Самоподобие и апериодические точки для внешних бильярдов

Доклад основан на совместных проектах с А. Белым, А. Канель-Беловым, Ф. Руховичем, В. Згурским.
Внешний бильярд вокруг выпуклой фигуры на плоскости — отображение, отправляющее каждую точку вне данной фигуры в другой конец отрезка, начинающегося в этой точке и касающегося данной фигуры посередине. Итерации внешнего бильярда были предложены Ю. Мозером в качестве грубой модели движения планет. Если фигура — многоугольник, то получаются нетривиальные примеры кусочно-евклидовых перекладываний многоугольных кусков, двумерные аналоги перекладываний отрезков. Перекладывания многоугольников имеют и практические приложения, например, в электронике.
Мы рассмотрим внешние бильярды относительно правильных $N$-угольников. Ранее известные строгие результаты в этом направлении опирались на динамическое самоподобие (такой подход был впервые применен С. Табачниковым), за исключением «тривиальных» (или «интегрируемых») случаев $N=3,4,6$. Самоподобия обнаружены, на текущий момент, только в случаях $N=5,7,8,9,10,12$. С ними связаны интересные открытые вопросы теоретико-числового характера.
В своем докладе на международном математическом конгрессе 2022, Р. Шварц высказал гипотезу о том, что «внешний бильярд на правильном $N$-угольнике имеет апериодическую орбиту, если $N$ не равно $3$, $4$, $6$». Наша работа доказывает гипотезу Шварца методами, не имеющими отношения к самоподобию. Основные инструменты приходят из теории равносоставленности, в виде аддитивных инвариантов, обобщающих инвариант Са–Арну–Фати (инвариант перекладываний отрезков) на многомерный случай, с использованием инварианта трансляционной равносоставленности Хадвигера и Глура.