Аксиома детерминированности, занятие 1

Стандартным подходом к формализации математики является использование формальной теории множеств с аксиомой выбора. Хотя аксиома выбора позволяет производить множество удобных конструкций, у неё имеются некоторые контринтуитивные следствия, в частности теорема Банаха–Тарского о разбиение шара на пять частей, из которых можно составить две копии исходного шара. Видимо, наиболее хорошо изученной альтернативой аксиоме выбора, позволяющей избежать ряда контринтуитивных примеров, является аксиома детерминированности, формулируемая в терминах бесконечных игр.
Рассмотрим бесконечный игровой процесс, в котором два игрока поочередно выбирают натуральные числа. В результате строится последовательность $b$ натуральных чисел $b_1,b_2,\dots,b_n,\dots$. Победитель в игре определяется с помощью заранее заданного множества $A$ бесконечных последовательностей натуральных чисел: игрок I выигрывает, если последовательность $b$ лежит в $A$, иначе выигрывает игрок II. В отличие от конечных игр в рамках формальной теории множеств оказывается невозможно доказать что для всякого $A$ игра будет детерминированной, т.е. найдется выигрышная стратегия за одного из двух игроков. И более того: с использованием аксиомы выбора можно построить пример такого $A$, для которого игра окажется недетерминированной. Но в тоже время без использования аксиомы выбора такого построения произвести уже не удается. Утверждение о том, что для всякого $A$ игра детерминирована, и называется аксиомой детерминированности.
В этом курсе я расскажу о некоторых вопросах, связанных с бесконечными играми и аксиомой детерминированности. Предварительные знания аксиоматической теории множеств не требуются.