Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 3, страницы 21–40
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9601
(Mi sm9601)
 

О кольцах когомологий частично проективных кватернионных многообразий Штифеля

Г. Е. Жубановa, Ф. Ю. Попеленскийab

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Список литературы:
Аннотация: Кватернионное многообразие Штифеля $V_{n,k}(\mathbb H)$ расслаивается над соответствующим грассманианом $G_{n,k}(\mathbb H)$. На слоях расслоения свободно действует группа $\operatorname{Sp}(1)=S^3$. Соответствующее факторпространство называется кватернионным проективным многообразием Штифеля. Их вещественные и комплексные аналоги активно изучались ранее в работах ряда авторов. Кроме того, на слоях определено свободное дискретное действие всех тех конечных групп, которые свободно и дискретно действуют на трехмерной сфере. Соответствующие факторпространства называются частично проективными многообразиями Штифеля.
Работа посвящена вычислению колец когомологий частично проективных кватернионных многообразий Штифеля с коэффициентами в $\mathbb Z_p$, где $p$ простое.
Библиография: 14 названий.
Ключевые слова: проективное многообразие Штифеля, группы со свободным дискретным действием на $S^3$.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 19-01-00169-а
Исследование Ф. Ю. Попеленского выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 19-01-00169-a).
Поступила в редакцию: 23.04.2021 и 07.06.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages 300–318
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9601
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 57T15, 55R10, 57S25

§ 1. Введение

Систематическое изучение колец когомологий пространств, связанных с классическими группами Ли, восходит к основополагающим работам А. Бореля. Так, например, в работе [1] были вычислены кольца когомологий многообразий Штифеля $V_{n,k}(\mathbb F)$ для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$. На $V_{n,k}(\mathbb F)$ имеется свободное левое действие скаляров, по модулю равных 1, состоящее в умножении всех векторов репера на скаляр. Соответствующий фактор $PV_{n,k}(\mathbb F)$ называется проективным многообразием Штифеля.

Изучение $PV_{n,k}(\mathbb R)$ и их топологических применений было начато Д. Хэнделом в диссертации 1965 г., усиление его результатов было опубликовано в совместной работе с С. Джитлером [2]. Стоит отметить, однако, что многообразия $PV_{n,n}(\mathbb F)$ совпадают с $\operatorname{PO}(n)$, $\operatorname{PU}(n)$ и $\operatorname{PSp}(n)$ для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$ соответственно и их кольца когомологий были полностью исследованы в работах А. Бореля, П. Баума и У. Браудера [3], [4]. Многообразия $PV_{n,k}(\mathbb F)$ естественно возникают в задачах существования ненулевых сечений кратных сумм Уитни линейных расслоений. Также они оказались полезными для изучения погружений проективных пространств в $\mathbb R^K$ (например, см. [5]) и для оценки количества независимых векторных полей на проективных пространствах.

Кольца $\mathbb Z_p$-когомологий многообразий $PV_{n,k}(\mathbb C)$ для всех простых $p$ были вычислены в работе [6]. Оказалось, что результаты заметно различаются для $p>2$ и $p=2$, причем в последнем случае для установления мультипликативной структуры понадобилось частично вычислить действие квадратов Стинрода на образующих.

Помимо полных факторов $PV_{n,k} (\mathbb C)= V_{n,k}(\mathbb C)/S^1$ интерес представляют “частично” проективные факторы по циклическим подгруппам $\mathbb Z_m\subset S^1$. Их кольца $\mathbb Z_p$-когомологий были вычислены в работе Ш. Гондали [7]. Не вызывает удивления, что результат зависит от делимости $m$ на $p$.

В настоящей работе рассматриваются кватернионные проективные многообразия $PV_{n,k}(\mathbb H)$ и их “частично” проективные аналоги. Набор групп, факторизации по которым можно рассматривать, в данном случае значительно шире циклических (см. [8] и [9]). А именно, в $S^3=\operatorname{Sp}(1)$ имеются подгруппы $\{e\}$, $2T=P_{24}$, $2O=P_{48}$, $2I=P_{120}$, а также серия подгрупп $Q_{4m}$. Кроме того, в $\operatorname{SO}(4)$ имеются две серии дискретных подгрупп, $P'_{8\cdot 3^s}$ и $B_{2^s(2m+1)}$. Все эти группы, а также произведение любой из них на циклическую группу взаимно простого порядка допускают свободное ортогональное действие на $S^3$ (определения этих групп будут даны в § 3). Других свободных ортогональных действий конечных групп на $S^3$ нет. Из гипотезы геометризации Терстона (а точнее, из ее частного случая, когда любое замкнутое трехмерное многообразие с конечной фундаментальной группой $G$ представляется в виде фактора трехмерной сферы по ортогональному действию группы $G$) следует, что любое гладкое дискретное действие конечной группы на $S^3$ сопряжено одному из вышеперечисленных.

Структура работы такова: в § 2 мы напоминаем известные результаты для $\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C$, в § 3 формулируем основные результаты для $\mathbb F=\mathbb H$, а в § 4 приводим их доказательства.

§ 2. Предварительные сведения

Многообразие Штифеля $V_{n, k} (\mathbb{F})$, где $\mathbb{F}=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$, ортонормированных $k$-реперов в $n$-мерном пространстве (для $\mathbb{F}=\mathbb H$ будем для определенности считать, что векторы умножаются на скаляры слева) допускает свободное действие скаляров, по модулю равных 1. Оно состоит в умножении всех векторов репера на данный скаляр. Соответствующее факторпространство $PV_{n, k} (\mathbb{F})$ называется проективным многообразием Штифеля. Легко видеть, что $PV_{n, 1} (\mathbb{F}) = \mathbb{F}P^n$. Для упрощения обозначений положим $V_{n,k}=V_{n, k} (\mathbb R)$, $W_{n, k}=V_{n, k} (\mathbb C)$ и $H_{n, k}= V_{n, k} (\mathbb H)$; $PV_{n,k}$, $PW_{n, k}$, $PH_{n, k}$ – соответствующие проективные многообразия Штифеля.

2.1. Вещественный случай

Будем обозначать через $V(a_1,\dots,a_q)$ ассоциативную коммутативную алгебру с единицей над $\mathbb Z_2$, в которой всевозможные произведения $a_1^{\varepsilon_1}\dotsb a_q^{\varepsilon_q}$ для $\varepsilon_j=0,1$ образуют аддитивный базис. Соотношения на элементы $a_j^2$ будем уточнять отдельно. А. Борель вычислил кольца когомологий пространств $V_{n,k}$ в [1].

Теорема 1. В $\mathbb Z_2$-когомологиях $V_{n,k}(\mathbb R)$ имеются элементы $z_{n-k+1},\dots,z_n$, $\deg z_j=j-1$, такие, что

$$ \begin{equation*} H^*(V_{n,k};\mathbb Z_2) = V(z_{n-k+1},\dots,z_n), \end{equation*} \notag $$
причем в спектральной последовательности расслоения $V_{n,k}\to \operatorname{BO}(n-k)\to \operatorname{BO}(n)$ элементы $z_j$ трансгрессивны и $\tau(z_j)$ равен $j$-му классу Штифеля–Уитни $w_j\in H^*(\operatorname{BO}(n);\mathbb Z_2)$.

Кроме того, $Sq^i z_j = {\displaystyle\binom{j-1}{i}} z_{i+j}$ для $i+j\leqslant n$ и $Sq^i z_j = 0$ для $i+j\,{>}\, n$, откуда, в частности, получаем недостающие соотношения на квадраты образующих $z_j$.

Кольца когомологий пространств $PV_{n,k}(\mathbb{R})$ были вычислены для $n=k$ в [4] и для $n>k$ в [2].

Теорема 2. Имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(PV_{n, k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes V(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
где $\deg x = 1$, $\deg y_j = j-1$, а число $N$ определяется как
$$ \begin{equation*} N=\min\biggl\{j\biggm| n-k+1\leqslant j\leqslant n,\, \binom{n}{j}\equiv 1 \ \operatorname{mod}2 \biggr\}. \end{equation*} \notag $$

Эта теорема устанавливает кольцевую структуру когомологий $H^*(PV_{n, k}; \mathbb{Z}_2)$ не полностью, а именно не хватает информации о квадратах $y_j^2$. В лемме 2.6 работы [2] образующие $y_j$ были выбраны некоторым специальным образом, а затем в лемме 2.7 было найдено действие квадратов Стинрода на $y_j$, что дает информацию о соотношениях на квадраты образующих $y_j$, так как $y_j^2 = Sq^{j-1}y_j$.

Приведем для удобства читателя соответствующие формулы для действия квадратов Стинрода; точные условия, определяющие выбор образующих $y_j$ см. в [2]. Пусть $\xi_0$ – линейное расслоение, ассоциированное с двулистным накрытием $V_{n,k}\to PV_{n, k}$.

(a) Если ${\displaystyle\binom{n}{q}}$ четно, то

$$ \begin{equation*} Sq^iy_{q} = \sum_{k\in K}\binom{q-1-k}{i-k}w_k(n\xi_0)y_{q+i-k}+\varepsilon x^{q+i-1}, \end{equation*} \notag $$
где $K=\{k\mid 0\leqslant k \leqslant i, \,q+i-k\not=N\}$, $ \varepsilon =0,1$.

(b) Если ${\displaystyle\binom{n}{q}}$ нечетно, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Sq^iy_{q} &= \sum_{k\in K}\binom{q-1-k}{i-k}w_k(n\xi_0)y_{q+i-k} \\ &\qquad +\sum_{j, k\in J}\binom{N-1-k}{j-k} Sq^{i-j}x^{q-N}w_k(n\xi_0)y_{N+j-k}+\varepsilon x^{q+i-1}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $K$ определено выше, $J=\{j, k\mid 0\leqslant k<j\leqslant i\}$, $\varepsilon =0,1$.

2.2. Комплексный случай

Когомологии комплексных проективных многообразий Штифеля $PW_{n,k}$ рассматривались в [4] для $n=k$ и в [6] для $n>k$. Пусть $x\in H^2(PW_{n,k}; \mathbb Z_p)$ – класс Эйлера по модулю $p$ комплексного линейного расслоения, ассоциированного с главным расслоением $W_{n,k}\to PW_{n,k}$.

Теорема 3. Для данных $0<k\leqslant n$ положим

$$ \begin{equation*} N=\min\biggl\{j\biggm| n-k+1\leqslant j\leqslant n, \,\binom{n}{j}\not\equiv 0 \ \operatorname{mod}p\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

(a) Если $p$ – простое число, $p>2$, то

$$ \begin{equation*} H^*(PW_{n, k}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
где $\deg x=2$, $\deg y_j = 2j-1$.

(b) Если $p=2$, то при $n\not\equiv 2 \mod{4}$ или $k<n$

$$ \begin{equation*} H^*(PW_{n, k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n). \end{equation*} \notag $$

(c) Если $p=2$, $n\equiv 2 \mod{4}$ и $k=n$, то

$$ \begin{equation*} H^*(PW_{n, k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[y_1]/(y_1^4)\otimes \Lambda(y_{3}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
причем $x=y_1^2$.

Здесь и далее через $\Lambda$ обозначается внешняя алгебра от образующих нечетной степени. Как и в вещественном случае, выбор подходящих образующих $y_j$ в $\mathbb Z_2$-когомологиях пространств $PW_{n, k}$ требует некоторых усилий. В § 3 работы [6] показано, как выбираются образующие $y_j$, и вычислено действие квадратов Стинрода на них:

(a)

$$ \begin{equation*} Sq^1y_j = \frac{1}{2}\binom{n}{j} x^j, \end{equation*} \notag $$
здесь правая часть корректно определена, так как при нечетном ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ выполняется равенство $x^j=0$;

(b) если $i<j$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Sq^{2i}y_j &=\sum_{r=0}^i\binom{j-1-r}{i-r} \binom{n}{r}x^ry_{j+i-r} \\ &\qquad +\binom{n}{j}\sum_{s=0}^{N-1}\binom{j-N}{i-s}\sum_{t=0}^s \binom{N-1-t}{s-t} \binom{n}{t} x^{j+i-N-s+t}y_{N+s-t}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Далее, дискретными подгруппами $S^1$ являются в точности циклические группы $\mathbb{Z}_m$, представленные корнями из 1.

Профакторизовав $W_{n,k}$ по действию $\mathbb Z_m\subset S^1$, получим многообразие, которое мы будем называть частично проективным многообразием Штифеля и обозначать $W_{n,k;m}$. Для $k=1$ это пространство совпадает с конечномерной линзой $S^{2n-1}/\mathbb Z_m$, у которой кольцо когомологий известно:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, H^*(S^{2n-1}/\mathbb Z_m,\mathbb Z_p) &=\Lambda(x)\otimes \mathbb Z_p[y]/(y^n), \qquad \deg x=1, \quad \deg y=2 \quad\text{для }\ p\nmid m; \\ H^*(S^{2n-1}/\mathbb Z_m,\mathbb Z_p) &= \Lambda_{\mathbb Z_p}(y), \qquad\deg y=2n-1 \quad\text{для }\ p\mid m. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Кольца когомологий пространств $W_{n,k;m}$ для $k\geqslant 2$ вычислены Ш. Гондали в [7].

Теорема 4. При $2\leqslant k<n$, $m\geqslant 2$ имеют следующие кольцевые изоморфизмы.

(a) Если $p\nmid n$, $p$ нечетно, то $H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_p) \cong H^*(W_{n, k}; \mathbb{Z}_p)$.

(b) Если $p|n$, $p$ нечетно, то

$$ \begin{equation*} H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes\Lambda(y_1, y_{n-k+1},\dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
где $\deg x =2$, а число $N$ и элементы $y_j$ выбираются, как в теореме 3.

(c) Если $m\equiv 0 \mod{4}$, то

$$ \begin{equation*} H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[y_1]/(y_1^{2N})\otimes \Lambda(y_{n-k+1},\dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n). \end{equation*} \notag $$

(d) Если $m\equiv 2 \mod{4}$, то

$$ \begin{equation*} H^*(W_{n, k; m}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_1, y_{n-k+1},\dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n). \end{equation*} \notag $$

§ 3. Проективные кватернионные многообразия Штифеля

Для многообразий $PH_{n,k}$ выполняется следующее утверждение (для $n=k$ оно повторяет результат из [4; § 8]).

Теорема 5. Для $0< k\leqslant n$ и простого $p$ положим

$$ \begin{equation*} N=\min\biggl\{j\biggm| n-k+1\leqslant j\leqslant n,\, \binom{n}{j}\not\equiv 0 \ \operatorname{mod}p\biggr\}. \end{equation*} \notag $$

(a) Для простого $p>2$ имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p) = \mathbb{Z}_p[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
где $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb{Z}_p)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p) $.

(b) Для $p=2$ имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes \Lambda(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
для подходящим образом выбранных образующих $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb{Z}_2)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$.

Здесь важное отличие п. (b) от п. (a) состоит в том, что, так как $p=2$, необходимо специальным образом выбирать образующие $y_j$, чтобы их квадраты были нулевыми. Для $p>2$ выбор элементов $y_j$ достаточно очевиден (см. подробности в доказательстве ниже).

Теорема 6. Для действия квадратов Стинрода на образующих когомологий $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, выбранных, как в п. (b) теоремы 5, верны следующие равенства.

(a) $Sq^2y_j=0$ и $Sq^3 y_j=0$ для всех $y_j$.

(b)

$$ \begin{equation} Sq^1y_j = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}\binom{n}{j} x^j&\textit{для } n-k+1\leqslant j<N, \\ 0&\textit{для } j\geqslant N. \end{cases} \end{equation} \tag{3.1} $$
Отметим, что для $j<N$ биномиальный коэффициент в формуле четен; кроме того, в силу соотношения $x^N=0$ формулу $Sq^1y_j = \dfrac{1}{2}{\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$ можно считать корректной и при $j\geqslant N$.

(c) Если $i<j$, то

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag Sq^{4i}y_j &= \sum_{r=0}^i\binom{j-1-r}{i-r} \binom{n}{r}x^ry_{j+i-r} \\ &\qquad +\binom{n}{j}\sum_{s=0}^{N-1}\binom{j-N}{i-s}\sum_{t=0}^s \binom{N-1-t}{s-t} \binom{n}{t} x^{j+i-N-s+t}y_{N+s-t}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2} $$

В последней формуле считается, что $y_N=0$. Кроме того, $Sq^1$, $Sq^2$, $Sq^3$ и $Sq^j$ для $j>4$ действуют на $x$ тривиально, а $Sq^4x = x^2$.

Замечание 1. Приведенных формул для действия квадратов Стинрода на образующих достаточно, чтобы с помощью соотношений

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Sq^{4j+1}&=Sq^1Sq^{4j}, \\ Sq^{4j+2}&=Sq^2Sq^{4j}+ Sq^{4j+1}Sq^1=Sq^2Sq^{4j}+ Sq^1Sq^{4j}Sq^1, \\ Sq^{4j+3}&=Sq^3Sq^{4j} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и формулы Картана $Sq^r(a b )= \sum_{s+t=r} (Sq^s a)(Sq^t b)$ восстановить действие алгебры Стинрода на любом элементе когомологий $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$.

3.1. Доказательство теоремы 5

Кольца когомологий многообразий Штифеля $H_{n,k}=V_{n,k}(\mathbb H)$ вычислены в [1]:

$$ \begin{equation*} H^*(H_{n,k};\mathbb Z) = \Lambda_\mathbb Z (z_{n-k+1},\dots,z_n), \end{equation*} \notag $$
где $\deg z_j = 4j-1$, причем в спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}\to \operatorname{BSp}(n-k)\to \operatorname{BSp}(n)$ классы $z_j$ трансгрессивны и $\tau(y_j) = q_j$, где $q_j$ – стандартные полиномиальные образующие в когомологиях $\operatorname{BSp}(n)$.

Для вычисления колец когомологий проективных многообразий Штифеля при $k<n$ обычно рассматривается спектральная последовательность расслоения Серра

$$ \begin{equation} V_{n, k}(\mathbb{F}) \xrightarrow{\pi} PV_{n, k}(\mathbb{F}) \xrightarrow{p} \mathbb{F}P^\infty, \end{equation} \tag{3.3} $$
которое для $\mathbb F=\mathbb R$ подробно описано в [2], а для $\mathbb F=\mathbb C$ в [6]. Для $\mathbb F=\mathbb H$ оно индуцируется из расслоения $H_{n,k}\to \operatorname{BSp}(n-k)\to \operatorname{BSp}(n)$ с помощью отображения $ f_n\colon \mathbb H P^\infty\to \operatorname{BSp}(n) $, классифицирующего сумму Уитни $n$ экземпляров линейного расслоения Хопфа $\gamma$ над $\mathbb H P^\infty$. Отображение $\pi\colon V_{n,k}(\mathbb F)\to PV_{n,k}(\mathbb F)$ гомотопно отображению факторизации. Отсюда получаем, что в спектральной последовательности (3.3) $z_j$ под действием трансгрессии переходит в элемент (характеристический класс) $q_j(n\gamma) = {\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, где $x$ – образующая в $H^4(\mathbb H P^\infty)$.

3.1.1. Пункт (a)

По крайней мере для $j=n$ биномиальный коэффициент ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ равен 1, т.е. отличен от 0 после приведения по любому модулю, поэтому среди чисел $n-k+1,\dots, n$ найдется наименьшее $N$, для которого ${\displaystyle\binom{n}{N}}\ne 0 \mod p$. Тогда легко видеть, что $d_{4N}$ – первый и единственный ненулевой дифференциал спектральной последовательности расслоения (3.3) в $\mathbb Z_p$-когомологиях для $p>2$. Образующие $y_j$ определяются из условия $\pi^*(y_j)=z_j$ для всех $j\ne N$.

3.1.2. Пункт (b)

Как и в п. (a), среди чисел $n\,{-}\,k\,{+}\,1,\dots, n$ найдется наименьшее $N$, для которого ${\displaystyle\binom{n}{N}\ne 0 \mod 2}$. Тогда $d_{4N}$ – первый и единственный ненулевой дифференциал спектральной последовательности расслоения (3.3) в $\mathbb Z_2$-когомологиях. Отсюда получаем аддитивный изоморфизм

$$ \begin{equation*} H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2[x]/(x^N)\otimes V(y_{n-k+1}, \dots, y_{N-1}, y_{N+1}, \dots, y_n), \end{equation*} \notag $$
где $x\in H^4(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, $y_j \in H^{4j-1}(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_2)$, причем $\pi^*(y_j)=z_j$ для $j\ne N$. Покажем теперь, что классы $y_j$ можно выбрать так, что все $y_j^2$ равны 0; тогда полученный изоморфизм примет вид изоморфизма из п. (b) доказываемой теоремы 5. Метод, описанный в [6] и [10], применяется почти дословно. Для удобства читателя приведем рассуждения, подходящие для кватернионного случая, полностью.

Рассмотрим коммутативную диаграмму

$(3.4)$
в которой вертикальные стрелки – проекции гомотопических расслоений со слоем $H_{n,k}$, причем левое и среднее получены взятием обратного образа правого расслоения. Чуть позже нам понадобится аналогичная диаграмма с другим $k$, поэтому временно уточним обозначения некоторых отображений: $\pi_{n,k}=\pi$ и т.д. Пространства в этой диаграмме можно реализовать следующим образом. Рассмотрим $S^3 $ – группу кватернионов единичной длины, вложенную в центр $\operatorname{Sp}(n)$; тогда
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{ESp}(n)=\mathbb H P^\infty, \qquad \operatorname{BSp}(n)=\operatorname{ESp}(n)/\operatorname{Sp}(n), \\ \operatorname{BSp}(n-k)=\operatorname{ESp}(n)\times_{\operatorname{Sp}(n)} \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \\ PH_{n,k}=\operatorname{ESp}(n)\times_{S^3} \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \\ H_{n,k}=\operatorname{ESp}(n)\times \bigl(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)\bigr), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

при этом эти равенства следует понимать как гомотопические эквивалентности.

Теперь рассмотрим диаграмму, в которой столбцы являются длинными точными последовательностями пар (отсюда и до конца доказательства когомологии рассматриваются с $\mathbb Z_2$-коэффициентами):

$(3.5)$
Напомним, что $H^*(\operatorname{BSp}(n))$ является кольцом многочленов от $q_{1},\dots,q_n$, где $\deg{q_j}=4j$, а $ H^{*}(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$ можно отождествить с идеалом, порожденным элементами $q_{n-k+1},\dots, q_n$. Далее, $f_n^*(q_j) = {\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, где $x\in H^4(\mathbb H P^\infty )$ – образующая. Пусть $u_j = {\overline f}_n^*(q_j)\in H^{4j}(\mathbb H P^\infty, PH_{n,k})$. Тогда $j_H^*(u_j)={\displaystyle\binom{n}{j}} x^j$, что для всех $j<N$ равно 0. Тем самым для всех $j< N$ существуют и единственны классы $y_j\in H^{4j-1}(PH_{n,k} )$, для которых $\delta(y_j)=u_j$. Для $j>N$ этот подход не срабатывает, так как ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ может быть ненулевым по модулю $2$. Заметим, что $j_H^*(u_N)= x^N$, и для $j>N$ рассмотрим элемент $u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N$. Нетрудно проверить, что $j_H^*\biggl(u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N\biggr)=0$, и поэтому для $j>N$ существуют элементы $y_j\in H^{4j-1}(PH_{n,k} )$, для которых $\delta(y_j)=u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N$. Учитывая равенство нулю биномиальных коэффициентов ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ при $j<N$, можно считать, что формула
$$ \begin{equation} \delta(y_j)=u_j+\binom{n}{j} x^{j-N} u_N \end{equation} \tag{3.6} $$
верна для всех $j$. Заметим также, что формула корректна даже для $y_N$, которого нет в списке образующих в $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$: она дает $y_N=0$.

Покажем, что теперь, что $\pi^*_{n,k}(y_j)= z_j\in H^*(H_{n,k})$. Из диаграммы (3.4) получаем, что $\delta(\pi^*_{n,k}(y_j)) = \Pi^*(\delta(y_j)) = \Pi^*\circ f_n^*(q_j)$.

Рассмотрим аналогичную (3.4) диаграмму для $k=n$:

$(3.7)$
Здесь мы воспользовались тем, что $H_{n,n}=\operatorname{Sp}(n)$ и $\operatorname{BSp}(0)= \operatorname{ESp}(n)\times_{\operatorname{Sp}(n)}(\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(0))=\operatorname{ESp}(n)$. Кроме того, по построению композиция $F_{n,n}\circ \pi_{n,n}$: $\operatorname{Sp}(n)\to \operatorname{ESp}(n)$ отображения верхней строки диаграммы (3.7) совпадает с вложением на слой универсального расслоения $\operatorname{Sp}(n)\xrightarrow{i} \operatorname{ESp}(n)\xrightarrow{p_{n,n}} \operatorname{BSp}(n)$.

Диаграмма (3.7) отображается в диаграмму (3.4) (например, $Q\colon \operatorname{Sp}(n)\to H_{n,k}=\operatorname{Sp}(n)/\operatorname{Sp}(n-k)$ – факторизация), поэтому получаем коммутативную диаграмму

$(3.8)$
Отсюда следует, что диаграмма 3.5 отображается в диаграмму
$(3.9)$
которая получена заменой $k$ на $n$ в (3.5). Откуда получаем $\delta(Q^* \circ \pi^*_{n,k})(y_j)=(\Pi^*\circ f_n^*)(q_j)$, следовательно, под действием трансгрессии универсального расслоения класс $(Q^* \circ \pi^*_{n,k})(y_j)\in H^{4j}(\operatorname{Sp}(n))$ переходит в $q_j\in H^{4j}(\operatorname{BSp}(n))$ и поэтому совпадает с $z_j$. Гомоморфизм $Q^*$ является мономорфизмом и отображает классы $z_{n-k+1},\dots , z_n\in H^*(H_{n,k})$ в одноименные классы в $H^*(\operatorname{Sp}(n))$. Тем самым $\pi^*_{n,k}(y_j)=z_j$.

Докажем, что при указанном выборе образующих $y_j$ их квадраты нулевые. А именно,

$$ \begin{equation*} \delta(y_j^2) = \delta (Sq^{4j-1} y_j) =Sq^{4j-1}\delta ( y_j) = Sq^{4j-1}\biggl(u_j + \binom{n}{j} x^{j-N}{u_N}\biggr) = 0 \end{equation*} \notag $$
в силу естественности операций, равенства $u_m = \overline f_n^*(q_m)$, формулы Картана для действия квадратов Стинрода на произведении двух элементов и тривиальности действия $Sq^{4j-1}$ в $H^{*}(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$. Но в следующем фрагменте точной последовательности пары:
$$ \begin{equation*} H^{8j-2}(\mathbb{H}P^\infty) \to H^{8j-2}(PH_{n,k}) \xrightarrow{\delta} H^{8j-1}(\mathbb{H}P^\infty, PH_{n,k}), \end{equation*} \notag $$
$\delta$ является мономорфизмом, так как $H^{8j-2}(\mathbb{H}P^\infty) =0$, поэтому $y_j^2=0$.

Случай $n=k$ рассмотрен в [4].

Теорема 5 доказана.

3.2. Доказательство теоремы 6

Из доказательства теоремы 5 следует, что класс $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ является образом класса $x\in H^4(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)$ при проекции $p\colon PH_{n,k}\to \mathbb H P^\infty$, откуда получаем формулы для действия $Sq^j$ на $x$ для всех $j$.

3.2.1. Пункт (a)

Напомним, что класс $y_j$ выбирается как единственный класс в $H^{4m-1}(PH_{n,k})$, для которого $\delta (y_j)=u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{N-j}u_N$ (см. формулу (3.6) и конструкцию классов $y_j$ до нее). Поскольку $Sq^1,Sq^2$ и $Sq^3$ действуют тривиально на классе $x\in H^4(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ и на всех классах когомологий из $H^*(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k);\mathbb Z)$, выполняется равенство $\delta(Sq^a y_j)=Sq^a(\delta y_j)=0$ для $a=1,2,3$ и для всех $j$.

Рассмотрим фрагмент короткой точной последовательности

$$ \begin{equation*} H^{4j-1+a}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)\stackrel{p^*}{\to} H^{4j-1+a}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)\stackrel{\delta}{\to}H^{4j+a}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2). \end{equation*} \notag $$
Равенство $\delta(Sq^a y_j)=0$ означает, что $Sq^a y_j$ лежит в образе $p^*$, но для $a=2$ или $a=3$ когомологии $H^{4j-1+a}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z_2)$ тривиальны, откуда получаем $Sq^2 y_j=0$ и $Sq^3 y_j=0$. С другой стороны, для $a=1$ получаем, что $Sq^1 y_j$ является кратным класса $x^j$, что сразу дает утверждение п. (b) для $j\geqslant N$.

3.2.2. Пункт (b)

Зафиксируем обозначения для образующих $H^*(H_{n,k};\mathbb Z)=\Lambda_\mathbb Z (\widehat z_{n-k+1},\dots,\widehat z_n)$ и $H^*(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z)=\mathbb Z[\widehat x]$. Будем считать, что $r_2(\widehat z_j)=z_j$ для всех $j$ и что $r_2(\widehat x)=x$; здесь $r_2$ – гомоморфизм групп когомологий, индуцированный приведением коэффициентов по модулю $2$. Рассмотрим спектральную последовательность целочисленных когомологий расслоения

$$ \begin{equation*} H_{n,k}\stackrel{\pi}{\to}PH_{n,k}\stackrel{p}{\to} \mathbb H P^\infty. \end{equation*} \notag $$
Из построения расслоения следует, что для дифференциалов имеют место равенства $d_{4j}(\widehat z_j)={\displaystyle\binom{n}{j}}\widehat x^j$. Поэтому $\widehat x^j$ в $H^{4j}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ порождает циклическую подгруппу, порядок которой равен наибольшему общему делителю биномиальных коэффициентов ${\displaystyle\binom{n}{s}}$ для $n-k+1\leqslant s \leqslant j$. Обозначим это число через $A_j$. Ясно, что $A_{j+1}\mid A_j$.

Также из формул для дифференциалов следует, что для $j>n-k+1$ в $E^{0,4j-1}_*$ до $E_\infty^{*,*}$ доживает $(A_{j-1}/A_j) \widehat z_j$, соответствующий класс в когомологиях $H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ под действием отображения вложения слоя расслоения $H_{n,k}\to PH_{n,k}$ отображается в одноименный $(A_{j-1}/A_j) \widehat z_j \in H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z)$. С другой стороны, никакое кратное класса $\widehat z_{n-k+1}\in E^{0.4n-4k+3} $ до $E^{*,*}_\infty$ не доживает, поэтому $H^{4n-4k+3}(PH_{n,k};\mathbb Z)=0$.

Рассмотрим теперь короткую точную последовательность групп коэффициентов

$$ \begin{equation*} 0\to\mathbb Z\stackrel{2\cdot\ }{\to}\mathbb Z\stackrel{r_2}{\to}\mathbb Z_2\to 0. \end{equation*} \notag $$
Через $\beta$ обозначим гомоморфизм Бокштейна, который является связывающим гомоморфизмом в соответствующей длинной точной последовательности групп когомологий. Мы докажем, что для $n-k+1\leqslant j < N$ выполняется равенство
$$ \begin{equation} \beta(y_j) =\frac{1}{2}\binom{n}{j}\widehat x^j\in H^*(PH_{n,k};\mathbb Z). \end{equation} \tag{3.10} $$
Правая часть этой формулы корректно определена, так как для указанного диапазона изменения $j$ биномиальные коэффициенты ${\displaystyle\binom{n}{j}}$ четные.

Далее, по определению элементов $y_j$ имеем равенство $\delta\circ\beta(y_j)=\beta(\delta(y_j)) = \beta\biggl(u_j+{\displaystyle\binom{n}{j}} x^{j-N} u_N\biggr)$; используя тривиальность $\beta$ в когомологиях пространства $\mathbb H P^\infty$ и в когомологиях пары $(\operatorname{BSp}(n),\operatorname{BSp}(n-k))$, получаем $\delta\circ\beta(y_j)=0$. Из точной последовательности пары

$$ \begin{equation*} H^{4j}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z)\stackrel{p^*}{\to} H^{4j} (PH_{n,k};\mathbb Z) \stackrel{\delta}{\to} H^{4j+1}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z) \end{equation*} \notag $$
получаем, что $\beta (y_j)$ лежит в образе гомоморфизма $p^*$. Поскольку $\beta(y_j)$ имеет порядок 2, этот элемент либо нулевой, либо равен $\dfrac{1}{2}A_j \widehat x^j$. Напомним, что порядок элемента $\widehat x^j\in H^{4j}(PH_{n,k};\mathbb Z)$ равен $A_{j}$.

Для доказательства формулы (3.10) разберем несколько вариантов.

Случай $j=n-k+1<N$. В $H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ имеется нетривиальный класс $y_j$, который не является приведением по модулю 2 никакого целочисленного класса, так как $H^{4n-4k+3}(PH_{n,k};\mathbb Z)=0$. Поэтому $\beta(y_j)\ne 0$. Учитывая равенство $A_{n-k+1}={\displaystyle\binom{n}{n-k+1}}$, получаем равенство (3.10) для $j-n-k+1$.

Далее будем рассуждать индукцией по $j$.

Случай $n-k+1<j<N$, $A_{j-1}/A_j$ четное. Так как $A_j=\gcd \biggl(A_{j-1}, {\displaystyle\binom{n}{j}}\biggr)$, число ${\displaystyle\binom{n}{j}/A_{j}}$ должно быть нечетным. Тогда $\beta(y_j) =\lambda\cdot\dfrac{1}{2}{\displaystyle\binom{n}{j}}\widehat x^j$ для некоторого целого $\lambda$. Докажем, что $\lambda$ должно быть нечетным. В самом деле, в противном случае $\beta (y_j)=0$. Выберем класс $a$, для которого $(r_2)_*(a)=y_j$. Класс $\pi^*(a)$ лежит в образе $\pi^*\colon H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)\to H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z) $ и поэтому кратен классу $({A_{j-1}}/{A_j}) \widehat z_j$, который по предположению четен. Но тогда образующая $z_j\in H^{4j-1}(H_{n,k};\mathbb Z_2) $ должна быть нулевой:

$$ \begin{equation*} z_j = \pi^*(y_j) = \pi^*((r_2)_*(a)) = (r_2)_* (\pi^*(a)) = (r_2)_*\biggl(\frac{A_{j-1}}{A_j} \widehat z_j\biggr). \end{equation*} \notag $$
Полученное противоречие показывает, что $A_{j-1}/A_j$ четным быть не может.

Случай $n-k+1<j<N$, $A_{j-1}/A_j$ нечетное. Так как

$$ \begin{equation*} A_{j-1}=\gcd \biggl({\displaystyle\binom{n}{n-k+1},\dots,\binom{n}{j-1}}\biggr), \end{equation*} \notag $$
найдутся целые числа $s_{n-k+1},\dots, s_{j-1}$, для которых
$$ \begin{equation*} A_{j-1}=\sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \binom{n}{l}. \end{equation*} \notag $$
Рассмотрим класс $B = \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \widehat u_l \widehat x^{j-l+1} \in H^{4j-4}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z)$. Легко видеть, что
$$ \begin{equation*} j_H^*(B) = \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \binom{n}{l} \widehat x^l \widehat x^{j-l+1} = A_{j-1 }\widehat x^{j-1}\in H^{4j-4}(\mathbb H P^\infty;\mathbb Z). \end{equation*} \notag $$
Тогда существует класс $D\in AH^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z)$, для которого
$$ \begin{equation*} \delta(D) = \frac{A_{j-1}}{A_j} \widehat u_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \widehat x B. \end{equation*} \notag $$
С другой стороны, нетрудно проверить, что для редукции по модулю 2 этого класса имеет место равенство
$$ \begin{equation*} \delta((r_2)_*(D)) = \delta\biggl(\frac{A_{j-1}}{A_j} y_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l y_l x^{j-l}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Поскольку $\delta\colon H^{4j-1}(PH_{n,k};\mathbb Z_2)\to H^{4j-1}(\mathbb H P^\infty,PH_{n,k};\mathbb Z_2)$ является мономорфизмом, то получаем равенство
$$ \begin{equation*} (r_2)_*(D) = y_j - \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l y_l x^{j-l}. \end{equation*} \notag $$
Теперь применим к обеим частям $\beta$ и воспользуемся равенством $\beta\circ (r_2)_*=0$, нечетностью ${A_{j-1}}/{A_j}$ и предположением индукции:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \beta (y_j) &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \beta(y_l) \widehat x^{j-l} \\ &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \sum_{l=n-k+1}^{j-1} s_l \biggl[\frac{1}{2}\binom{n}{l}\biggr]\widehat x^l \widehat x^{j-l} \\ &= \biggl[\binom{n}{j}/ A_j\biggr] \biggl[\frac{1}{2} A_{j-1}\biggr]\widehat x^j=\frac{1}{2}\binom{n}{j} \widehat x^j. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Тем самым формула (3.10) доказана.

Утверждение п. (b) теперь доказывается следующим образом. Для $n-k+1\leqslant j<N$ приведем равенство (3.10) по модулю $2$ (применим гомоморфизм $(r_2)_*$). Тогда

$$ \begin{equation*} Sq^1(y_j) = (r_2)_*\circ\beta(y_j) = \frac{1}{2}\binom{n}{j} (r_2)_*(\widehat x^j)= \frac{1}{2}\binom{n}{j} x^j. \end{equation*} \notag $$
Для $j\geqslant N$, как мы видели выше, $Sq^1 y^j$ должен быть кратен $x^j$, но в силу соотношения $x^N=0$ имеем $Sq^1 y^j=0$, что и требовалось.

3.2.3. Пункт (c)

Для $i<j$ действие $Sq^{4i}$ на классе $q_j\in H^*(\operatorname{BSp}(n);\mathbb Z_2)$ описывается формулой $Sq^{4i}q_j \sum_{s=0}^i {\displaystyle\binom{4j-1-4s}{4i-4s}q_sq_{i+j-s}}$. Для биномиальных коэффициентов по модулю 2 имеет место равенство ${\displaystyle\binom{j-s-1}{i-s}=\binom{4j-4s-1}{4i-4s}}$ (для проверки достаточно применить лемму Люка). Откуда получаем

$$ \begin{equation*} Sq^{4i}q_j \sum_{s=0}^i \binom{j-1-s}{i-s}q_sq_{i+j-s}. \end{equation*} \notag $$
Оставшаяся часть доказательства формулы (3.2) дословно повторяет доказательство теорема 1.2, (iv) из [6] с удвоением градуировок.

Теорема 6 доказана.

§ 4. Частично проективные кватернионные многообразия Штифеля

Приведем список конечных нетривиальных групп, допускающих свободное действие на трехмерной сфере. Часть из них, группы (1)–(5), реализуются как подгруппы в группе кватернионов, равных 1 по модулю:

Подгруппы (2)–(5) получаются как прообразы в двулистном накрытии $S^3\to \operatorname{SO}(3)$ известных дискретных подгрупп в $\operatorname{SO}(3)$. В частности, $Q_{4m}$ получается такой процедурой из группы диэдра $D_{2m}$. Кроме того, на $S^3$ определено свободное действие двух серий подгрупп $\operatorname{SO}(4)$:

а также на $S^3$ свободно действует

Для всех групп (1)–(8) пространство орбит действия на $S^3$ является гладким многообразием; см. [11], [9], [12].

Более подробно, $2T = \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k, \frac{1}{2}(\pm1\pm i\pm j\pm k)\}$, $2O$ состоит из всех элементов $2T$ и еще 24 кватернионов, полученных из $\frac{1}{\sqrt{2}}(\pm1\pm i + 0j + 0k)$ перестановками координат, $2I$ состоит из всех элементов $2T$ и еще 96 кватернионов, полученных из $\frac{1}{2}(0\pm i\pm\varphi^{-1}j\pm\varphi k)$ четными перестановками координат. Отметим также, что для нечетного $m$ группа $Q_{4m}$ изоморфна $B_{4m}$, а группа $P'_{8\cdot 3}$ изоморфна $P_{24}$; см., например, [12].

Определение. Пусть $G$ – любая из групп списка (1)–(8). Тогда $G$ свободно и дискретно действует левыми сдвигами на слоях расслоения $H_{n,k}\to PH_{n,k}$. Факторпространство $H_{n,k}^G=H_{n,k}/G$ будем называть частично проективным многообразием Штифеля.

Из спектральной последовательности расслоения $S^3/G \to H_{n,k}^G \to PH_{n,k}$ получаем аддитивный изоморфизм $H^*(H_{n,k}^G,\mathbb Z_p) \cong E_\infty$. Поэтому основная трудность состоит в вычислении третьего и четвертого дифференциалов этой спектральной последовательности, а также в вычислении кольцевой структуры в когомологиях тотального пространства.

Таблица 1.Типы подгрупп

ГруппаКольцо коэффициентов
$\mathbb{Z}_p$, $p>3$$\mathbb{Z}_3$$\mathbb{Z}_2$
$Q_{4m}$$\mathbf B$: $p\mid m$, $\mathbf A$: $p\nmid m$$\mathbf B$: $3\mid m$, $\mathbf A$: $3\nmid m$$\mathbf {D}_2$: $m=2s+1$, $\mathbf {C}_0$: $m=4s$, $\mathbf {C}_1$: $m=4s+2$
$2T$$\mathbf A$$\mathbf {D}_3$$\mathbf B$
$2O$$\mathbf A$$\mathbf B$$\mathbf {C}_2$
$2I$$\mathbf B$: $p=5$, $\mathbf A$: $p>5$$\mathbf B$$\mathbf B$
$P'_{8\cdot 3^s}$$\mathbf A$$\mathbf {D}_3$$\mathbf B$
$B_{2^s(2m+1)}$$\mathbf B$: $p\mid 2m+1$, $\mathbf A$: $p\nmid 2m+1$$\mathbf B$: $3\mid 2m+1$, $\mathbf A$: $3\nmid 2m+1$$\mathbf {D}_2$
$\mathbb{Z}_m$, $p\nmid m$$\mathbf A$
$\mathbb{Z}_m$, $p\mid m$$\mathbf {D}_p$$\mathbf {D}_2$

Нас интересует задача вычисления колец $H^*(H_{n,k}^G,\mathbb Z_p)$ для групп $G$ типа (1)–(7) и простых $p$. В табл. 1 приведены различные случаи, которые возникают при вычислении кольца когомологий пространства $H_{n,k}^G$. Это разбиение на случаи делается в зависимости от структуры кольца когомологий $H^*(S^3/G;\mathbb Z_p)$ и от того, делится ли порядок группы $G$ на $p$. Вычисление когомологий частично проективных многообразий Штифеля для группы, являющихся произведением группы из табл. 1 на циклическую группу взаимно простого порядка, т.е. для группы $G$ типа (8), теперь не представляет сложности (подробности будут опубликованы в другой работе).

4.1. Случай $\mathbf A$

Этот случай характеризуется условием, что $|G|$ не делится на $p$, и является наиболее простым.

Теорема 7. Пусть группа $G$ и простое число $p$ относятся к типу $\mathbf A$ из табл. 1. Тогда отображение накрытия $\pi\colon H_{n,k}\to H^G_{n,k}$ индуцирует изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} \pi^*\colon H^*(H_{n,k}^G; \mathbb{Z}_p) \to H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Гомоморфизм $\pi^*$ является изоморфизмом на $G$-инвариантную часть когомологий $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$.

С другой стороны, группы (1)–(5) из списка содержатся в группе $S^3$ кватернионов, равных 1 по модулю, а группы (6), (7) – в группе $\operatorname{SO}(4)$. Обе группы, $S^3$ и $\operatorname{SO}(4)$, связны и обе действуют на $H_{n,k}$ (применением к каждому вектору репера). Любой элемент этих групп действует в когомологиях $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$ тривиальным образом.

Действие же дискретных групп из списка § 4 получается ограничением действия соответствующей непрерывной группы, поэтому $H^*(H_{n,k}; \mathbb{Z}_p)^G = H^*(H_{n,k};\mathbb{Z}_p)$.

Теорема доказана.

Перед тем как перейти к рассмотрению других случаев, докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Во всех случаях из табл. 1, кроме $\mathbf A$, для спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}^G\to PH_{n,k}$, где $1\leqslant k< n$, выполняется $E_2=E_\infty$, в частности, имеет место изоморфизм $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p)$-модулей

$$ \begin{equation*} H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_p)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. По соображениям размерности достаточно проверить тривиальность дифференциала $d_4\colon E^{0,3}_4\to E^{4,0}_4$ в спектральной последовательности расслоения $H_{n,k}^G\to PH_{n,k}$.

Накрытие $\pi\colon H_{n,k}\to H^G_{n,k}$ согласовано с проекциями расслоений над $PH_{n,k}$, при этом ограничение на слой совпадает с накрытием $\pi\colon S^3\to S^3/G$, поэтому имеет место морфизм соответствующих спектральных последовательностей, тогда квадрат

коммутативен, т.е. ${{\widehat d}\circ \pi^*= d_4}$. Остается заметить, что в этой диаграмме $\pi^*=0$, поскольку $p$ делит $|G|$.

Лемма доказана.

4.2. Случай $\mathbf B$

Теперь мы предполагаем, что $p$ делит $|G|$ и, кроме того, $H^*(S^3/G;\mathbb Z_p) = \mathbb Z_p[z_3]/(z_3^2=0)$, где $\deg z_3 = 3$, см. [13], [14].

Теорема 8. Пусть группа $G$ и простое число $p$ относятся к типу $\mathbf B$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)\cong \mathbb Z_p[z_3]/(z_3^2=0)\otimes H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. По лемме 1 искомый изоморфизм выполняется аддитивно. Кольцо $H^*(PH_{n,k}; \mathbb{Z}_p)$ вкладывается в кольцо $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$, и поэтому остается найти соотношение на $z_3^2$. Однако легко видеть, что в $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ нет ненулевых классов размерности $6$, поэтому $z_3^2=0$.

Теорема доказана.

4.3. Случаи $\mathbf C_0$, $\mathbf C_1$, $\mathbf C_2$

Для $p=2$ и групп $G=20$ и $G=Q_{4m}$ с четным $m$ кольца $H^*(S^3/G;\mathbb Z_2)$ и $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ (последнее нам понадобится при выводе одного соотношения в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$) имеют наиболее сложную структуру. В работах [13], [14] были получены следующие изоморфизмы.

Теорема 9 (см. [13], [14]). (a) Для $G=Q_{4m}$, где $m=4s$, имеют место изоморфизмы колец

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, H^*(S^3/Q_{4\cdot 4s};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1]/(\widehat\beta_1^4=0, (\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 = \widehat\beta_1\widehat\beta'_1), \\ H^*(BQ_{4\cdot 4s};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1,\widehat\alpha_4]/(\widehat\beta_1^4=0,(\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 = \widehat\beta_1\widehat\beta'_1). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

(b) Для $G=Q_{4m}$, где $m=4s+2$, имеют место изоморфизмы колец

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, H^*(S^3/Q_{4\cdot (4s+2)};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1]/(\widehat\beta_1^3=0, (\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 + \widehat\beta_1\widehat\beta'_1+(\widehat\beta'_1)^2=0), \\ H^*(BQ_{4\cdot (4s+2)};\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\widehat\beta'_1,\widehat\alpha_4]/(\widehat\beta_1^3=0,(\widehat\beta'_1)^3=0, \widehat\beta_1^2 + \widehat\beta_1\widehat\beta'_1+(\widehat\beta'_1)^2=0). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

(c) Для $G=2O$ имеют место изоморфизмы колец

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, H^*(S^3/(2O);\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1]/(\widehat\beta_1^4=0), \\ H^*(B(2O);\mathbb Z_2) = \mathbb Z_2[\widehat\beta_1,\alpha_4]/(\widehat\beta_1^4=0). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Здесь $\widehat\beta_1$ и $\widehat\beta'_1$ – подходящим образом выбранные одномерные классы, а $\widehat\alpha_4$ – четырехмерный класс.

По лемме 1 в случаях $\mathbf C_0$, $\mathbf C_1$, $\mathbf C_2$ имеем изоморфизмы $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2)$-модулей

$$ \begin{equation*} H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_2) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_2)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2). \end{equation*} \notag $$
Оказывается, верно и более сильное утверждение.

Теорема 10. Для групп $G=2O$ и $G=Q_{4m}$ с четным $m$ имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_2) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_2)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_2), \end{equation*} \notag $$
где явный вид колец в правой части описан в теоремах 9 и 5.

Доказательство. Для рассматриваемых групп $G$ в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$ выберем одномерные образующие: $\beta_1$ и $\beta'_1$ для $G=Q_{4m}$ и $\beta_1$ для $G=2O$. Обозначим через $i$ вложение слоя расслоения $S^3/G\to H^G_{n,k}\to PH_{n,k}$. По лемме 1 можно считать, что при ограничении на слой этого расслоения выбранные образующие переходят в одноименные образующие из теоремы 9: $i^*(\beta_j)=\widehat\beta_j$.

Для $q\leqslant 3$ гомоморфизм ограничения на слой $i^*\colon H^q( H^G_{n,k};\mathbb Z_2)\to H^q(S^3/G;\mathbb Z_2)$ является изоморфизмом, поэтому соотношения между произведениями одномерных образующих $\beta_1$ и $\beta'_1$ до градуировки $3$ включительно повторяют соотношения между $\widehat\beta_1$ и $\widehat\beta'_1$ (для $G=2O$ нужно рассматривать только $\beta_1$ и $\widehat\beta_1$). Поэтому размерность $q=4$ наименьшая, в которой может появиться новое соотношение: в этой размерности ядро $i^*$ нетривиально и порождено классом $x$.

Из теоремы 9 следует, что во всех случаях произведения степени $4$ одномерных классов тривиальны: $\widehat\beta_1^t (\widehat\beta'_1)^{4-t}=0$, $0\leqslant t\leqslant 4$, для $G=Q_{4m}$ и $\widehat\beta_1^4=0$ для $G=2O$. Докажем, что для рассматриваемых групп $G$ аналогичные соотношения для произведений классов $\beta_1$ и $\beta'_1$ выполняются и в $H^4(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)$.

Проекция $g\colon H_{n,k}\to H_{n,1}$, состоящая в отбрасывании всех векторов репера, кроме первого, согласована с действием группы $\operatorname{Sp}(1)$ и, в частности, с действием ее подгрупп $Q_{4m}$ и $2O$. Тем самым $g$ индуцирует отображения

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_P&\colon PH_{n,k}\to PH_{n,1} =\mathbb H P^{n-1}, \\ g_G&\colon H^G_{n,k}\to H^G_{n,1} = S^{4n-1}/G. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Отображения $g_P$ и $g_G$ задают отображение расслоений

Тем самым проверку тривиальности произведений степени 4 одномерных образующих $\beta_1$ и $\beta'_1$ достаточно сделать в $H^*(H^G_{n,1};\mathbb Z_2)$. Заметим теперь, что $H^G_{n,1}=S^{4n-1}/G$ является $(4n-1)$-мерным остовом классифицирующего пространства $BG$, причем $n\geqslant 2$, поэтому в интересующих нас размерностях кольца $H^*(H^G_{n,1};\mathbb Z_2)$ и $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ изоморфны. Из теоремы 9 следует, что любые произведения степени 4 одномерных классов в $H^*(BG;\mathbb Z_2)$ тривиальны.

Теорема 10 доказана.

4.4. Случаи $\mathbf D_2$, $\mathbf D_3$, $\mathbf D_p$

Для групп $G$ и $\mathbb Z_p$-коэффициентов из табл. 1 группа когомологий $H^q(S^3/G;\mathbb Z_p)$ изоморфна $\mathbb Z_p$ при $q=0,1,2,3$, а в остальных размерностях она, очевидно, тривиальна. Кроме того, можно таким образом выбрать образующие $\widehat{\alpha}_1,\widehat{\gamma}_2,\widehat{z}_3$ в $H^q(S^3/G;\mathbb Z_p)$ для $q=1,2,3$ соответственно, что $\widehat{\alpha}_1\widehat{\gamma}_2=\widehat{z}_3$, причем $\widehat{\alpha}_1^2=0$, если $p>2$, и $\widehat{\alpha}_1^2=\widehat{\gamma}_2$, если $p=2$; см. [13], [14].

Из леммы 1 во всех случаях $\mathbf{D}_p$, $p\geqslant 2$, имеем изоморфизм $H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p)$-модулей

$$ \begin{equation*} H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p) = H^*(S^3/G;\mathbb Z_p)\otimes H^*(PH_{n,k};\mathbb Z_p). \end{equation*} \notag $$
Поэтому в $H^*(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p) $ существуют классы $\alpha_1,\gamma_2$ и $z_3$, которые при ограничении на слой переходят в $\widehat{\alpha}_1,\widehat{\gamma}_2,\widehat{z}_3$ соответственно. В силу размерностных ограничений $\alpha_1^2=\gamma_2$ для $p=2$ и $\alpha_1^2=0$ для $p>2$, кроме того, $z_3^2=0$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$. Единственное произведение, которое нельзя найти из соображений размерности, – это $\gamma_2^2$. Его ограничение на слой равно 0, поэтому оно должно быть кратным $x\in H^4(PH_{n,k};\mathbb Z_p)\subset H^4(H_{n,k}^G;\mathbb Z_p)$. Мы докажем, что во всех случаях $\mathbf{D}_p$, $p\geqslant 2$, выполняется соотношение $\gamma_2^2=x$. Мы начнем со случая циклической группы $\mathbb Z_m$, $p\mid m$.

Лемма 2. Пусть $G=\mathbb Z_m$ и $p\mid m$. Тогда в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ выполнено равенство $\gamma_2^2=x$.

Доказательство. Проекция $g\colon H_{n,k}\to H_{n,1}$, состоящая в забывании всех векторов репера, кроме первого, согласована с действием группы $\operatorname{Sp}(1)$ и, в частности, с действием $\mathbb Z_m$. Поэтому определены отображения
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, g_P&\colon PH_{n,k}\to PH_{n,1} =\mathbb H P^{n-1}, \\ g_G&\colon H^G_{n,k}\to H^G_{n,1} = L^{4n-1}_m, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $L^{4n-1}_m$ – линза $S^{4n-1}/\mathbb Z_m$. Отображения $g_P$ и $g_G$ согласованы c проекциями расслоений
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, S^3/G &\to H^{G}_{n,k}\to PH_{n,k}, \\ S^3/G &\to H^{G}_{n,1}\to PH_{n,1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Гомоморфизм $g^*_P$ отображает класс $x\in H^4( PH_{n,1};\mathbb Z_p)$ в одноименный класс из $ H^4( PH_{n,k};\mathbb Z_p)$, а гомоморфизм $g^*_P$ отображает классы $\alpha_1$, $\gamma_2$, $z_3$, $x$ из $H^*( PH_{n,1};\mathbb Z_p)$ в одноименные классы из $ H^4( PH_{n,k};\mathbb Z_p)$, поэтому соотношение $\gamma_2^2=x$ достаточно проверить для $H_{n,1}^G$. Как было сказано выше, $H_{n,1}^G$ является линзой $S^{4n-1}/\mathbb Z_m$, в когомологиях которой искомое соотношение заведомо выполнено.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть $p=2$, $G = Q_{4(2s+1)}, 2O, B_{2^s(2m+1)}$ или $p=3$, $G= 2T, P'_{8\cdot 3^s}$. Тогда в когомологиях $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ выполнено равенство $\gamma_2^2=x$.

Доказательство. Это утверждение можно доказать аналогично лемме 2. Приведем другое рассуждение, основанное на сведении к соотношениям в когомологиях частично проективного пространства Штифеля для циклической группы.

Сначала рассмотрим случай $p=3$. Для группы $G=2T$ силовская 3-подгруппа $G_3$ изоморфна $\mathbb Z_3$, а для $P'_{8\cdot 3^{s}}$ – группе $G_3=\mathbb Z_{3^s}$. В обоих случаях $G_3$ циклическая. Вложение $I\colon G_3\,{\subset}\, G$ индуцирует вложение колец $\mathbb Z_3$-когомологий, а из вычислений когомологий этих групп следует, что $I^*\colon H^*(S^3/G;\mathbb Z_3)\to H^*(S^3/G_3;\mathbb Z_3)$ является изоморфизмом. Накрытие $J\colon H^{G_3}_{n,k}\to H^{G}_{n,k}$ согласовано со структурой расслоения над $PH_{n,k}$, поэтому $J^*$ сохраняет класс $x$ и отображает класс $\gamma_2\in H^2(H^{G}_{n,k};\mathbb Z_3)$ в одноименный класс $ H^2(H^{G_3}_{n,k};\mathbb Z_3)$ (так как ограничение $J$ на слой совпадает с $I$). Кроме того, в размерностях 2 и 4 гомоморфизм $J^*$ является изоморфизмом. Поэтому из того, что соотношение $\gamma_2^2=x$ выполняется в $ H^2(H^{G_3}_{n,k};\mathbb Z_3)$, следует, что оно выполняется и в $ H^2(H^{G}_{n,k};\mathbb Z_3)$.

Рассмотрим $p=2$. Для группы $G=B_{2^s(2m+1)}$ силовская $2$-подгруппа $G_2$ изоморфна $\mathbb Z_{2^s}$, а для $G=Q_{4(2s+1)}$ подгруппа $G_2$ изоморфна $\mathbb Z_4$. Поэтому для этих двух подгрупп рассуждение аналогично предыдущему.

Лемма доказана.

Теорема 11. (a) Пусть для $p>2$ группа $G$ относится к типу $\mathbf{D}_p$ или для $p=3$ – к типу $\mathbf{D}_3$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)\cong \mathbb Z_p[\gamma_2]/(\gamma_2^{2N}=0)\otimes \Lambda(\alpha_1,y_{n-k+1},\dots, \widehat{y}_N,\dots, y_n). \end{equation*} \notag $$

(b) Пусть для $p=2$ группа $G$ относится к типу $\mathbf{D}_2$ из табл. 1. Тогда для $H^G_{n,k}$, $1\leqslant k< n$, имеет место изоморфизм колец

$$ \begin{equation*} H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_2)\cong \mathbb Z_2[\alpha_1]/(\alpha_1^{4N}=0)\otimes \Lambda(y_{n-k+1},\dots, \widehat{y}_N,\dots, y_n). \end{equation*} \notag $$

Здесь $N$ определяется так же, как в теореме 5.

Доказательство. Нужный кольцевой изоморфизм следует из теоремы 5 и лемм 2 и 3. В самом деле, в кольце $H^*(H^G_{n,k};\mathbb Z_p)$ для $p=2$ имеют место соотношения $\alpha_1^2=\gamma_2$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$, $\gamma_2^2=x$ и $x^N=0$, а для $p>2$ – соотношения $\alpha_1^2=0$, $\alpha_1\gamma_2=z_3$, $\gamma_2^2=x$ и $x^N=0$.

Теорема доказана.

Благодарность

Авторы выражают благодарность П. М. Ахметьеву за полезные обсуждения и ценные замечания, позволившие улучшить изложение.

Список литературы

1. A. Borel, “Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts”, Ann. of Math. (2), 57 (1953), 115–207  crossref  mathscinet  zmath
2. S. Gitler, D. Handel, “The projective Stiefel manifolds. I”, Topology, 7 (1968), 39–46  crossref  mathscinet  zmath
3. A. Borel, “Sur l'homologie et la cohomologie des groupes de Lie compacts connexes”, Amer. J. Math., 76:2 (1954), 273–342  crossref  mathscinet  zmath
4. P. F. Baum, W. Browder, “The cohomology of quotients of classical groups”, Topology, 3:4 (1965), 305–336  crossref  mathscinet  zmath
5. L. Smith, “Some remarks on projective Stiefel manifolds, immersions of projective spaces and spheres”, Proc. Amer. Math. Soc., 80:4 (1980), 663–669  crossref  mathscinet  zmath
6. L. Astey, S. Gitler, E. Micha, G. Pastor, “Cohomology of complex projective Stiefel manifolds”, Canad. J. Math., 51:5 (1999), 897–914  crossref  mathscinet  zmath
7. S. S. Gondhali, Vector fields on certain quotients of the complex Stiefel manifolds, Ph.D. thesis, Tata Inst. Fund. Res., Mumbai, 2012, 47 pp. http://math.haifa.ac.il/sgondhal/
8. W. Threlfall, H. Seifert, “Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes (Schluß)”, Math. Ann., 107:1 (1933), 543–586  crossref  mathscinet  zmath
9. H. Hopf, “Zum Clifford–Kleinschen Raumproblem”, Math. Ann., 95:1 (1926), 313–339  crossref  mathscinet  zmath
10. W. S. Massey, F. P. Peterson, “The cohomology structure of certain fibre spaces. I”, Topology, 4 (1965), 47–65  crossref  mathscinet  zmath
11. P. Orlik, Seifert manifolds, Lecture Notes in Math., 291, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, viii+155 pp.  crossref  mathscinet  zmath
12. J. Milnor, “Groups which act on $S^n$ without fixed points”, Amer. J. Math., 79:3 (1957), 623–630  crossref  mathscinet  zmath
13. S. Tomoda, P. Zvengrowski, “Remarks on the cohomology of finite fundamental groups of 3-manifolds”, The Zieschang Gedenkschrift, Geom. Topol. Monogr., 14, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, 519–556  crossref  mathscinet  zmath
14. A. R. Shastri, P. Zvengrowski, “Type of 3-manifolds and addition of relativistic kinks”, Rev. Math. Phys., 3:4 (1991), 467–478  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa

Образец цитирования: Г. Е. Жубанов, Ф. Ю. Попеленский, “О кольцах когомологий частично проективных кватернионных многообразий Штифеля”, Матем. сб., 213:3 (2022), 21–40; G. E. Zhubanov, F. Yu. Popelenskii, “On the cohomology rings of partially projective quaternionic Stiefel manifolds”, Sb. Math., 213:3 (2022), 300–318
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhuPop22}
\by Г.~Е.~Жубанов, Ф.~Ю.~Попеленский
\paper О кольцах когомологий частично проективных кватернионных многообразий Штифеля
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 3
\pages 21--40
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9601}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9601}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461432}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1494.57060}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..300Z}
\transl
\by G.~E.~Zhubanov, F.~Yu.~Popelenskii
\paper On the cohomology rings of partially projective quaternionic Stiefel manifolds
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 3
\pages 300--318
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9601}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000794985400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85132388581}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9601
  • https://doi.org/10.4213/sm9601
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i3/p21
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:284
    PDF русской версии:76
    PDF английской версии:39
    HTML русской версии:144
    Список литературы:49
    Первая страница:13
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024