Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика», 2013
30 июля 2013 г. 09:30, г. Дубна
 


Случайные блуждания на плоскости и их пределы: простое случайное блуждание, LERW и SAW. Лекция 4

Д. С. Челкак
Видеозаписи:
Flash Video 518.5 Mb
MP4 518.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:276
Видеофайлы:118

Д. С. Челкак


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Как выглядит случайная кривая на плоскости? И что это вообще такое? Классический пример – простое случайное блуждание на квадратной решетке: пьяница стартует из бара в начале координат, проходит один квартал в случайно выбранном направлении (на север, запад, юг или восток), после чего повторяет процедуру на каждом перекрестке, независимо от того, что происходило ранее. Какие у него шансы попасть на нужную окраину города? Или вернуться в исходный бар, если город бесконечен? На первых двух лекциях мы обсудим связи этой, изначально чисто комбинаторной задачи, со школьной физикой и комплексным анализом. В частности, мы поговорим о броуновском движении: что происходит, если размер одного шага нашего процесса – очень маленький (например, мы глядим на Манхэттен из пролетающего самолета, или на пыльцу в капле воды через микроскоп).
А как можно естественным образом определить случайную несамопересекающуюся кривую на плоскости и какими свойствами будут обладать такие кривые? Третья и четвертая лекции будут посвящены современным результатам в этом направлении: случайному блужданию с удаленными петлями (LERW = Loop Erased Random Walk) и самоизбегающему случайному блужданию (SAW = Self Avoiding Walk). Для модели LERW мы постараемся объяснить основную идею, позволяющую изучать предел таких блужданий при измельчении шага решетки, а также ее связь с другой важной конструкцией – случайным остовным деревом заданного графа. Для модели SAW будет рассказано доказательство важного недавнего результата (2010 г.) о перечислении несамопересекающихся ломаных заданной длины, нарисованных на шестиугольной решетке.
Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа и имеющими общее представление о теории вероятностей. Третья и четвертая лекции независимы друг от друга и от первых двух: их можно слушать, если вы уже обладаете базовыми знаниями о случайном блуждании на плоскости (или же посетили первые две лекции). По ходу дела будут появляться листочки с задачами к лекциям.
Лекции 1–2. Простое случайное блуждание на квадратной решетке. Вероятность выхода из области через заданную дугу и задача Дирихле для дискретно-гармонических функций. Функция Грина в области как сумма по траекториям случайного блуждания. Неограниченность свободной функции Грина и возвратность случайного блуждания на плоскости.
Броуновское движение как предел случайных блужданий на измельчающихся решетках. Аналитические функции, конформные отображения и свойство конформной инвариантности вероятности выхода из области через заданную дугу. Обсуждения свойства конформной инвариантности траекторий броуновского движения как следствия конформной инвариантности вероятностей выхода.
Лекция 3. LERW: случайное блуждание с удаленными петлями. Независимость вероятностного распределения получаемых траекторий от процедуры удаления петель: «с начала» или «с конца». Мартингальное свойство дискретного ядро Пуассона по отношению к растущей кривой. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий (на измельчающихся решетках) случайных блужданий с удаленными петлями и их свойств.
Лекция 4. SAW: самоизбегающие блуждания. Определение модели, свойство субаддитивности, константа связности. Построение дискретно-аналитической наблюдаемой как суммы по путям с комплексным весом. Доказательство теоремы H. Duminil–Copin'а и С. К. Смирнова (2010 г.) о точном значении константы связности для шестиугольной решетки. Обсуждение конформной инвариантности предельных траекторий: чего не хватает для полного доказательства?

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2013/courses/chelkak.htm
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021