных натуральных чисел, Например, аналог последней задачи: произведение 11 старших простых делителей для большинства (99%) натуральных чисел $n$ почти равно этому числу $=n^{0.99}$, если $n$ очень большое.
Эти задачи привели к замечательной теории случайных сходящихся рядов, которая нашла применения в популяционной генетике, в теории запасов, и даже в теории представлений и ее применениях к физике.
Пример № 2. Рассмотрим разбиения натурального числа в сумму натуральных же слагаемых расположенных в невозрастающем порядке. Разбиениями занимался еще Л. Эйлер, а Харди и Раманауджан нашли в начале ХХ века очень сложную формулу для числа таких разбиений (простой формулы не существует!). Как выглядит типичное разбиение числа $n$, когда $n$ очень большое. Первым этот вид нашел физик Темперли 60 лет назад, правда, без всякого доказательства. А мы попробуем доказать, что предельная форма разбиения, (которое можно геометрически изображать диаграммой Юнга) существует и найдем ее.
Пример № 3. Рассмотрим выпуклые многоугольники на плоскости, вершины которых лежат на целочисленной решетке (т.е. имеют целые координаты). Зафиксируем площадь многоугольников, равную $n^2$, и будем считать, что центр тяжести вершин этих многоугольников лежит в начале координат. Как выглядит типичный многоугольник при очень большом $n$, если его сжать в $n$ раз? А если фиксировать не площадь, а квадрат, в котором лежат многоугольники?

Материалы: v231.pdf (166.4 Kb)
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017