Проекция Меркатора, логарифм и мореплавание

Если вы посмотрите на карту мира, то легко заметите, что масштаб не явлается постоянным, он меняется от экватора к полюсам. Например, Гренландия на карте мира выглядит намного больше чем Австралия, хотя и она во много раз меньше Австралии. Почему это так? Оказывается карта мира, которая искажает размеры, взамен обладает удивительнейшим свойством: она переводит локсодромы в прямые линии (локсодромы — это кривые на земном шаре, которые составляют постоянный угол с меридианами). Легко понять, что задача построения локсодромы была жизненно важна для мореплавания в средние века. Если надо было проложить курс из точки А в точку Б, то, соединив точки А и Б на такой карте отрезком прямой, мы немедленно получим угол, под которым нужно направить корабль. Имея лишь компас, мы не собъемся с пути, даже если скорость корабля не контролируется, как и было в парусную эпоху. Мы расскажем об этом, о том как устроены такие карты. Оказывается, что при построении этих карт большую роль играют некоторые формулы, связанные со свойствами логарифмической функции. Можно сказать, что Меркатор (который создал эти карты в ХVI веке) заложил основания этих формул. Более подробно смотрите статью А. В. Боровика, О. М. Худавердяна с одноименным названием в журнале «Математическое просвещение» или этюд «Проекция Меркатора, функция log z и судоходство».