Е. К. Брусянская, А. А. Клячко, “О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 25–33; Izv. Math., 86:2 (2022), 243

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2022, том 86, выпуск 2, страницы 25–33
DOI: https://doi.org/10.4213/im9139 (Mi im9139)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп

Е. К. Брусянская^ab, А. А. Клячко^ab

^a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики

PDF полного текста (482 kB) PDF английской версии (447 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9139

Аннотация: Число гомоморфизмов из группы

F

$F$ в группу

$G$ делится, как известно, на наибольший общий делитель порядка группы

$G$ и экспоненты группы

$F/[F,F]$ . Мы исследуем вопрос о том, что можно сказать про число гомоморфизмов, удовлетворяющих некоторым естественным условиям вроде инъективности или сюръективности. Простейшим нетривиальным следствием наших результатов является тот факт, что в любой конечной группе число порождающих пар

$(x,y)$ таких, что

$x^3=1=y^5$ , делится на наибольший общий делитель пятнадцати и порядка группы

$[G,G]\cdot\{g^{15}\mid g\in G\}$ .
Библиография: 22 наименования.

Ключевые слова: число гомоморфизмов, уравнения в группах, теорема Фробениуса, теорема Соломона.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	19-01-00591
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 19-01-00591).

Поступило в редакцию: 03.01.2021

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages 243–251
DOI: https://doi.org/10.1070/IM9139

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.542+512.543.72

MSC: 20F70, 20D60, 20F05

Введение

В основу работы легли три классических результата про делимость в группах: теоремы Фробениуса (1895), Соломона (1969) и Ивасаки (1985).

Теорема Фробениуса ([1], см. также [2]). Число решений уравнения $x^n{=}\,1$ в конечной группе $G$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(|G|,n)$ для любого натурального $n$ .

Теорема Соломона (см. [3]). В любой группе число решений конечной системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если уравнений меньше, чем неизвестных. Другими словами, число гомоморфизмов $\langle x_1,\dots,x_m\mid w_1=\dots=w_n=1\rangle\to G$ делится на $|G|$ , если $m>n$ .

Теорема Ивасаки (см. [4]). Для любого целого $n$ число элементов конечной группы $G$ , $n$ -е степени которых лежат в данной подгруппе $A\subseteq G$ , делится на $|A|$ .

Эти теоремы много раз обобщались в разных направлениях (см. [5]–[21] и литературу там цитируемую). Например, в [16] доказано следующее обобщение теоремы Соломона.

Теорема Гордона–Родригеса–Виллегаса (см. [16]). Число гомоморфизмов $F\to G$ делится на порядок группы $G$ , если $F$ – конечно порожденная группа, коммутант которой имеет бесконечный индекс.

Позже выяснилось, что между тремя классическими результатами есть связь:

– в [19] доказан некоторый общий факт, который мы здесь называем теоремой КМ, включающий в себя в качестве частных случаев теоремы Соломона и Ивасаки (и их обобщения);

– в [20] показано, что все три классических теоремы (и их обобщения, включая теорему КМ) являются частными случаями одной очень общей теоремы, которую мы здесь называем теоремой BKV (см. § 1).

Авторы [19] выводят из теоремы КМ следующий факт о делимости числа гомоморфизмов, удовлетворяющих условиям типа инъективности или сюръективности. Пусть $F\supseteq W$ и $G\supseteq A$ – группы и

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Hom}(F,W;G,A)&\,{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\subseteq A\}, \\ \operatorname{Epi}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)=A\}, \\ \operatorname{Mono}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\,{\subseteq}\, A \text{ и ограничение $\phi$ на $W$ инъективно}\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теорема (об эпи-, моно- и гомоморфизмах; см. [19]). Пусть $W$ – подгруппа конечно порожденной группы $F$ , коммутант $F'$ которой имеет бесконечный индекс, а $A$ – подгруппа группы $G$ . Тогда

и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на порядок нормализатора $N(A)$ подгруппы $A$ , если индекс $|F:F'W|$ бесконечен;

$|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится на $|A|$ ;

$|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится на $|A'|$ .

Целью настоящей работы является добавление “фробениусовости” в эту теорему, т. е. избавление от условий $|F:F'|=\infty$ и $|F:F'W|=\infty$ . Результат оказался ожидаемым для утверждений a) и b), гораздо менее очевидным в случае c), кроме того, возникает новое утверждение d).

“Фробениусова” теорема (об эпи-, моно- и гомоморфизмах). Пусть $A$ – подгруппа группы $G$ , а $W$ – подгруппа конечно порожденной группы $F$ . Тогда

и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(N(A),\exp(F/(F'W))\bigr)$ ;

$|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(A,\exp(F/F'))$ ;

$|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(A'A^{\exp(F/F')},\exp(F/F')\bigr)$ ;

$|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(A,\exp\bigl(F/(F'Z(W))\bigr)\bigr)$ .

Это сильно упрощенная формулировка приведенной ниже теоремы 1, точнее ее следствия (см. § 3). Все, что здесь утверждается по поводу числа $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ , не является новым – эти факты, установленные в [20], мы включили просто для полноты картины.

Отметим, что в этой теореме не предполагается, что группа $G$ конечна. Мы придерживаемся обозначений из [20]: наибольшим общим делителем $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n)$ группы $G$ и целого числа $n$ мы называем наименьшее общее кратное порядков подгрупп группы $G$ , делящих $n$ ; делимость всегда понимается в смысле кардинальной арифметики: каждый бесконечный кардинал делится на все меньшие ненулевые кардиналы (и, разумеется, нуль делится на все кардиналы, а на нуль делится только нуль). Это означает, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,0)=|G|$ для любой группы $G$ ; а, например, $\operatorname{\textrm{НОД}}(\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z}),2020)=2$ . Без потери общности будем считать все группы в настоящей работе конечными, а в этом случае $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n)=\operatorname{\textrm{НОД}}(|G|,n)$ по теореме Силова (и поскольку конечная $p$ -группа содержит подгруппы всех возможных порядков).

Пункт b) этой теоремы, разумеется, содержит классические теоремы

– Фробениуса (достаточно взять в качестве $F=W$ циклическую группу и положить $A=G$ );

– Соломона и даже Гордона–Родригеса-Виллегаса (достаточно взять в качестве $F=W$ конечно порожденную группу, коммутант которой имеет бесконечный индекс и положить $A=G$ );

– Ивасаки (достаточно положить $F=\mathbb{Z}\supseteq n\mathbb{Z}=W$ ).

А если, например, взять в пункте c) теоремы в качестве $F=W$ свободное произведение циклических групп и положить $A=G$ , то мы получим следующий факт.

Следствие (о системах порождающих). Для любой группы $G$ и любых $k_i\,{\in}\,\mathbb{Z}$ число наборов $(g_1,\dots,g_n)$ элементов группы $G$ таких, что $\langle g_1,\dots,g_n\rangle\,{=}\,G$ и $g_i^{k_i}=1$ , делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(G'\cdot G^{\operatorname{\textrm{НОК}}(k_1,\dots,\,k_n)}, \operatorname{\textrm{НОК}}(k_1,\dots,\,k_n)\bigr)$ . (Здесь и далее $G^m:=\langle\{g^m\mid g\in G\}\rangle$ .)

Отметим, что ключом к нашему обобщению теоремы об эпи- моно- и гомоморфизмах является использование вместо теоремы КМ ее “фробениусова аналога”, т. е. теоремы BKV. Однако на самом деле мы обобщаем и саму теорему BKV (см. основную теорему в § 1 и ее доказательство в § 2).

Обозначения и соглашения, которые мы используем, в целом стандартны. Отметим только, что если $k\,{\in}\,\mathbb{Z}$ , а $x$ и $y$ – элементы некоторой группы, то $x^y$ , $x^{ky}$ и $x^{-y}$ обозначают $y^{-1}xy$ , $y^{-1}x^ky$ и $y^{-1}x^{-1}y$ соответственно. Коммутант группы $G$ мы обозначаем символом $G'$ или $[G,G]$ , а центр группы $G$ – символом $Z(G)$ ; подгруппу группы $G$ , порожденную $n$ -ми степенями всех элементов – символом $G^n$ . Мощность множества $X$ обозначаем $|X|$ ; если $X$ – подмножество некоторой группы, то $\langle X\rangle$ , $C(X)$ и $N(X)$ означают соответственно подгруппу, порожденную множеством $X$ , централизатор множества $X$ и нормализатор множества $X$ . Индекс подгруппы $H$ группы $G$ обозначается $|G\,{:}\,H|$ . Буква $\mathbb{Z}$ обозначает множество целых чисел. $\operatorname{\textrm{НОД}}$ и $\operatorname{\textrm{НОК}}$ – это наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Символом $\exp(G)$ – период (экспоненту) группы $G$ , если этот период конечен; и считаем $\exp(G)=0$ , если период бесконечен. Кроме того, отметим еще раз, что конечность групп нигде не предполагается по умолчанию, делимость всегда понимается в смысле кардинальной арифметики (бесконечный кардинал делится на все ненулевые кардиналы, не превосходящие его), а $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n):=\operatorname{\textrm{НОК}}(\{|H|\bigm| H \text{ - подгруппа в } G \text{ и } |H| \text{ делит } n\})$ .

§ 1. Основная теорема

Группу $F$ с фиксированным эпиморфизмом $F\to\mathbb{Z}_n:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (где $n\in\mathbb{Z}$ ) мы называем $n$ -индексированной группой [20]. Этот эпиморфизм $F\to\mathbb{Z}_n$ мы называем степенью и обозначаем $\deg$ . Таким образом, для любого элемента $f$ индексированной группы $F$ определен элемент $\deg f\in\mathbb{Z}_n$ , причем группа $F$ содержит элементы всех степеней и ${\deg(fg)=\deg f+\deg g}$ для любых $f,g\in F$ .

Пусть имеется гомоморфизм $\phi\colon F\to G$ из $n$ -индексированной группы $F$ в какую-то группу $G$ и подгруппа $H$ группы $G$ . Подгруппу

$\begin{equation*} H_\phi=\bigcap_{f\in F}H^{\phi(f)}\cap C\bigl(\phi(\ker\deg)\bigr) \end{equation*} \notag$

называют

$\phi$ -сердцевиной подгруппы

$H$ [19]. Другими словами,

$\phi$ -сердцевина

$H_\phi$ подгруппы

$H$ состоит из таких ее элементов

$h$ , что

$h^{\phi(f)}\in H$ для всех

$f$ , причем

$h^{\phi(f)}=h$ , если

$\deg f=0$ .

Теорема BKV (см. [20]). Пусть целое число $n$ делится на порядок подгруппы $H$ некоторой группы $G$ , и некоторое множество $\Phi$ гомоморфизмов из $n$ -индексированной группы $F$ в $G$ удовлетворяет следующим условиям.

$\Phi$ инвариантно относительно сопряжения элементами из $H$ : если $h\in H$ и $\phi\in\Phi$ , то гомоморфизм $\psi\colon f\mapsto\phi(f)^h$ тоже лежит в $\Phi$ .

Для любого $\phi\in\Phi$ и любого элемента $h$ из $\phi$ -сердцевины $H_\phi$ подгруппы $H$ гомоморфизм $\psi$ , определенный правилом

$\begin{equation*} \psi(f)= \begin{cases} \phi(f) &\text{для всех элементов $f\in F$ степени нуль}; \\ \phi(f)h &\text{для некоторого элемента $f\in F$ степени один} \\ &\quad\text{(а, значит, и для всех элементов степени один)}, \end{cases} \end{equation*} \notag$

также содержится в

$\Phi$ .

Тогда $|\Phi|$ делится на $|H|$ .

Отметим, что

– отображение $\psi$ из условия I является гомоморфизмом при любом $h\in G$ ; а формула для $\psi$ из условия II определяет гомоморфизм при любых $h\in H_\phi$ (как объясняется в [20]); смысл условий I и II состоит в том, что эти гомоморфизмы лежат в $\Phi$ ;

– согласно лемме 3 из [20] в условии II теоремы BKV $\psi(f)\in\phi(f)H_\phi$ для всех $f\in F$ ;

– условие “ $n$ делится на порядок подгруппы $H$ ” можно опустить, но тогда в заключении теоремы следует написать: “ $|\Phi|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(H,n)$ ” (вместо “ $|\Phi|$ делится на $|H|$ ”); это вытекает сразу из определения наибольшего общего делителя группы и числа (см. Введение) и из того, что если условия I и II выполнены для $H$ , то они выполнены и для любой подгруппы группы $H$ ;

– теорема КМ – это в точности теорема BKV при $n=0$ .

Основная теорема. Пусть $F$ – $n$ -индексированная группа, $H$ – подгруппа группы $G$ , $k$ – натуральное число, $\Phi$ – некоторое множество гомоморфизмов из $F$ в $G$ , удовлетворяющее следующим условиям:

для всех $\phi\in\Phi$ и $h\in H$ гомоморфизм $\psi\colon f\mapsto\phi(f)^h$ лежит в $\Phi$ ;

для каждого $\phi\in\Phi$ $\phi$ -сердцевина $H_\phi$ подгруппы $H$ содержит подгруппу $H_{\phi,k}$ такую, что

• $H_\phi\supseteq H_{\phi,k}\triangleleft\langle H_\phi\cup\phi(F)\rangle$ ;
• $|H_\phi/H_{\phi,k}|$ делит $k$ ;
• если $\phi\in\Phi$ и $\psi\colon F\to G$ – некоторый гомоморфизм, совпадающий с $\phi$ на элементах степени нуль и такой, что $\psi(w)\in\phi(w)H_{\phi,k}$ для всех элементов $w\in F$ , степени которых делятся на $k$ (т. е. $\deg w\in k\mathbb{Z}_n$ ), то $\psi\in\Phi$ .

Тогда $|\Phi|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(H,n)$ .

Этот факт обобщает теорему BKV и по сути (т. е. с учетом замечаний после теоремы BKV) превращается в нее, если положить $k=1$ и $H_{\phi,k}=H_\phi$ .

§ 2. Доказательство основной теоремы

Можно предполагать, что $|H|$ делит $n$ (по определению наибольшего общего делителя группы и числа и поскольку условия (i) и (ii) сохраняются при замене $H$ на ее подгруппу). Далее достаточно показать, что условия I и II теоремы BKV выполнены для этих $F$ , $G$ , $H$ и $\Phi$ . Условие I очевидно выполнено в силу условия (i).

Проверим условие II. Пусть $\phi\in\Phi$ , элемент $f_1\in F$ имеет степень один, $\phi(f_1)=g$ и $h\in H_\phi$ . Надо показать, что гомоморфизм $\psi\colon F\to G$ , совпадающий с $\phi$ на элементах степени нуль и переводящий $f_1$ в $gh$ , лежит в $\Phi$ . Каждый элемент $w\in F$ , степень которого делится на $k$ , можно записать в виде $w=f_0f_1^{ki}$ для некоторых $i\in\mathbb{Z}$ и $f_0\in\ker\deg$ . Тогда

$\begin{equation*} \psi(w)=\psi(f_0f_1^{ki})=\psi(f_0)(gh)^{ki}=\phi(f_0)(gh)^{ki} \end{equation*} \notag$

(поскольку

$\phi$ и

$\psi$ совпадают на

$\ker\deg$ ). Подгруппа

$H_\phi$ нормальна в

$\langle H_\phi,g\rangle$ по определению

$\phi$ -сердцевины

$H_\phi$ .

Лемма Брауэра (см. [22], также [20]). Если $U$ – конечная нормальная подгруппа группы $V$ , то для всех $v\in V$ и $u\in U$ элементы $v^{|U|}$ и $(vu)^{|U|}$ сопряжены с помощью элемента из $U$ .

Применив лемму Брауэра к нормальной подгруппе $H_\phi/H_{\phi,k}$ группы $\langle g, H_\phi\rangle/H_{\phi,k}$ , мы получим включение $(gh)^{ki}\in g^{kih'}H_{\phi,k}$ для некоторого $h'\in H_\phi$ , который не зависит ни от $i$ , ни от $w$ , а определяется только гомоморфизмами $\phi$ и $\psi$ . Поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \psi(w)&= \phi(f_0)(gh)^{ki}\in \phi(f_0)g^{kih'}H_{\phi,k} \stackrel{(1)}{=} \bigl(\phi(f_0)g^{ki}\bigr)^{h'}H_{\phi,k}\stackrel{(2)}{=} \bigl(\phi(f_0f_1^{ki})\bigr)^{h'}H_{\phi,k} \\ &\!\stackrel{(3)}{=} \bigl(\phi(w)\bigr)^{h'}H_{\phi,k}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где равенство

$\stackrel{(1)}{=}$ вытекает из того, что элемент

$h'\in H_\phi$ коммутирует с образом

$\phi(f_0)$ элемента

$f_0$ степени нуль по определению

$\phi$ -сердцевины

$H_\phi$ ; равенство

$\stackrel{(2)}{=}$ вытекает из определения элемента

$g$ ; равенство

$\stackrel{(3)}{=}$ вытекает из определения элемента

$w$ .

Гомоморфизм $f\mapsto \bigl(\phi(f)\bigr)^{h'}$ лежит в $\Phi$ по условию (i), и, следовательно, $\psi\in\Phi$ по условию (ii). Доказательство основной теоремы завершено.

§ 3. На что делится число эпи-, моно- и гомоморфизмов

Пусть $\Phi$ – некоторое множество гомоморфизмов из $n$ -индексированной группы $F$ в группу $G$ , а $B$ и $H$ – подгруппы в $G$ . Подгруппу $H$ назовем $(B,k,\Phi)$ -гладкой, если при всех $\phi\in\Phi$ группа $H_\phi\cap B$ содержит нормальную в $\langle H_\phi,\phi(F)\rangle$ подгруппу $\widehat B$ (зависящую от $\phi$ ) такую, что $|H_\phi/\widehat B|$ делит $k$ .

Следующая лемма содержит вполне очевидные примеры гладких подгрупп.

Лемма (о гладких подгруппах). Следующие подгруппы группы $G$ являются $(B,k,\Phi)$ -гладкими:

любая подгруппа, содержащаяся в $B$ ;

любая подгруппа, порядок которой делит $k$ ;

любая подгруппа $H$ такая, что $|H:H\cap B|$ делит $k$ , если $B\triangleleft G$ .

Доказательство. Достаточно взять в качестве

$\widehat B$ следующие подгруппы: 1)

$H_\phi$ , 2)

$\{1\}$ , 3)

$H\cap B$ .

Теорема 1. Пусть $A$ – подгруппа группы $G$ , а $W$ – подгруппа $n$ -индексированной группы $F$ , причем $\deg(W)=k\mathbb{Z}_n$ . Пусть

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Hom}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\subseteq A\}, \\ \operatorname{Epi}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)=A\}, \\ \operatorname{Mono}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\,{\subseteq}\, A \textit{ и ограничение $\phi$ на $W$ инъективно}\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда

$\operatorname{\textrm{НОД}}(H,n)$ делит

$|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A,k,\operatorname{Hom}(F,W;G,A))$ -гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$ ;

$|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A'A^n,k,\operatorname{Epi}(F,W;G,A))$ -гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$ , где $A^n:=\langle\{a^n\mid a\in A\}\rangle$ ;

$|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A,k,\operatorname{Mono}(F,W;G,A))$ -гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$ , если индексация группы $F$ выбрана так, что $\deg(w)=0$ для каждого центрального (в $W$ ) элемента $w\in W$ такого, что $w^n=1$ .

Заметим, что подгруппа $A'A^n$ , о которой идет речь в п. b), и подгруппа $\{w\,{\in}\, Z(W)\mid w^n\,{=}\,1\}$ , о которой говорится в п. c), суть ни что иное, как вербальная подгруппа группы $A$ и маргинальная подгруппа группы $W$ , соответствующие многообразию абелевых групп экспоненты $n$ .

Доказательство теоремы 1. Достаточно проверить, что условия (i) и (ii) основной теоремы выполнены для данных

$F$ ,

$G$ ,

$H$ ,

$k$ ,

$\Phi$ и

$H_{\phi,k}=\widehat B$ (где

$\widehat B$ из определения гладкой подгруппы

$B$ , в качестве которой мы берем

$A$ в п. a) и c) и

$A'A^n$ в п. b)). Первые два пункта условия (ii) заведомо выполнены по определению гладкости, нуждается в проверке только последний пункт условия (ii).

a) $B=A$ и $\Phi=\operatorname{Hom}(F,W;G,A)$ . Условие (i) очевидно выполнено, поскольку $H\subseteq N(A)$ . Условие (ii) тоже выполнено, поскольку для всех $w\in W$ мы имеем $\psi(w)\in\phi(w)\widehat B\subseteq\phi(w)A=A$ , т. е. $\psi\in\Phi$ , что и требовалось.

b) $B=A'A^n$ и $\Phi=\operatorname{Epi}(F,W;G,A)$ . Условие (i) очевидно выполнено по той же причине: $H\subseteq N(A)$ . Условие (ii) тоже выполнено:

$\begin{equation*} A\stackrel{(1)}{=}\phi(W)\stackrel{(2)}{\subseteq}\psi(W)A'A^n\stackrel{(3)}{=}\psi(W)\phi(W'W^n) \stackrel{(4)}{=}\psi(W)\psi(W'W^n)=\psi(W), \end{equation*} \notag$

где

$\stackrel{(1)}{=}$ выполнено по определению

$\Phi\ni\phi$ ;

$\stackrel{(2)}{\subseteq}$ выполнено по определению

$\psi$ из условия (ii) при

$B=A'A^n\supseteq\widehat B=H_{\phi,k}$ ;

$\stackrel{(3)}{=}$ следует из

$\stackrel{(1)}{=}$ ;

$\stackrel{(4)}{=}$ следует из того, что

$\deg(W'W^n)=\{0\}$ , а

$\psi$ и

$\phi$ из условия (ii) совпадают на элементах степени нуль.

В итоге мы получили, что $A=\psi(W)$ , т. е. $\psi\in\Phi$ , что и требовалось.

c) $B=A$ и $\Phi=\operatorname{Mono}(F,W;G,A)$ . Условие (i) очевидно выполнено по той же причине: $H\subseteq N(A)$ . Покажем, что (ii) тоже выполнено. Во-первых, $\psi(W)\subseteq\phi(W)A=A$ . Осталось показать, что $\ker\psi\cap W=\{1\}$ . Пусть $w\in\ker\psi\cap W$ . Тогда

– для каждого $w'\in W$ имеем $1=\psi([w,w'])=\phi([w,w'])$ (так как коммутаторы имеют степень нуль, а на элементах степени нуль $\phi$ и $\psi$ совпадают), следовательно, $[w,w']=1$ (так как гомоморфизм $\phi$ инъективен на $W$ ), т. е. $w\in Z(W)$ ;

– аналогично получаем $1=\psi(w^n)=\phi(w^n)$ (так как $\deg(w^n)=n\deg(w)=0$ , а на элементах степени нуль $\phi$ и $\psi$ совпадают), следовательно, $w^n=1$ (так как гомоморфизм $\phi$ инъективен на $W$ ).

Мы получили, что $w$ – центральный элемент группы $W$ и $w^n=1$ , а такие элементы имеют степень нуль по условию. Значит, $\phi(w)=\psi(w)=1$ , т. е. $w=1$ в силу того, что $\phi\in\operatorname{Mono}(F,W:G,A)$ . Стало быть, $\ker\psi\cap W=\{1\}$ , что и требовалось. Теорема 1 доказана.

Следствие. В условиях теоремы 1 и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ , и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на $\operatorname{\textrm{НОД}}(k,N(A))$ . Кроме того,

$|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится

– на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,A)$ ,
– а также на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(n,\, |A|\cdot\operatorname{\textrm{НОД}}(k,|G/A|)\bigr)= \operatorname{\textrm{НОД}}(n,|G|,k\cdot|A|)$ , если $A\triangleleft G$ и $G$ конечна;

$|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится

– на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,A'A^n)$ и даже на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,H)$ , где $H$ – любая подгруппа в $N(A)$ такая, что $|(C(A'A^n)\cap H:Z(A'A^n)\cap H|$ делит $k$ ,
– а также на
$\begin{equation*} \operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(n, |A'A^n|\cdot\operatorname{\textrm{НОД}}(k,|G/(A'A^n)|)\bigr) = \operatorname{\textrm{НОД}}(n,|G|,k\cdot|A'A^n|), \end{equation*} \notag$
если $A\triangleleft G$ и $G$ конечна;

если $\deg\bigl(\{w\in Z(W)\mid w^n=1\}\bigr)=\{0\}$ , то $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делится

– на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,A)$ ,
– а также на
$\begin{equation*} \operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(n,|A|\cdot\operatorname{\textrm{НОД}}(k,|G/A|)\bigr) = \operatorname{\textrm{НОД}}(n,|G|,k\cdot|A|), \end{equation*} \notag$
если $A\triangleleft G$ и $G$ конечна.

Доказательство. Первое утверждение (о делимости на

$\operatorname{\textrm{НОД}}(k,N(A))$ ) вытекает непосредственно из теоремы 1 и утверждения 2) леммы о гладких подгруппах.

Остальные утверждения этого следствия также вытекают из теоремы 1 и подходящего утверждения о гладких подгруппах.

a) Делимость на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,A)$ сразу вытекает из утверждения 1) леммы о гладких подгруппах. Делимость на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,|G|,k\cdot|A|)$ следует из утверждения 3) леммы о гладких подгруппах. Действительно, достаточно в теореме 1 взять в качестве $H$ $p$ -подгруппу группы $G$ , порядок которой есть максимальная степень $p^i$ числа $p$ , делящая $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k|A|,|G|)$ , причем выбрать $H$

– внутри $A$ , если $p^i$ делит $|A|$ ;
– содержащей силовскую $p$ -подгруппу группы $A$ в противном случае.

Эта подгруппа будет $(A,k,\operatorname{Hom}(F,W;G,A))$ -гладкой по лемме о гладких подгруппах. Значит, $|H|$ делит $\operatorname{Hom}(F,W;G,A)$ в силу теоремы 1. Проделав это для всех простых $p$ , мы получим нужную делимость.

b) Второе утверждение п. b) доказывается точно так же, как второе утверждение п. a). Чтобы доказать первое утверждение п. b), по теореме 1 достаточно убедиться, что подгруппа $H$ является $(A'A^n,k,\operatorname{Epi}(F,W;G,A))$ -гладкой, т. е. при всех $\phi\in\operatorname{Epi}(F,W;G,A)$ группа $H_\phi\cap(A'A^n)$ содержит нормальную в $\langle H_\phi,\phi(F)\rangle$ подгруппу $\widehat B$ такую, что $|H_\phi/\widehat B|$ делит $k$ . В качестве такой подгруппы $\widehat B$ достаточно взять $Z(A'A^n)\cap H_\phi$ . Действительно,

$\begin{equation*} H_\phi \stackrel{(1)}{\subseteq} C\bigl(\phi(\ker\deg)\bigr) \stackrel{(2)}{\subseteq} C\bigl(\phi(W'W^n)\bigr) \stackrel{(3)}{=} C(A'A^n), \end{equation*} \notag$

где

$\stackrel{(1)}{\subseteq}$ вытекает из определения

$\phi$ -сердцевины

$H_\phi$ ,

$\stackrel{(2)}{\subseteq}$ вытекает из того, что

$\deg(W'W^n)=\{0\}$ , а

$\stackrel{(3)}{=}$ вытекает из равенства

$\phi(W)=A$ .

Значит, по теореме Лагранжа $|H_\phi/(Z(A'A^n)\cap H_\phi)|$ делит

$\begin{equation*} \bigl|\bigl(C(A'A^n)\cap H\bigr)/\bigl(Z(A'A^n)\cap H\bigr)\bigr|, \end{equation*} \notag$

что делит

$k$ по условию.

c) Доказательство аналогично п. a).

Следствие доказано.



Список литературы

1.	G. Frobenius, “Verallgemeinerung des Sylow'schen Satzes”, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, 1895 (1895), 981–993
2.	R. Andreev, A translation of “Verallgemeinerung des Sylow'schen Satzes” by F. G. Frobenius, arXiv: 1608.08813
3.	L. Solomon, “The solution of equations in groups”, Arch. Math. (Basel), 20:3 (1969), 241–247
4.	S. Iwasaki, “A note on the $n$ th roots ratio of a subgroup of a finite group”, J. Algebra, 78:2 (1982), 460–474
5.	G. Frobenius, “Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie”, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin, 1903 (1903), 987–991
6.	P. Hall, “On a theorem of Frobenius”, Proc. London Math. Soc., 40 (1936), 468–501
7.	A. Kulakoff, “Einige Bemerkungen zur Arbeit: “On a theorem of Frobenius” von P. Hall”, Матем. сб., 3(45):2 (1938), 403–405
8.	S. K. Sehgal, “On P. Hall's generalisation of a theorem of Frobenius”, Proc. Glasgow Math. Assoc., 5:3 (1962), 97–100
9.	I. M. Isaacs, “Systems of equations and generalized characters in groups”, Canadian J. Math., 22:5 (1970), 1040–1046
10.	K. S. Brown, J. Thévenaz, “A generalization of Sylow's third theorem”, J. Algebra, 115:2 (1988), 414–430
11.	T. Yoshida, “ $\|{\operatorname{Hom}(A, G)}\|$ ”, J. Algebra, 156:1 (1993), 125–156
12.	С. П. Струнков, “К теории уравнений на конечных группах”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:6 (1995), 171–180 ; англ. пер.: S. P. Strunkov, “On the theory of equations in finite groups”, Izv. Math., 59:6 (1995), 1273–1282
13.	T. Asai, Yu. Takegahara, “ $\|{\operatorname{Hom}(A,G)}\|$ . IV”, J. Algebra, 246:2 (2001), 543–563
14.	J. Sato, T. Asai, “On the $n$ -th roots of a double coset of a finite group”, J. Sch. Sci. Eng. Kinki Univ., 43 (2007), 1–4
15.	A. Amit, U. Vishne, “Characters and solutions to equations in finite groups”, J. Algebra Appl., 10:4 (2011), 675–686
16.	C. Gordon, F. Rodriguez-Villegas, “On the divisibility of $\#\operatorname{Hom}(\Gamma, G)$ by $\|G\|$ ”, J. Algebra, 350:1 (2012), 300–307 ; arXiv: 1105.6066
17.	T. Asai, N. Chigira, T. Niwasaki, Yu. Takegahara, “On a theorem of P. Hall”, J. Group Theory, 16:1 (2013), 69–80
18.	A. A. Klyachko, A. A. Mkrtchyan, “How many tuples of group elements have a given property?”, With an appendix by Dmitrii V. Trushin, Internat. J. Algebra Comput., 24:4 (2014), 413–428 ; arXiv: 1205.2824
19.	A. A. Klyachko, A. A. Mkrtchyan, “Strange divisibility in groups and rings”, Arch. Math., 108:5 (2017), 441–451 ; arXiv: 1506.08967
20.	E. K. Brusyanskaya, A. A. Klyachko, A. V. Vasil'ev, “What do Frobenius's, Solomon's, and Iwasaki's theorems on divisibility in groups have in common?”, Pacific J. Math., 302:2 (2019), 437–452 ; arXiv: 1806.08870
21.	A. A. Klyachko, M. A. Ryabtseva, “The dimension of solution sets to systems of equations in algebraic groups”, Israel J. Math., 237:1 (2020), 141–154 ; arXiv: 1903.05236
22.	R. Brauer, “On a theorem of Frobenius”, Amer. Math. Monthly, 76:1 (1969), 12–15

Образец цитирования: Е. К. Брусянская, А. А. Клячко, “О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 25–33; Izv. Math., 86:2 (2022), 243–251

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BruKly22}

\by Е.~К.~Брусянская, А.~А.~Клячко

\paper О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2022

\vol 86

\issue 2

\pages 25--33

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9139}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9139}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461233}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07530687}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022IzMat..86..243B}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2022

\vol 86

\issue 2

\pages 243--251

\crossref{https://doi.org/10.1070/IM9139}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000797188300001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130993723}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9139

https://doi.org/10.4213/im9139

https://www.mathnet.ru/rus/im/v86/i2/p25

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Elena K. Brusyanskaya, “On the number of tuples of group elements satisfying a first-order formula”, Journal of Group Theory, 2024

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	548
PDF русской версии:	73
PDF английской версии:	44
HTML русской версии:	219
Список литературы:	64
Первая страница:	15

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы