Графы, критическая группа и многочлен Татта, занятие 1

Мы начнем с классической банковской игры в рассыпание фишек (chip firing), также извесной как песочные модели; им два года назад был посвящён курс Никиты Калинина. В начальный момент на каждой вершине находится неотрицательное целое число фишек. На каждом ходу одна из вершин отдает по одной фишке каждому из своих соседей (а фишки, упавшие в некоторые выделенные вершины, пропадают насовсем), и этот процесс продолжается до тех пор, пока есть такие «богатые» вершины, которые можно рассыпать. Когда рассыпать уже нечего, получившееся состояние называется стабильным. Можно переходить от одного стабильного состояния к другому, сначала добавляя фишки, а потом рассыпая их. Но в некоторые состояния (например, в пустое) так вернуться нельзя. Те состояния, в которые можно вернуться откуда угодно, называются критическими. Оказывается, существуют другие объекты на графах, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с критическими конфигурациями. Эти объекты, а также всевозможные биекции между ними, и будут основной темой наших занятий.