Суммы и пересечения динамически определённых канторовых множеств, занятие 1

Простейшее канторово множество K строится так: берём отрезок [0,1], выкидываем из него (открытую) среднюю треть, из каждого из двух получившихся отрезков по средней трети, и так далее. Получается множество очень «дырявое», но тем не менее равномощное [0,1].
А вот сумма такого множества с самим собой оказывается уже опять «толстой» — это отрезок [0,2] (докажите!). Поэтому пересечение K со сдвигами (a-K) непусто при всех a∈[0,2]; а это весьма удивительно: два дырявых множества пересекаются так, что малым шевелением «расцепить» их не получается.
А что будет, если взять чуть-чуть другие канторовы множества: как будет вести себя их сумма? Легко ли разрушить их пересечение?
Такие вопросы возникают в теории динамических систем, где канторовы множества возникают из множества «скатывающихся» или «набегающих» на инвариантное множество траекторий, а неразрушимость их пересечения нужна для некоторых важных примеров.
Возникают они и на границе теории операторов и математической физики. В довольно естественном классе задач с разделяющимся потенциалом, спектр оказывается суммой «одномерных» спектров — и зачастую это именно сумма канторовых множеств.
Можно вспомнить и теорию чисел — где такие вопросы оказываются связанными с описанием возможных приближений действительных чисел рациональными (более точно, со спектрами Лагранжа и Маркова).
Наконец, часть вопросов формулируется настролько просто и естественно, что интересна сама по себе.
Оказывается, эффекты при сложении канторовых множеств бывают разные — и далеко не все из естественных гипотез, описывающих поведение таких сумм, уже доказаны.