Системы корней и диаграммы Дынкина. Семинар 1

Система корней — это конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов $v$ зеркальная симметрия $s_v$ относительно гиперплоскости $H_v$, перпендикулярной к $v$, сохраняет систему, причём для всякого вектора $v'$ из системы $s_v(v')- v'$ является целым кратным вектора $v$.
В двумерном пространстве единственнными (приведенными и неприводимыми) системами корней являются нарисованные на картинке системы.
Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем. Самая сложная исключительная система $E_8$ играет важнейшую роль в Стандартной Модели, на которой основана современная физика элементарных частиц.
Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина. Кроме того, мы обсудим важное обобщение систем корней — аффинные системы и поговорим о том, в каких областях математики все это встречается.