Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 4, страницы 38–73
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9632
(Mi sm9632)
 

Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)

Существование решений нелинейных эллиптических уравнений с данными в виде меры в пространствах Музилака–Орлича

А. П. Кашниковаa, Л. М. Кожевниковаab

a Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
b Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета
Список литературы:
Аннотация: В работе рассматривается квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка с правой частью в виде меры специального вида. Ограничения на структуру уравнения формулируются в терминах обобщенной $N$-функции такой, что сопряженная функция подчиняется $\Delta_2$-условию, а соответствующее пространство Музилака–Орлича не обязано быть рефлексивным. В произвольной области, удовлетворяющей сегментному свойству, доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле и установлено, что оно является ренормализованным решением.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова: квазилинейное эллиптическое уравнение, энтропийное решение, ренормализованное решение, неограниченная область, диффузная мера, Музилака–Орлича пространство.
Поступила в редакцию: 29.06.2021 и 21.11.2021
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages 476–511
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9632
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 35J62; Secondary 35J15

§ 1. Введение

В работе рассматривается вопрос существования решения задачи Дирихле

$$ \begin{equation} -\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \end{equation} \tag{1.1} $$
$$ \begin{equation} u\big|_{\partial \Omega}=0 \end{equation} \tag{1.2} $$
в произвольной неограниченной области $\Omega\,{\subset}\,\mathbb{R}^n\,{=}\,\{\mathrm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\}$, $n\,{\geqslant}\, 2$. Здесь функции ${\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=(a_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}), \dots,a_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}))\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ имеют рост, определяемый обобщенной $N$-функцией $M(\mathrm{x},z)$, которая не обязана удовлетворять $\Delta_2$-условию, а ограниченная мера Радона $\mu$ имеет специальный вид.

Концепция ренормализованных решений служит основным шагом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с данными в виде меры. В работах [1], [2] для уравнения вида

$$ \begin{equation} -\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \end{equation} \tag{1.3} $$
в пространствах Соболева доказаны устойчивость и существование ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2) в ограниченной области $\Omega$.

В пространствах Музилака–Орлича существование ренормализованных решений с данными в виде общей меры является новой задачей даже в рефлексивном случае. В работе [3] при некоторых условиях регулярности на функцию Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ И. Хлебицка установила, что каждая ограниченная мера Радона $\mu$ в ограниченной области $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ может быть разложена как $\mu =\mu_{M} + \mu_s$. Причем $\mu_{M}$ называется диффузной по $M$-емкости $\operatorname{Cap}_{M}$ ($M$-мягкой мерой) и $\mu_{M}(E)=0$ для любого $E\subseteq\Omega$ такого, что $\operatorname{Cap}_{M}(E,\Omega)=0$, а $\mu_s$ сосредоточена на множестве нулевой $M$-емкости и называется сингулярной. Установлено, что $\mu_{M}$ является диффузной по $M$-емкости тогда и только тогда, когда $\mu_{M} \in L_1 (\Omega) + W^{-1}_{\overline{M}} (\Omega)$ ($W^{-1}_{\overline{M}} (\Omega)$ – пространство, сопряженное к $\mathring W_M^1(\Omega)$), т.е. существуют функции $f\in L_1(\Omega)$, $\mathrm{f}=(f_1,\dots,f_n)\in (L_{\overline{M}}(\Omega))^n$ такие, что

$$ \begin{equation} \mu_{M}=f-\operatorname{div} \mathrm{f}. \end{equation} \tag{1.4} $$
И. Хлебицка в [3] доказала существование, а при $\mu = \mu_{M}$ и единственность ренормализованного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2).

В работе [4] для анизотропной $N$-функции $\Phi\in \Delta_2\cap \nabla_2$ установлено аналогичное разложение меры по анизотропной $\Phi$-емкости и в случае диффузной меры $\mu_{\Phi}$ доказана единственность аппроксимационного решения задачи Дирихле (1.3), (1.2).

В работе [5] рассмотрен некоторый класс эллиптических уравнений второго порядка вида

$$ \begin{equation} -\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)+a_0(\mathrm{x},u)=\mu, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \end{equation} \tag{1.5} $$
с переменными показателями нелинейностей и правой частью в виде общей меры Радона с конечной полной вариацией. Доказано существование ренормализованного решения задачи (1.5), (1.2) как следствие устойчивости относительно сходимости правой части уравнения.

Если функция Музилака–Орлича $M$ не удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то соответствующее пространство Музилака–Орлича не является рефлексивным и рассматриваемая задача даже с диффузной мерой значительно усложняется. Обычно если ограничений на рост обобщенной $N$-функции $M(\mathrm{x},z)$ не требуется, то предполагается, что она подчиняется условию log-гёльдеровской непрерывности по переменной $\mathrm{x}\in\Omega$, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам пространства Музилака–Орлича.

В работе [6] доказано существование ренормализованного решения задачи (1.3), (1.2) c $\mu\in L_1(\Omega)$ и неоднородной анизотропной функцией Музилака–Орлича.

Авторы работ [7], [8] установили существование ренормализованного и энтропийного решений задачи Дирихле соответственно для уравнения вида

$$ \begin{equation} -\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +\mathrm{c}(u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad\mathrm{x}\in \Omega, \end{equation} \tag{1.6} $$
с функцией $\mathrm{c}\in C_0(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$. В работах [9], [10] ($a_0\equiv0$), [11] доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида
$$ \begin{equation} -\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) +\mathrm{c}(\mathrm{x},u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad\mathrm{x}\in \Omega, \end{equation} \tag{1.7} $$
с каратеодориевой функцией $\mathrm{c}(\mathrm{x},s_0)\colon \Omega\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, подчиняющейся условию роста по переменной $s_0$.

Все процитированные выше результаты получены для энтропийных и ренормализованных решений эллиптических задач в ограниченных областях. Для эллиптических уравнений с различными видами нелинейностей и данными в виде меры (или $L_1$-данными) результаты существования и единственности энтропийных и ренормализованных решений в произвольных неограниченных областях установлены в работах [12]–[20]. Однако для уравнений с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака–Орлича, таких результатов нет.

Трудность обобщения на неограниченную область состоит в том, что в неограниченной области не работает аналог неравенства Пуанкаре–Соболева и теорема о компактности вложения пространства Музилака–Орлича–Соболева. Решить проблему авторам удалось благодаря добавлению в уравнение (1.1) слагаемого $M'(\mathrm{x},u)$ и дополнительному требованию интегрируемости функции $M(\cdot,z)$ по $\Omega$. В настоящей статье доказано существование энтропийного решения и установлено, что оно является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2) c мерой $\mu$ диффузного типа в произвольной (в том числе и неограниченной) области $\Omega$, удовлетворяющей сегментному свойству.

§ 2. Пространства Музилака–Орлича–Соболева

В этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных $N$-функций и пространств Музилака–Орлича (см. [21]–[23]).

Определение 2.1. Пусть функция $M(\mathrm{x},z)\colon \Omega \times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет следующим условиям:

1) $M(\mathrm{x},\cdot)$ – $N$-функция по $z\in\mathbb{R}$, т.е. она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, $M(\mathrm{x},0)=0$ для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M(\mathrm{x},z)>0\quad\text{для всех }\ z\neq 0, \\ \lim_{z\to 0}\sup_{\mathrm{x}\in\Omega} \frac{M(\mathrm{x},z)}{z}=0 , \\ \lim_{z\to \infty}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega}\frac{M(\mathrm{x},z)}{z}=\infty; \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

2) $M(\cdot,z) $ – измеримая функция по $\mathrm{x}\in \Omega$ для любых $z\in\mathbb{R}$.

Такая функция $M(\mathrm{x},z)$ называется функцией Музилака–Орлича или обобщенной $N$-функцией.

Сопряженная функция $\overline{M}(\mathrm{x},\cdot)$ к функции Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},\cdot)$ в смысле Юнга для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $z\geqslant 0$ определяется равенством

$$ \begin{equation*} \overline{M}(\mathrm{x},z)=\sup_{y\geqslant 0}( yz-M(\mathrm{x},y)). \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует неравенство Юнга
$$ \begin{equation} |zy| \leqslant M(\mathrm{x},z)+ \overline{M}(\mathrm{x},y), \qquad z,y \in \mathbb{R}, \quad \mathrm{x} \in \Omega. \end{equation} \tag{2.1} $$

Для функции Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ имеет место интегральное представление

$$ \begin{equation} M(\mathrm{x},z)=\int_{0}^{|z|}M'(\mathrm{x},\theta)\,d\theta, \end{equation} \tag{2.2} $$
где $M'(\mathrm{x},\theta)\colon \Omega \times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, причем $M'(\mathrm{x},\cdot)$ неубывающая, непрерывна справа, $M'(\mathrm{x},0)=0$ для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \notag \inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)>0 \quad\text{для п.в. всех }\ \theta>0, \\ \lim_{\theta\to \infty}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},\theta)=\infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.3} $$
Из (2.2), (2.1) для п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$, $z\in \mathbb{R}$ следуют простейшие неравенства:
$$ \begin{equation} M(\mathrm{x},z)\leqslant M'(\mathrm{x},z)z, \end{equation} \tag{2.4} $$
$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},z)z\leqslant M(\mathrm{x},2z), \end{equation} \tag{2.5} $$
$$ \begin{equation} \overline{M}(\mathrm{x},M'(\mathrm{x},z))\leqslant M'(\mathrm{x},z)z. \end{equation} \tag{2.6} $$

Пусть $P(\mathrm{x},z)$ и $M(\mathrm{x},z)$ – функции Музилака–Орлича. Если для каждой положительной константы $l$ имеем

$$ \begin{equation} \lim_{z\to \infty}\sup_{\mathrm{x} \in \Omega}\frac{P(\mathrm{x},lz)}{M(\mathrm{x},z)}=0, \end{equation} \tag{2.7} $$
то это обозначается $P\prec \prec M$ и говорят, что $P$ растет медленнее, чем $M$, на $\infty$.

Функция Музилака–Орлича $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если существуют константы $c>0$, $z_0\geqslant 0$ и функция $H\in L_1(\Omega)$ такие, что для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $|z|\geqslant z_0$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} M(\mathrm{x},2z) \leqslant cM(\mathrm{x},z)+H(\mathrm{x}). \end{equation*} \notag $$
$\Delta_2$-условие эквивалентно выполнению для п.в. $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $|z|\geqslant z_0$ неравенства
$$ \begin{equation} M(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)M(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega), \end{equation} \tag{2.8} $$
где $l$ – любое число больше единицы, $c(l)>0$.

В настоящей работе предполагается, что сопряженная $N$-функция $\overline{M}(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию при всех значениях $z\in\mathbb{R}$ (т.е. $z_0=0$). Таким образом, для любого $l>0$ и п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$ имеет место неравенство

$$ \begin{equation} \overline{M}(\mathrm{x},lz)\leqslant c(l)\overline{M}(\mathrm{x},z)+H_l(\mathrm{x}), \qquad H_l\in L_1(\Omega), \quad z\in \mathbb{R}. \end{equation} \tag{2.9} $$

Существуют три класса Музилака–Орлича.

$\mathcal{L}_M(\Omega)$ – обобщенный Музилака–Орлича класс измеримых функций $v\colon \Omega\to \mathbb{R}$ таких, что

$$ \begin{equation*} \varrho_{M,\Omega}(v)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},v(\mathrm{x}))\,d\mathrm{x}<\infty. \end{equation*} \notag $$

$L_M(\Omega)$ – обобщенное Музилака–Орлича пространство является наименьшим линейным пространством, которое содержит класс $\mathcal{L}_M(\Omega)$, с нормой Люксембурга

$$ \begin{equation*} \|u\|_{M,\Omega}=\inf\biggl\{ \lambda>0\Bigm|\varrho_{M,\Omega}\biggl(\frac{v}{\lambda}\biggr) \leqslant 1 \biggr\}. \end{equation*} \notag $$

$E_M(\Omega)$ – замыкание по норме $\|u\|_{M,\Omega}$ ограниченных измеримых функций с компактным носителем в $\overline{\Omega}$. Справедливы вложения $E_M(\Omega)\subset \mathcal{L}_M(\Omega)\subset L_M(\Omega)$. Ниже в обозначениях $\|\cdot\|_{M,Q}$, $\varrho_{M,Q}(\cdot)$ будем опускать индекс $Q=\Omega$.

Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$.

$(\mathrm{M1},\mathrm{loc})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ локально интегрируема, если

$$ \begin{equation*} \varrho_{M,Q}(z)=\int_QM(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\,z\in \mathbb{R}, \end{equation*} \notag $$
для любого измеримого множества $Q\subset\Omega$ такого, что $\operatorname{meas}Q<\infty$.

$(\mathrm{M1})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ интегрируема, если

$$ \begin{equation*} \varrho_{M}(z)=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},z)\,d\mathrm{x}<\infty \quad \forall\, z\in \mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$

$(\mathrm{M2})$ Функция $M(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет условию $\phi$-регулярности, если существует функция $\phi\colon [0,1/2]\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ такая, что $\phi(\cdot,z)$ и $\phi(r,\cdot)$ – неубывающие функции и для всех $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \overline{\Omega}$, $|\mathrm{x}-\mathrm{y}|\leqslant 1/2$, $z\in\mathbb{R}^+$ и некоторой константы $c>0$ выполняется

$$ \begin{equation*} M(\mathrm{x},z)\leqslant \phi(|\mathrm{x}-\mathrm{y}|,z)M(\mathrm{y},z), \qquad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\!\!\sup \phi(\varepsilon, c\varepsilon^{-n})<\infty. \end{equation*} \notag $$

Пусть $M$ и $\overline{M}$ подчиняются условию $(\mathrm{M1},\mathrm{loc})$. Пространство $E_M(\Omega)$ сепарабельное и $(E_M(\Omega))^*=L_{\overline{M}}(\Omega)$. Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $E_M(\Omega)= \mathcal{L}_M(\Omega)= L_M(\Omega)$ и $L_M(\Omega)$ сепарабельное. Пространство $L_M(\Omega)$ рефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака–Орлича $M$ и $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию.

Для $v\in L_M(\Omega)$ справедливы неравенства:

$$ \begin{equation} \|v\|_{M} \leqslant \varrho_{M}(v)+1, \end{equation} \tag{2.10} $$

если $\|v\|_{M}\leqslant 1$, то

$$ \begin{equation} \varrho_{M}(v)\leqslant \|v\|_{M}, \end{equation} \tag{2.11} $$

если $\|v\|_{M}> 1$, то

$$ \begin{equation} \|v\|_{M}\leqslant\varrho_{M}(v). \end{equation} \tag{2.12} $$

Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in L_M(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in L_M(\Omega)$, если существует константа $\lambda>0 $ такая, что

$$ \begin{equation*} \lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0. \end{equation*} \notag $$
Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают.

Также для двух сопряженных функций Музилака–Орлича $M$ и $\overline{M}$, если $u \in L_M(\Omega)$ и $v \in L_{\overline{M}}(\Omega)$, выполняется неравенство Гёльдера

$$ \begin{equation} \biggl|\int_\Omega u(\mathrm{x})v(\mathrm{x}) \,d\mathrm{x}\biggr| \leqslant 2\|u\|_{M}\|v\|_{\overline{M}}. \end{equation} \tag{2.13} $$

Определим пространства Музилака–Орлича–Соболева

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, W^1L_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in L_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in L_{M}(\Omega)\bigr\}, \\ W^1E_{M}(\Omega)=\bigl\{v\in E_{M}(\Omega)\mid |\nabla v|\in E_{M}(\Omega)\bigr\} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
с нормой
$$ \begin{equation*} \|v\|^1_{M}=\|v\|_{M}+\||\nabla v|\|_{M}. \end{equation*} \notag $$
Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}} \in W^1L_{M}(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in W^1L_{M}(\Omega)$, если существует константа $\lambda>0 $ такая, что
$$ \begin{equation*} \lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0, \quad \lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{|\nabla v^j- \nabla v|}{\lambda}\biggr)=0. \end{equation*} \notag $$

Для краткости записи введем обозначения $(L_M(\Omega))^{n}\,{=}\,\mathrm{L}_M(\Omega)$, $(L_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf L_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n}=\mathrm{E}_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf E_M(\Omega)$. Пространство $W^1L_{M}(\Omega)$ отождествляется с подпространством произведения $\mathbf L_M(\Omega)$ и является замкнутым по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$.

Пространство $\mathring{W}^{1}L_{M} (\Omega)$ определим как замыкание $C_0^{\infty}(\Omega)$ по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$ в ${W}^{1}L_{M} (\Omega)$. Наконец, пространство $\mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega)$ определим как замыкание $C_0^{\infty}(\Omega)$ по норме $\|\cdot\|_M^1$ в ${W}^{1}L_{M} (\Omega)$.

Пространства $\mathring W^1L_{M}(\Omega)$, $\mathring{W}^{1}E_{M} (\Omega)$ банаховы (см. [22; теорема 10.2]). Определим также банахово пространство

$$ \begin{equation*} W^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega)= \bigl\{F=f_0-\operatorname{div}\mathrm{f}\bigm| f_0\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,\mathrm{f}=(f_1,\dots,f_n) \in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) \bigr\}. \end{equation*} \notag $$

Справедлива следующая теорема вложения (см. [24; теорема 4]).

Лемма 2.1. Пусть функция Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет следующим условиям:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \int_1^\infty\frac{M^{-1}(\mathrm{x},z)}{z^{(n+1)/n}}\,dz=\infty, \qquad \int_0^1\frac{M^{-1}(\mathrm{x},z)}{z^{(n+1)/n}}\,dz<\infty, \\ \notag M_*^{-1}(\mathrm{x},z)=\int_0^z\frac{M^{-1}(\mathrm{x},\tau)}{\tau^{(n+1)/n}}\,d\tau, \qquad\mathrm{x}\in \Omega, \quad z \geqslant 0. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.14} $$
Тогда функция $M_*(\mathrm{x},z)$ является обобщенной $N$-функцией и $\mathring W^1L_M(\Omega) \hookrightarrow L_{M_*}(\Omega)$. Более того, для любой ограниченной подобласти $Q\subset\Omega$ вложение $\mathring W^1L_M(\Omega) \hookrightarrow L_P(Q)$ существует и компактно для любой функции Музилака–Орлича $P\prec\prec M_*$ такой, что $P(\cdot,z)$ интегрируема на $Q$.

Определение 2.2. Область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству, если существует конечное открытое покрытие $\{\Theta_i\}_{i=1}^{k}$ множества $\overline{\Omega}$ и соответствующие ненулевые векторы $\mathrm{z}_i\in \mathbb{R}^n$ такие, что $(\overline{\Omega}\bigcap\Theta_i)+t\mathrm{z}_i\subset\Omega$ для любых $t\in(0,1)$ и $i=1,\dots,k$.

Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака–Орлича–Соболева (см. [25; теорема 3]).

Лемма 2.2. Предположим, что область $\Omega$ удовлетворяет сегментному свойству, а $N$-функция $M$ удовлетворяет условиям $(\mathrm{M1})$, $(\mathrm{M2})$, и пусть $\overline{M}$ удовлетворяет условию $(\mathrm{M1})$. Тогда для любого $u\in\mathring W^1L_{M}(\Omega)$ существует последовательность функций $u^j\in C_0^{\infty}(\Omega)$ такая, что

$$ \begin{equation*} u^j\to u\quad\textit{модулярно в }\ \mathring W^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

§ 3. Предположения и формулировка результатов

Предполагается, что функции

$$ \begin{equation*} {\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, \qquad b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, \end{equation*} \notag $$
входящие в уравнение (1.1), измеримы по $\mathrm{x}\,{\in}\,\Omega$ для $\mathbf{s}=(s_0, \mathrm{s})=(s_0,s_1,\dots,s_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}$, непрерывны по $\mathbf s\in\mathbb{R}^{n+1}$ для почти всех $\mathrm{x}\in\Omega$ и выполнено

Условие M. Существуют неотрицательные функции $\Psi,\phi\in L_1(\Omega)$ и положительные константы $\widehat{A}$, $\overline{a}$, $\overline{d}$, $\widehat{d}$ такие, что для п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$ и для любых $s_0\in\mathbb{R}$, $\mathrm{s},\mathrm{t}\in\mathbb{R}^{n}$, $\mathrm{s}\neq \mathrm{t}$, справедливы неравенства

$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\cdot \mathrm{s} \geqslant \overline{a} M(\mathrm{x},\overline{d}|\mathrm{s}|)-\phi(\mathrm{x}), \end{equation} \tag{3.1} $$
$$ \begin{equation} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|) \leqslant \Psi(\mathrm{x})+\widehat{A}P(\mathrm{x}, \widehat{d}s_0) +\widehat{A}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{s}|), \end{equation} \tag{3.2} $$
$$ \begin{equation} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{t})\bigr) \cdot(\mathrm{s}-\mathrm{t})> 0. \end{equation} \tag{3.3} $$
Здесь функции Музилака–Орлича $P(\mathrm{x},z)$, $M(\mathrm{x},z)$ $(P\prec\prec M)$ подчиняются условию $(\mathrm{M1})$, непрерывно дифференцируемая функция $ M(\mathrm{x},z)$ подчиняется условию $(\mathrm{M2})$, дополнительная к $M$ функция $\overline{M}(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию и условию $(\mathrm{M1})$, $\mathrm{s}\cdot\mathrm{t}=\sum_{i=1}^ns_it_i$, $|\mathrm{s}|=(\sum_{i=1}^ns_i^2)^{1/2}$. Напомним, что $L_{\overline{M}}(\Omega)=E_{\overline{M}}(\Omega)$.

Кроме того, пусть существует неотрицательная функция $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$, непрерывная неубывающая функция $\widehat{b}\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ такие, что при п.в. $\mathrm{x}\in\Omega$, для всех $s_0\in \mathbb{R}$, $\mathrm{s}\in\mathbb{R}^n$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation} |b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant \widehat{b}(|s_0|) \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\mathrm{s}|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr), \end{equation} \tag{3.4} $$
$$ \begin{equation} b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})s_0\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.5} $$
Заметим, что из принадлежности $M(\cdot, z)\in L_1(\Omega)$ следует, что $M'(\cdot, z)\in L_1(\Omega)$ при каждом фиксированном $z\in \mathbb{R}$.

Условиям M удовлетворяют, например, функции

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, a_i(\mathrm{x},\mathrm{s})=M'(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)\frac{s_i}{|\mathrm{s}|}+f_i(\mathrm{x}), \quad f_i\in L_{\overline{M}}(\Omega), \qquad i=1,\dots,n, \\ b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b(s_0)\overline{R}^{-1}(M(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)){R}^{-1}(\Phi_0) \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
c непрерывной неубывающей нечетной функцией $b\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, произвольной $N$-функцией $R(z)$ и неотрицательной функцией $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$.

Будем считать, что мера $\mu$ имеет вид

$$ \begin{equation} \mu=f+f_0-\operatorname{div} \mathrm{f}, \qquad f\in L_1(\Omega), \quad f_0\in E_{\overline{M}}(\Omega), \quad \mathrm{f} \in (E_{\overline{M}}(\Omega))^n. \end{equation} \tag{3.6} $$
Такой выбор определен представлением (1.4), а наличие слагаемого $f_0$ связано с неограниченностью области $\Omega$. Однако в рамках настоящей работы не предполагается рассмотрение вопроса о диффузности меры (3.6).

Вводя обозначение $\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{f}$, из уравнения (1.1) получаем

$$ \begin{equation*} -\operatorname{div}\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=f+f_0. \end{equation*} \notag $$
Применяя неравенство (2.1), легко заметить, что функция $\widetilde{\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ также подчиняется условиям вида (3.1)(3.3). Кроме того, используя неравенство (2.1), имеем
$$ \begin{equation*} \int_{\Omega}|f_0|\,d\mathrm{x}\leqslant \int_{\Omega}\overline{M}(\mathrm{x},f_0)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}M(\mathrm{x},1)\,d\mathrm{x}<\infty. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $f_0\in L_1(\Omega)$. Поэтому будем рассматривать уравнение (1.1) c мерой
$$ \begin{equation} \mu=f, \qquad f\in L_1(\Omega). \end{equation} \tag{3.7} $$

Определим функцию $T_k(r)=\max(-k,\min(k,r))$. Через $\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ обозначим множество измеримых функций $u\colon \Omega\to\mathbb R$ таких, что $T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)$ при любом $k>0$. Для $u\in\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ и любого $k>0$ имеем

$$ \begin{equation} \nabla T_k(u)=\chi_{\{|u|<k\}}\nabla u \in \mathrm{L}_{M}(\Omega). \end{equation} \tag{3.8} $$
Введем обозначение $\displaystyle\langle u \rangle=\int_{\Omega}u\,d\mathrm{x}$.

Определение 3.1. Энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ такая, что:

1) $b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega)$;

2) при всех $k>0$, $\xi\in C_0^1(\Omega)$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \langle (b(\mathrm{x},u, \nabla u) +M'(\mathrm{x},u)-f)T_k(u-\xi) \rangle+\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)\rangle\leqslant 0. \end{equation} \tag{3.9} $$

Определение 3.2. Ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ такая, что:

1) $b(\mathrm{x},u,\nabla u)\in L_{1}(\Omega)$;

2) $\displaystyle\lim_{h\to \infty}\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u|< h+1\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}=0$;

3) для любой гладкой функции $S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R})$ с компактным носителем и любой функции $\xi\in C_0^1(\Omega)$ справедливо равенство

$$ \begin{equation} \bigl\langle(b(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)-f)S(u)\xi\rangle +\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot(S'(u)\xi\nabla u+S(u)\nabla\xi)\rangle= 0. \end{equation} \tag{3.10} $$

Основным результатом работы являются следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда существует энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7).

Теорема 3.2. Пусть область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и выполнены условия M, (2.14), тогда энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7).

§ 4. Подготовительные сведения

В неравенстве (3.9) при любом $k>0$ предполагается сходимость интегралов от функций $M'(\mathrm{x},u)T_k(u-\xi)$, $ \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)$. Сходимость остальных интегралов, входящих в неравенство (3.9), следует из принадлежностей (3.7), условия 1) определения 3.1. В равенстве (3.10) предполагается сходимость интеграла от функции $\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla (S(u)\xi)$, сходимость остальных интегралов вытекает из принадлежности (3.7), условия 1) определения 3.2.

В этом параграфе будут установлены некоторые свойства энтропийного решения задачи (1.1), (1.2), (3.7) и приведены вспомогательные леммы.

Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны.

Лемма 4.1. Пусть $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда для любого $k>0$

$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\chi_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) \end{equation} \tag{4.1} $$
и справедливо неравенство
$$ \begin{equation} \int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\bigl(M(\mathrm{x},u)+M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|\bigr)\,d\mathrm{x} +k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_1 k+C_2. \end{equation} \tag{4.2} $$

Доказательство. Неравенство (3.9) при $\xi=0$ принимает вид
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I &=\int_{\Omega}(M'(\mathrm{x},u)+ b(\mathrm{x},u,\nabla u))T_k(u) d\mathrm{x}+\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\int_{\Omega}f T_k(u)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.3} $$

Применяя неравенства (2.4), (3.5), выводим оценку

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag I &\geqslant k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ \Omega\colon |u|<k\}} M(\mathrm{x},u)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u \,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.4} $$

Соединяя (4.4), (4.3), устанавливаем неравенство

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &k\int_{\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}M(\mathrm{x},u) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot \nabla u\, d\mathrm{x} \leqslant kC_3. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.5} $$
Далее, используя неравенство (3.1), получаем оценку (4.2).

Пусть $\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega)$ произвольный, из условия (3.3) следует неравенство

$$ \begin{equation*} (\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})) \cdot(\nabla u-\mathrm{w})> 0. \end{equation*} \notag $$
Отсюда получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})\cdot(\nabla u-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned} \end{equation} \tag{4.6} $$

Далее, применяя (3.2), выводим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}\leqslant C_4. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.7} $$

Соединяя (4.5), (4.6), (4.7), (3.8), получаем оценку

$$ \begin{equation*} \int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega). \end{equation*} \notag $$
Заменяя $\mathrm{w}$ на $-\mathrm{w}$, выводим неравенство
$$ \begin{equation*} -\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, верна оценка
$$ \begin{equation*} \biggl|\int_{\{\Omega\colon |u|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\biggr|\leqslant C_5 \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega), \end{equation*} \notag $$
отсюда устанавливаем (4.1). Лемма доказана.

Справедлива

Лемма 4.2. Пусть $v\colon \Omega\to\mathbb{R}$ – измеримая функция и при всех $k>0$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \int_{\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|v|) \,d\mathrm{x} \leqslant C_1+\frac{C_2}k, \end{equation} \tag{4.8} $$
тогда
$$ \begin{equation} \operatorname{meas}\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}\to 0, \qquad k\to \infty, \end{equation} \tag{4.9} $$
$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},|v|)\in L_1(\Omega). \end{equation} \tag{4.10} $$

Доказательство. Из соотношения (4.8) следует неравенство
$$ \begin{equation*} \operatorname{meas}\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}\inf_{\mathrm{x}\in\Omega} M'(\mathrm{x},k)\leqslant C_1+\frac{C_2}k. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, применяя (2.3), устанавливаем (4.9).

Далее, благодаря оценке (4.8) и принадлежности $M'(\mathrm{x},k)\in L_1(\Omega)$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\Omega}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} &=\int_{\{\Omega\colon |v|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |v|< k\}}M'(\mathrm{x},|v|)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant C_1+\frac{C_2}k+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}=C_6(k). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Замечание 1. Если $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда из лемм 4.1, 4.2 следует

$$ \begin{equation} \operatorname{meas}\{\Omega\colon |u|\geqslant k\}\to 0, \quad k\to \infty; \end{equation} \tag{4.11} $$
$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},|u|)\in L_1(\Omega). \end{equation} \tag{4.12} $$
Кроме того,
$$ \begin{equation*} \forall\, k>0 \quad (M(\mathrm{x},|u|)+M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|))\chi_{\{\Omega\colon |u|< k\}}\in L_1(\Omega). \end{equation*} \notag $$

Лемма 4.3 (см. [24; лемма 2]). Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$, $v$ – такие функции из $L_{M}(\Omega)$, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \|v^j\|_{M}\leqslant C, \qquad j\in \mathbb{N}, \\ v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
тогда $v^j\rightharpoonup v$, $j\to\infty$, в топологии $\sigma(L_{M}, E_{\overline{M}})$ пространства $L_M(\Omega)$.

Лемма 4.4. Пусть $g^j$, $j\in \mathbb{N}$, $g$ – такие функции из пространства $L_1(\Omega)$, что $g^j\geqslant 0$ п.в. в $\Omega$,

$$ \begin{equation*} g^j\to g \quad\textit{сильно в }\ L_1(\Omega), \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
и пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – измеримые функции в $\Omega$ такие, что
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \\ |v^j|\leqslant g^j, \quad j\in \mathbb{N} \quad\textit{п.в. в }\ \Omega. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \int_\Omega v^j\,d\mathrm{x}\to \int_\Omega v\,d\mathrm{x}, \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Лемма 4.5. Пусть $w^j$, $j\in \mathbb{N}$, $w$ – такие функции из пространства $L_1(\Omega)$, что $ w^j\geqslant 0$ п.в. в $\Omega$,

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, w^j\to w \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \\ \int_{\Omega}w^j\, d\mathrm{x}\to\int_{\Omega}w\,d\mathrm{x}, \qquad j\to\infty. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} w^j\to w \quad\textit{сильно в }\ L_1(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Лемма 4.6. Если область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству и $u$ является энтропийным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7), то неравенство (3.9) справедливо для любой функции $\xi \in\mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega)$.

Доказательство. Согласно лемме 2.2 для любой функции $\xi\,{\in}\,\mathring {W}^1L_{ M}(\Omega)\cap L_{\infty}(\Omega)$ существует последовательность $\{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}}\in C_0^{\infty}(\Omega)$ такая, что
$$ \begin{equation} \nabla \xi^j\to \nabla\xi, \quad \xi^j\to \xi \quad\text{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{4.13} $$
Отсюда следует сходимость
$$ \begin{equation} \xi^j\to \xi, \quad\nabla \xi^j\to \nabla\xi \quad\text{п.в. в }\ \Omega \quad\text{при }\ j\to\infty. \end{equation} \tag{4.14} $$
Тогда для любого $k>0$ имеют место сходимости
$$ \begin{equation} T_k(u-\xi^j)\to T_k(u-\xi), \quad\nabla T_k(u-\xi^j)\to \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{4.15} $$

Заметим, можно выбрать последовательность $\{\xi^j\}_{j\in\mathbb{N}}$ так, чтобы она была ограниченной в $L_{\infty}(\Omega)$. Положим $K=\sup_{j\in \mathbb{N}}\|\xi^j\|_{\infty}$, пусть $\widehat{k}=k+K$, тогда

$$ \begin{equation*} |\nabla T_k(u-\xi^j)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u)|+|\nabla \xi^j|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad j\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Поскольку модулярно сходящаяся последовательность $\nabla \xi^j$ ограничена в $\mathrm{L}_{M}(\Omega)$, то отсюда согласно (3.8) следует ограниченность норм $\|\nabla T_k(u-\xi^j)\|_{M}$, $j\in \mathbb{N}$. Применяя (4.15), пользуясь леммой 4.3, при любом $k>0$ имеем
$$ \begin{equation} \nabla T_k(u-\xi^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{4.16} $$

Теперь перейдем к пределу при $j\to\infty$ в неравенстве

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \int_{\Omega} (b(\mathrm{x},u,\nabla u)\,{+}\,M'(\mathrm{x},u)\,{-}\,f)T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x} \,{+}\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi^j)\,d\mathrm{x}\leqslant 0. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.17} $$
Поскольку $b(\mathrm{x},u,\nabla u)$, $M'(\mathrm{x},u)$, $f\in L_{1}(\Omega)$ (см. определение 3.1, 1) и (4.12)), то в первом слагаемом, используя (4.15), согласно теореме Лебега можно перейти к пределу при $j\to \infty$.

Ввиду того, что $\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\chi_{\{\Omega\colon |u|<\widehat{k}\}}\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}$ (см. (4.1)), применяя (4.16), устанавливаем, что второе слагаемое последнего неравенства также имеет предел при $j\to \infty$. Таким образом, после предельного перехода в (4.17) получим неравенство (3.9). Лемма доказана.

Лемма 4.7. Пусть $u$ – энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), (3.7), тогда при всех $k>0$ справедливо соотношение

$$ \begin{equation} \lim_{h\to \infty}\int_{\{ h\leqslant |u|<k+h\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|)\,d\mathrm{x}=0. \end{equation} \tag{4.18} $$

Доказательство. Положив в неравенстве (3.9) $\xi=T_{h} (u)$, будем иметь
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)\bigr)T_{k}(u-T_h(u)) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Далее, используя (3.5), выводим неравенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \int_{\{ h\leqslant|u|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla u \,d\mathrm{x} +k \int_{\{|u|\geqslant k+h\}}\bigl(|b(\mathrm{x},u,\nabla u)|+M'(\mathrm{x},|u|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u|< k+h\}}\bigl(b(\mathrm{x},u,\nabla u) +M'(\mathrm{x},u)\bigr)(u-h\operatorname{sign}u) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Ввиду (3.5) для $h\leqslant |u|$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} (b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))(u-h\operatorname{sign}u)\geqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Соединяя два последних неравенства, применяя (3.1), для любого $k>0$ имеем
$$ \begin{equation*} \overline{a}\int_{\{ h\leqslant |u|<k+h\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u|) \,d\mathrm{x}\leqslant k\int_{\{ h\leqslant|u|\}}(|f|+|\phi|)\,d\mathrm{x}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, ввиду того, что $f, \phi \in L_1(\Omega)$, учитывая (4.11), переходя к пределу при $h\to \infty$, выводим соотношение (4.18). Лемма доказана.

Лемма 4.8. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – такие функции из $\mathcal{L}_{M}(\Omega)$, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty; \\ M(\mathrm{x},v^j)\leqslant g \in L_1(\Omega), \qquad j\in \mathbb{N}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
тогда
$$ \begin{equation*} v^j\to v \quad\textit{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Справедливость леммы 4.8 следует из теоремы Лебега.

Лемма 4.9. Пусть $Q$ – измеримое множество, для каратеодориевой функции ${\mathrm{a}}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon Q\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ выполнено условие (3.3) и $v^j\colon Q\to\mathbb{R}$, $\mathrm{w}^j\colon Q\to\mathbb{R}^n$ – последовательности измеримых функций, причем $v^j\to v$ п.в. в $Q$, $|v|\leqslant k$, $|\mathrm{w}|\leqslant r$ и

$$ \begin{equation*} \int_{Q}(\mathrm{a}(\mathrm{x},v^j,\mathrm{w}^j)-a(\mathrm{x},v^j, \mathrm{w}))\cdot(\mathrm{w}^j-\mathrm{w})\,d\mathrm{x}\to 0, \qquad j\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \mathrm{w}^j\to \mathrm{w} \quad\textit{п.в. в }\ Q, \qquad j\to \infty. \end{equation*} \notag $$

Доказательство леммы основано на [26; лемма 2.4] и аналогично доказательству Н. А. Воробьёва, Ф. Х. Мукминова (см. [27; лемма 6.2]).

Лемма 4.10. Пусть выполнены условия (3.1)(3.3) и для некоторого фиксированного $k>0$ для последовательности $(T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\in \mathbf L_M(\Omega)$, $j\in \mathbb{N}$, справедливы соотношения

$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\textit{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\textit{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty, \end{equation} \tag{4.19} $$
$$ \begin{equation} T_k(u^j)\to T_k (u) \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \end{equation} \tag{4.20} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)), \quad j\in \mathbb{N}, \quad\textit{ограничена в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega); \end{equation} \tag{4.21} $$
$$ \begin{equation} \lim_{s\to \infty}\lim_{j\to \infty}\int_{\Omega}q^j_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x}=0, \end{equation} \tag{4.22} $$
$$ \begin{equation} q^j_s(\mathrm{x})=(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s), \end{equation} \tag{4.23} $$
где $\chi_s$ – характеристическая функция множества $\Omega_s=\{\mathrm{x}\,{\in}\, \Omega\mid|\nabla T_k(u)|\,{\leqslant}\, s\}$. Тогда по некоторой подпоследовательности
$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty, \end{equation} \tag{4.24} $$
$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\textit{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty, \end{equation} \tag{4.25} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\cdot \nabla T_k(u^j) \\ &\qquad\to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u) \quad\textit{в }\ L_1(\Omega),\qquad j\to \infty. \end{split} \end{equation} \tag{4.26} $$

Доказательство. Фиксируем $r>0$ и пусть $s>r$, применяя условие (3.3), выводим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &0\leqslant \int_{\Omega_r}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega_r}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant \int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)) \cdot( \nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Тогда благодаря (4.22) получаем
$$ \begin{equation} \lim_{j\to \infty} \int_{\Omega_r} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u))\bigr) \cdot\nabla(T_k(u^j)-T_k(u))\,d\mathrm{x}=0. \end{equation} \tag{4.27} $$
Отсюда, применяя лемму 4.9 с $Q=\Omega_r$, $v=T_k(u)$, $\mathrm{w}^j=\nabla T_k(u^j)$, $\mathrm{w}=\nabla T_k(u)$, устанавливаем сходимость
$$ \begin{equation*} \nabla T_k(u^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega_r, \qquad j\to \infty, \end{equation*} \notag $$
а затем диагональным процессом получаем сходимость (4.24).

Из сходимости (4.19) согласно теореме Банаха–Штейнгауза следует, что последовательность $\{\nabla T_k(u^j)\}_{j\in \mathbb{N}}$ ограничена, т.е.

$$ \begin{equation} \|\nabla T_k(u^j)\|_M\leqslant C_7, \qquad j \in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{4.28} $$

Из (4.20), (4.24) и непрерывности $\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $\mathbf s=(s_0,\mathrm{s})$ заключаем, что

$$ \begin{equation*} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{п.в. в } \ \Omega, \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда и (4.21) по лемме 4.3 устанавливаем слабые сходимости
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr)\rightharpoonup \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\bigr) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \\ \text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.29} $$

Из (4.20) следует сходимость

$$ \begin{equation*} \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
а из (3.2) имеем оценку
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\overline{M}\bigl(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s)|\bigr) \\ &\qquad\leqslant\Psi(\mathrm{x})+\widehat{A}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)+\widehat{A}M(\mathrm{x}, \widehat{d}s)\in L_1(\Omega),\qquad j\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\qquad \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поскольку функция $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag & \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \to \mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.30} $$

Положим $y^j=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j))\cdot \nabla T_k(u^j)$, $y=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)$, запишем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \int_{\Omega}y^j \, d\mathrm{x} &=\int_{\Omega}q^j_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^j)-\nabla T_k(u)\chi_s\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^j),\nabla T_k(u^j)\bigr) \cdot \nabla T_k(u)\chi_s\,d\mathrm{x} =I^j_{s1}+I^j_{s2}+I^j_{s3}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.31} $$
Применяя (4.19), (4.30), устанавливаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \lim_{j\to\infty}I^j_{s2} &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s\bigr) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0) \cdot\nabla T_k(u) \,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ввиду того, что $\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0)\cdot\nabla T_k(u)\in L_1(\Omega)$ и $\operatorname{meas}\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|> s\}\to 0$, $s\to \infty$, имеем
$$ \begin{equation} \lim_{s,j\to\infty}I_{s2}^j=0. \end{equation} \tag{4.32} $$
Благодаря (4.29) получаем
$$ \begin{equation} \lim_{s,j\to\infty}I_{s3}^j=\int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}. \end{equation} \tag{4.33} $$

Соединяя (4.22), (4.31)(4.33), устанавливаем сходимость

$$ \begin{equation} \int_{\Omega}y^j\,d\mathrm{x}\to \int_{\Omega}y \,d\mathrm{x}, \qquad j\to\infty, \end{equation} \tag{4.34} $$
пользуясь (4.20), (4.24), выводим сходимость
$$ \begin{equation} y^j\to y \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{4.35} $$
Согласно неравенству (3.1) функции $w^j=y^j+\phi$, $w=y+\phi$ неотрицательны, поэтому, применяя лемму 4.5, устанавливаем сходимость (4.26). Далее, учитывая (3.1), (4.26), применяя лемму 4.4 c $v^j=M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla (T_k(u^j)-T_k(u))|/2)$, $g^j=(y^j+y+2\phi)(\overline{a}2)^{-1}$, получаем сходимость (4.25). Лемма доказана.

Лемма 4.11. Пусть функции $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v\in L_{\infty}(\Omega)$ такие, что $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ ограничена в $L_{\infty}(\Omega)$ и

$$ \begin{equation*} v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
тогда $v^j\rightharpoonup v$, $j\to\infty$, в топологии $\sigma(L_{\infty}, L_{1})$ пространства $L_{\infty}(\Omega)$.

Если, кроме того, $g$ из $L_{M}(\Omega)(E_{M}(\Omega))$, то

$$ \begin{equation*} v^jg\to v g \quad\textit{модулярно (сильно) в }\ L_{M}(\Omega)(E_{M}(\Omega)), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Доказательство леммы 4.11 следует из теоремы Лебега.

Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [28; гл. III, § 6, теорема 15]).

Лемма 4.12. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v$ – измеримые функции в ограниченной области $Q$ такие, что

$$ \begin{equation*} v^j\to v \quad\textit{п.в. в }\ Q, \qquad j\to\infty, \end{equation*} \notag $$
и интегралы
$$ \begin{equation*} \int_Q|v^j(\mathrm{x})|\,d\mathrm{x}, \qquad j\in\mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
равномерно абсолютно непрерывны, тогда
$$ \begin{equation*} v^j\to v \quad\textit{сильно в }\ L_1(Q), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$

Лемма 4.13. Пусть $v^j$, $j\in \mathbb{N}$, $v\in L_M(\Omega)$ и

$$ \begin{equation*} v^j\to v \quad\textit{модулярно в }\ L_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Тогда $v^j\rightharpoonup v$ в топологии $\sigma(L_{M}, L_{\overline{M}})$ пространства $L_M(\Omega)$.

См. [25; лемма 2].

§ 5. Доказательства теорем 3.1, 3.2

Доказательство теоремы 3.1. Шаг 1. Положим
$$ \begin{equation*} f^m(\mathrm{x})=T_m f(\mathrm{x})\chi_{\Omega(m)}, \qquad \Omega(m)=\{\mathrm{x}\in \Omega\colon |\mathrm{x}|<m\}, \quad m\in\mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Здесь и ниже $\chi_Q$ – характеристическая функция множества $Q$. Несложно показать, что
$$ \begin{equation} f^m\to f \quad\text{в }\ L_1(\Omega), \qquad m\to\infty, \end{equation} \tag{5.1} $$
и при этом
$$ \begin{equation} |f^m(\mathrm{x})|\leqslant |f(\mathrm{x})|, \quad |f^m(\mathrm{x})|\leqslant m\chi_{ \Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N}. \end{equation} \tag{5.2} $$
Рассмотрим уравнения
$$ \begin{equation} -\operatorname{div}\mathrm{a}^m(\mathrm{x},u,\nabla u) +a_0^m(\mathrm{x},u,\nabla u)=f^m(\mathrm{x}), \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{5.3} $$
c функциями
$$ \begin{equation*} \mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(s_0),\mathrm{s}), \qquad a_0^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})+M'(\mathrm{x},s_0). \end{equation*} \notag $$
Здесь
$$ \begin{equation*} \mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}) =(a^m_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}),\dots,a^m_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})), \qquad b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=T_mb(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\chi_{\Omega(m)}. \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что
$$ \begin{equation} |b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant |b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|, \quad |b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant m\chi_{\Omega(m)}, \qquad \mathrm{x}\in\Omega, \quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}. \end{equation} \tag{5.4} $$
Кроме того, применяя (3.5), устанавливаем неравенство
$$ \begin{equation} b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})s_0\geqslant 0, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}. \end{equation} \tag{5.5} $$

Определим оператор $\mathbf A^m\colon \mathring{W}^1L_{M}(\Omega) \to{W}^{-1}L_{\overline{M}}(\Omega)$ c областью определения

$$ \begin{equation*} D(\mathbf A^m)=\{u\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\mid a^m_i(\mathrm{x},u, \nabla u)\in L_{\overline{M}}(\Omega),\,i=0,\dots,n\} \end{equation*} \notag $$
для любого $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ равенством
$$ \begin{equation} \langle\mathbf A^m(u),v\rangle=\bigl\langle \mathrm{a}^m(\mathrm{x},u, \nabla u)\cdot\nabla v\rangle+\langle a^m_0(\mathrm{x},u,\nabla u)v\bigr\rangle. \end{equation} \tag{5.6} $$
Обобщенным решением задачи (5.3), (1.2) является функция $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$ \begin{equation} \langle\mathbf A^m(u),v\rangle= \langle f^m v\rangle \end{equation} \tag{5.7} $$
для любой функции $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$.

Справедлива

Теорема 5.1. Если выполнены условия M, (2.14), то существует обобщенное решение задачи (5.3), (1.2).

Доказательство теоремы 5.1 сводится к проверке условий [29; теорема].

По теореме 5.1 для каждого $m\,{\in}\,\mathbb{N}$ существует обобщенное решение $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ задачи (5.3), (1.2). Таким образом, для любой функции $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ выполняется интегральное равенство

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\bigl\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))v\bigr\rangle \\ &\qquad\qquad +\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla v\rangle= 0, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.8} $$

Шаг 2. В этом шаге установим априорные оценки для последовательности $\{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}$.

Положив в (5.8) $v=T_{k,h} (u^m)=T_{k}(u^m-T_h(u^m))$, $h>k>0$, будем иметь

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\{ h\leqslant|u^m|\}}\bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f^m|\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.9} $$
Благодаря (5.5) на множестве $\{\Omega \colon h\leqslant |u^m|\}$ справедливо неравенство
$$ \begin{equation*} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x}, u^m)\bigr)T_{k,h} (u^m)\geqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Учитывая это, из (5.9), применяя (5.2), выводим неравенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)|u^m-h\operatorname{sign} u^m |\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует неравенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi\bigr)\,d\mathrm{x} \notag \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{ |u^m|\geqslant h\}}(k|f|+\phi)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.10} $$

Теперь в качестве пробной функции в (5.8) возьмем $T_k (u^m)$, выполняя аналогичные преобразования, учитывая (2.4), устанавливаем неравенство

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\{ |u^m|<k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m), \nabla T_k(u^m))\cdot\nabla u^m \,d\mathrm{x}+ \int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x}\leqslant C_3k, \qquad m\geqslant k. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.11} $$
Отсюда, применяя (3.1), выводим
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\overline{a}\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x}+ k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{ |u^m|< k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x}\leqslant C_3k+C_4, \qquad m\geqslant k. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.12} $$

Из оценки (5.12) имеем

$$ \begin{equation} \int_{\Omega}M(\mathrm{x},T_k(u^m))\,d\mathrm{x} =\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x} \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x} +k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_8(k), \qquad m\geqslant k, \end{equation} \tag{5.13} $$
$$ \begin{equation} \int_{\Omega}|M'(\mathrm{x},u^m)|\,d\mathrm{x} \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad \leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M'(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x} +\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_9(k), \qquad m\geqslant k. \end{equation} \tag{5.14} $$

Кроме того, из (5.12) следует оценка

$$ \begin{equation} \int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) \,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_{10}(k), \qquad m\geqslant k. \end{equation} \tag{5.15} $$

Соединяя (5.4), (3.4), (5.15), для $m\geqslant k$ выводим неравенство

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag & \int_{\{|u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \widehat{b}(k)\int_{\{|u^m|<k\}} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \leqslant C_{11}(k). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.16} $$
Из (5.16), (5.12) следует оценка
$$ \begin{equation} \|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\|_{1} \leqslant C_{12}(k), \qquad m\geqslant k. \end{equation} \tag{5.17} $$

Кроме того, из оценок (5.13), (5.15) выводим

$$ \begin{equation} \|T_k(u^m)\|_{M}+\|\nabla T_k(u^m)\|_{M} \leqslant C_{13}(k), \qquad m\geqslant k. \end{equation} \tag{5.18} $$

Шаг 3. Из оценки (5.12) по лемме 4.2 имеем

$$ \begin{equation} \operatorname{meas}\{ |u^m|\geqslant\rho\}\to 0 \quad\text{равномерно по }\ m\in\mathbb{N}, \qquad \rho\to \infty. \end{equation} \tag{5.19} $$

Теперь установим сходимость по подпоследовательности:

$$ \begin{equation} u^m\to u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.20} $$
Из оценки (5.18) следует ограниченность множества $\{T_{\rho}(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в пространстве $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$. Благодаря условию (2.14) по лемме 2.1 пространство $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ компактно вложено в пространство $L_P(\Omega(R))$ для любой функции Музилака–Орлича $P\in L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega})$, $P\prec\prec M_*$. Здесь $L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega})$ – пространство, состоящее из функций $v\colon \Omega\to\mathbb{R}$ таких, что $v\in L_1(Q)$ для любого ограниченного множества $Q\subset \Omega$.

Отсюда для любых фиксированных $\rho, R>0$ следует сходимость $T_\rho (u^m) \to v_{\rho}$ в $L_{P}(\Omega(R))$, а также сходимость по подпоследовательности $T_\rho(u^m)\to v_{\rho}$ почти всюду в $\Omega(R)$. Далее, сходимость (5.20) устанавливается также, как в работе [19; 5.3]. Из сходимости (5.20) следует, что для любого $k>0$

$$ \begin{equation} T_k(u^m)\to T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.21} $$

Из оценок (5.12)(5.14) благодаря сходимостям (5.20), (5.21) устанавливаем

$$ \begin{equation} \operatorname{meas}\{ |u|\geqslant\rho\}\to 0, \qquad \rho\to \infty, \end{equation} \tag{5.22} $$
$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},|u|)\in L_1(\Omega), \end{equation} \tag{5.23} $$
$$ \begin{equation} \forall\, k>0 \quad M(\mathrm{x},T_k(u))\in L_1(\Omega). \end{equation} \tag{5.24} $$

Докажем, что

$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.25} $$
Учитывая сходимость (5.20), имеем
$$ \begin{equation} M'(\mathrm{x},u^m)\to M'(\mathrm{x},u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.26} $$
Из (5.10) при $k=1$ для любого $h>0$ получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{\Omega \colon h\leqslant |u^m|<1+h\}}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h+1\}}\bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}}(|f|+\phi)\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ввиду того, что $f,\phi\in L_1(\Omega)$, и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (5.19), для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать достаточно большое $h(\varepsilon)>1$ такое, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{\{\Omega \colon h-1\leqslant |u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla u^m+\phi(\mathrm{x})\bigr) \,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\{\Omega \colon |u^m|\geqslant h\}} \bigl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+M'(\mathrm{x},|u^m|)\bigr)\,d\mathrm{x} <\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.27} $$

Пусть $Q$ – произвольное ограниченное подмножество $\Omega$, для любого измеримого множества $E\subset Q$ имеем

$$ \begin{equation} \int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)d\mathrm{x} \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}. \end{equation} \tag{5.28} $$
Из принадлежности $M'(\mathrm{x}, z)\in L_1(\Omega)$ при каждом фиксированном $z\in \mathbb{R}$ имеем
$$ \begin{equation} \int_{\{E\colon |u^m|<h\}}M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{E}M'(\mathrm{x},h)\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2} \end{equation} \tag{5.29} $$
для любого $E$ такого, что $\operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon)$.

Объединяя (5.27)(5.29), устанавливаем

$$ \begin{equation*} \int_E M'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что интегралы $\displaystyle\int_QM'(\mathrm{x},|u^m|)\,d\mathrm{x}$, $m\in \mathbb{N}$, равномерно абсолютно непрерывны, по лемме 4.12 имеет место сходимость
$$ \begin{equation*} M'(\mathrm{x},|u^m|)\to M'(\mathrm{x},|u|) \quad\text{в }\ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Ввиду произвольности $Q\subset\Omega$ сходимость (5.25) доказана.

Шаг 4. Покажем, что $T_k (u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ для любого $k>0$. Ограниченность множества $\{T_k(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в пространстве $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ позволяет выделить слабо сходящуюся по топологии $\sigma(\mathbf L_M,\mathbf E_{\overline{M}})$ в $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$ подпоследовательность $T_k (u^m)\rightharpoonup v_k$, $m\to \infty$, причем $v_k\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$. Непрерывность естественного отображения $\mathring{W}^1L_{M}(\Omega)\to \mathbf L_{M}(\Omega)$ влечет слабую сходимость

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma({\mathrm{L}}_M,{\mathrm{E}}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty, \\ T_k (u^m)\rightharpoonup v_{k} \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Пользуясь сходимостью (5.21), применяя лемму 4.3, имеем слабую сходимость

$$ \begin{equation*} T_k (u^m)\rightharpoonup T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(L_M,E_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ L_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда получаем равенство $v_k=T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, следовательно,
$$ \begin{equation} \nabla T_k (u^m)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.30} $$

Шаг 5. Докажем сходимости

$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to \infty, \end{equation} \tag{5.31} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) \\ &\qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)\quad\text{в }\ L_{1}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{split} \end{equation} \tag{5.32} $$

Пусть $\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega)$ произвольный, из условия (3.3) следует неравенство

$$ \begin{equation} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) -\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\bigr) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\geqslant 0. \end{equation} \tag{5.33} $$
Отсюда получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x} \leqslant \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\nabla T_k(u^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w}) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\mathrm{w})\,d\mathrm{x} . \end{aligned} \end{equation} \tag{5.34} $$

Далее, применяя (3.2), выводим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \int_{\Omega} \overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})|)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \|\Psi\|_1+\widehat{A}\int_{\Omega}P(\mathrm{x}, \widehat{d}k)\,d\mathrm{x} +\widehat{A}\int_{\Omega}M(\mathrm{x}, \widehat{d}|\mathrm{w}|))\,d\mathrm{x}= C_{14}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда, применяя (2.10), устанавливаем оценку
$$ \begin{equation} \|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\mathrm{w})\|_{\overline{M}}\leqslant C_{15}. \end{equation} \tag{5.35} $$
Соединяя (5.34), (5.11), (5.18), (5.35), получаем оценку
$$ \begin{equation*} \int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot\mathrm{w}\,d\mathrm{x}\leqslant C_{16} \quad \forall\,\mathrm{w}\in \mathrm{E}_M(\Omega). \end{equation*} \notag $$
Применяя принцип равномерной ограниченности, при любом $k>0$ имеем оценку
$$ \begin{equation} \|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\|_{_{\overline{M}}} \leqslant C_{17}(k), \qquad m\geqslant k. \end{equation} \tag{5.36} $$
Из оценки (5.36) следует сходимость по подпоследовательности
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \widetilde{\mathrm{a}}_k \\ \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}},\mathrm{E}_{M}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{5.37} $$

Для положительных вещественных чисел $m$, $j$, $\delta$, $\varepsilon$, $s$ обозначим через $\omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)$ любую величину такую, что

$$ \begin{equation*} \lim_{s\to +\infty}\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{\delta\to 0}\lim_{j\to+\infty} \lim_{m\to +\infty} \omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)=0. \end{equation*} \notag $$

Пусть $h,k$, $h-1>k>0$.

Согласно лемме 2.2 существует последовательность $v^j\in C_0^{\infty}(\Omega)$:

$$ \begin{equation*} v^j\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \notag T_k(v^j)\to T_k(u) \quad\text{модулярно в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega), \qquad j\to \infty, \\ T_k(v^j)\to T_k(u), \quad \nabla T_k(v^j)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{5.38} $$
Кроме того, согласно лемме 4.13 имеем
$$ \begin{equation} \nabla T_k(v^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty. \end{equation} \tag{5.39} $$

Полагаем

$$ \begin{equation*} z^{mj}=T_k(u^m)-T_k(v^j), \quad z^{j}=T_k(u)-T_k(v^j), \qquad m,j\in \mathbb{N}, \end{equation*} \notag $$
$\varphi_k(\rho)=\rho\exp(\gamma^2\rho^2)$, где $\gamma={\widehat{b}(k)}/{\overline{a}}$. Очевидно, что
$$ \begin{equation*} \psi_k(\rho)=\varphi'_k(\rho)-\gamma|\varphi_k(\rho)|\geqslant \frac78, \qquad \rho\in\mathbb{R}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следуют неравенства
$$ \begin{equation} \frac78\leqslant \psi_k(z^{mj})\leqslant \max_{[-2k,2k]}\psi_k(\rho)=C_{18}(k), \quad m,j\in\mathbb{N}. \end{equation} \tag{5.40} $$

Ввиду (5.21), (5.38) имеем

$$ \begin{equation} \varphi_k(z^{mj})\to \varphi_k(z^{j}), \quad\varphi'_k(z^{mj})\to \varphi'_k(z^{j}), \quad \psi_k(z^{mj})\to\psi_k(z^{j}) \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty, \end{equation} \tag{5.41} $$
$$ \begin{equation} \varphi_k(z^{j})\to \varphi_k(0)=0, \quad \varphi'_k(z^{j})\to \varphi'_k(0)=1, \quad \psi_k(z^{j})\to\psi_k(0)=1 \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty, \end{equation} \tag{5.42} $$
а также
$$ \begin{equation} |\varphi_k(z^{mj})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{mj})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad m,j\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{5.43} $$
$$ \begin{equation} |\varphi_k(z^{j})|\leqslant \varphi_k(2k), \quad 1\leqslant\varphi_k'(z^{j})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad j\in \mathbb{N}. \end{equation} \tag{5.44} $$

Применяя (5.41), (5.43), (5.42), (5.44), по лемме 4.11 устанавливаем сходимости:

$$ \begin{equation} \varphi_k(z^{mj})\rightharpoonup \varphi_k(z^j) \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad m\,{\to}\,\infty, \end{equation} \tag{5.45} $$
$$ \begin{equation} \varphi_k(z^{j})\rightharpoonup 0 \quad\text{в топологии }\sigma(L_{\infty}, L_{1}) \text{ пространства }L_{\infty}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation} \tag{5.46} $$

Положим $\zeta(r)=\min(1,\max(0,r))$, $\eta_{h}(r)=\zeta(h-r+1)$, $\eta_{s,\varepsilon}(r)=\zeta((s-r)/\varepsilon+1)$, $\nu_{k,\delta}(r)=\zeta((r-k)/\delta+1)$, $r\in \mathbb{R}$. Очевидно, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \eta_{s,\varepsilon}(|r|)\to\chi(\{|r|\leqslant s\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \varepsilon\to 0, \\ \nu_{k,\delta}(|r|)\to\chi(\{|r|\geqslant k\}) \quad\text{в }\ \mathbb{R}, \qquad \delta\to 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Для краткости записи будем использовать обозначения $\eta_{h-1}^m(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u^m|)$, $\widetilde{\eta}_{h-1}(\mathrm{x})=\eta_{h-1}(|u|)$, $\eta_{s,\varepsilon}^j(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(v^j)|)$, $\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}(\mathrm{x})=\eta_{s,\varepsilon}(|\nabla T_k(u)|)$, $\nu_{k,\delta}^m(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u^m|)$, $\widetilde{\nu}_{k,\delta}(\mathrm{x})=\nu_{k,\delta}(|u|)$.

Из (5.20), (5.38) следуют сходимости:

$$ \begin{equation} \eta_{h-1}^m\to\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty, \end{equation} \tag{5.47} $$
$$ \begin{equation} \eta_{s,\varepsilon}^j\to\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad j\to \infty, \end{equation} \tag{5.48} $$
$$ \begin{equation} \nu_{k,\delta}^m\to\widetilde{\nu}_{k,\delta} \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.49} $$

Принимая в качестве тестовой функции в (5.8) $\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m$, получим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla ( \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},u^m)\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad -\int_{\Omega}f^m\varphi_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}=I_1+I_2+I_3+I_4=0, \qquad m\geqslant h. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.50} $$

Оценки интегралов $I_2$–$I_4$. Ввиду неравенства $|M'(\mathrm{x},u^m)|\eta_{h-1}^m\leqslant M'(\mathrm{x},h)\in L_1(\Omega)$, сходимостей (5.45), (5.46) имеем

$$ \begin{equation} |I_3|\leqslant\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}M'(\mathrm{x},h)|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x} =\omega_h(m,j). \end{equation} \tag{5.51} $$
Аналогично, благодаря (5.2) ввиду $f\in L_1(\Omega)$ получаем
$$ \begin{equation} |I_4|\leqslant\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m)+\int_{\Omega}|f|\,|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}=\omega(m,j). \end{equation} \tag{5.52} $$

Очевидно, что $z^{mj}u^m\geqslant0 $ при $|u^m|\geqslant k$, поэтому ввиду (5.5) имеем

$$ \begin{equation*} b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\varphi_k(z^{mj})\geqslant 0 \quad\text{при }\ |u^m|\geqslant k. \end{equation*} \notag $$
Учитывая это и применяя (5.4), (3.4), оценим интегралы
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\int_{\{\Omega\colon |u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\leqslant\widehat{b}(k)\int_{\Omega} \bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla T_k (u^m)|)+\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Используя (3.1), выводим
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, -I_2 &\leqslant\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=I_{21}+I_{22}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.53} $$

Ввиду (5.45), (5.46) имеем

$$ \begin{equation} I_{21}=\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega} \bigl(\overline{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x})\bigr)|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} =\omega(m,j). \end{equation} \tag{5.54} $$

Положим $I_1=I_{11}-I_{12}$, где

$$ \begin{equation*} I_{12}=\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant |u^m|<h\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla u^m |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}. \end{equation*} \notag $$

Теперь, используя оценки интегралов (5.51)(5.54), из (5.50) выводим неравенства

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_5 &=I_{11}-I_{22}=(I_{1}+I_{2})+I_{12}-I_{22}-I_{2}=-(I_{3}+I_{4})+I_{12}+\omega(m,j) \\ &=\omega_h(m,j)+I_{12}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.55} $$
Используя (5.43), оценим интегралы
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |I_{12}| &\leqslant \varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot \nabla u^m+\phi\bigr)\, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\varphi_k(2k)\int_{\{\Omega\colon h-1\leqslant|u^m|<h\}}\phi\,d\mathrm{x}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Благодаря (5.27) имеем
$$ \begin{equation} I_{12}\leqslant \omega(h), \qquad m\geqslant h. \end{equation} \tag{5.56} $$

Соединяя (5.55), (5.56), устанавливаем неравенства

$$ \begin{equation} I_5 \leqslant \omega(h)+\omega_h(m,j), \qquad m\geqslant h. \end{equation} \tag{5.57} $$

Представление $I_5$. Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(u^m) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad-\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{s,\varepsilon}^j\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Очевидно равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_5 &=\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr)\cdot \bigl(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\bigr) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)\bigr) \cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\eta^m_{h-1} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\bigr) \notag \\ &\qquad\qquad \times \nabla T_k(v^j)\nu_{k,\delta}^m\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad+\int_{\Omega}\mathrm{a}\bigl(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)\bigr)\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} \\ &=I_{51}+I_{52}+I_{53}+I_{54}, \qquad m\geqslant h. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.58} $$

Оценки интегралов $I_{52}$–$I_{54}$.

Применяя (5.41), (5.43), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем

$$ \begin{equation*} \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{mj})|\to\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j|\varphi_k(z^{j})| \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$ \begin{equation*} I_{52}=-\frac{\widehat{b}(k)}{\overline{a}} \int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j |\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}+\omega(m). \end{equation*} \notag $$
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=\widetilde{\mathrm{a}}_k\in\mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$ \begin{equation*} \widetilde{\mathrm{a}}_k|\varphi_k(z^{j})|\eta_{s,\varepsilon}^j\to \widetilde{\mathrm{a}}_k |\varphi_k(0)|\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}=0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
$$ \begin{equation} I_{52}=\omega(m,j). \end{equation} \tag{5.59} $$

Применяя (5.41), (5.43), (5.49), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\varphi'_k(z^{mj})\nu_{k,\delta}^m \to \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$ \begin{equation*} I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k -\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(v^j)\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \varphi'_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m). \end{equation*} \notag $$
Далее, применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\nu}_{k,\delta}\eta_{s,\varepsilon}^j \to (\widetilde{\mathrm{a}}_k-\widetilde{\eta}_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h) \widetilde{\nu}_{k,\delta}\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
$$ \begin{equation*} I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\widetilde{\nu}_{k,\delta}\,d\mathrm{x}+\omega(m,j). \end{equation*} \notag $$
Учитывая $(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\in L_1(\Omega)$, выполняем предельный переход при $\delta \to 0$, выводим
$$ \begin{equation} I_{53}=\int_{\Omega}(\widetilde{\mathrm{a}}_k-\eta_{h-1}\widetilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}\chi(\{|u|\geqslant k\})\,d\mathrm{x}+\omega(m,j,\delta) =\omega(m,j,\delta). \end{equation} \tag{5.60} $$

Далее, применяя (5.41), (5.43), (5.47), лемму 4.11 c $g=\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\varphi'_k(z^{mj})\eta_{h-1}^m \to \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1} \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_M(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.37) устанавливаем
$$ \begin{equation*} I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(v^j)(\eta_{s,\varepsilon}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\widetilde{\eta}_{h-1}\,d\mathrm{x}+\omega(m). \end{equation*} \notag $$
Применяя (5.42), (5.44), (5.48), лемму 4.11 c $g=\widetilde{\mathrm{a}}_h\in \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$, получаем
$$ \begin{equation*} \widetilde{\mathrm{a}}_h\varphi'_k(z^{j})(\eta_{s,\varepsilon}^j-1)\widetilde{\eta}_{h-1}\to \widetilde{\mathrm{a}}_h (\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\widetilde{\eta}_{h-1} \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.39) имеем
$$ \begin{equation*} I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-1)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j). \end{equation*} \notag $$
Ввиду того, что $\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u) \in L_1(\Omega)$, имеем
$$ \begin{equation} I_{54}=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\chi_s-1)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon)=\omega(m,j,\varepsilon,s). \end{equation} \tag{5.61} $$

Из (5.57)(5.61), поскольку $I_{51}$ не зависит от $h$, следует, что

$$ \begin{equation} I_{51}\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta,\varepsilon,s)+\omega(h). \end{equation} \tag{5.62} $$

Оценим интеграл

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_6 &=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{mj})\,d\mathrm{x} \notag \\ &=I_{51}-I_{61}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.63} $$

Из (5.21) следует сходимость

$$ \begin{equation*} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty, \end{equation*} \notag $$
а из (3.2) имеем оценки
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\overline{M}(\mathrm{x},|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)|) \\ &\qquad \leqslant\widehat{A}M(\mathrm{x},\widehat{d}(s+1))+\widehat{A}P(\mathrm{x},\widehat{d} k)+\Psi(\mathrm{x}) \in L_1(\Omega), \qquad \varepsilon<1, \quad m,j\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Отсюда по лемме 4.8 получаем сходимость

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поскольку функция $\overline{M}$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $\mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega)=\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega)$ и
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \\ &\quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.64} $$
Аналогично устанавливаются сходимости
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty, \end{equation} \tag{5.65} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\,{\to}\,\infty, \end{equation} \tag{5.66} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0, \end{equation} \tag{5.67} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty. \end{equation} \tag{5.68} $$

Из (5.64), (5.66)(5.68), применяя (5.40)(5.42), (5.48), (5.49), получаем

$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{mj}) \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty, \end{equation} \tag{5.69} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\psi_k(z^{j}) \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad \to\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad j\to\infty, \end{equation} \tag{5.70} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon})(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad \varepsilon\to 0, \end{equation} \tag{5.71} $$
$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)(1-\chi_s)\to 0 \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad s\to\infty. \end{equation} \tag{5.72} $$

Применяя (5.69), (5.30), выводим

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, I_{61}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \psi_k(z^{j})\,d\mathrm{x}+\omega(m), \\ j\in \mathbb{N}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Из (5.38), (5.48) благодаря лемме 4.8 устанавливаем

$$ \begin{equation*} \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\to \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{модулярно в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad j\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда согласно лемме 4.13 имеем
$$ \begin{equation} \nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j\rightharpoonup \nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon} \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{\overline{M}}), \qquad j\to \infty. \end{equation} \tag{5.73} $$

Применяя (5.70), (5.73), (5.71), выводим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_{61}&=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \cdot\nabla T_k(u)(1-\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}) \, d\mathrm{x}+\omega(m,j) \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(1-\chi_s)\, d\mathrm{x}+\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Наконец, благодаря (5.72) получаем
$$ \begin{equation} I_{61}=\omega(m,j,\varepsilon,s). \end{equation} \tag{5.74} $$

Соединяя (5.63), (5.74), (5.62) и применяя (5.40), выводим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_7&=\int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\bigr) \\ &\qquad\times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\, d\mathrm{x} \leqslant \frac87 I_6 \\ &\leqslant \omega_h(m,j)+\omega(m,j,\delta, \varepsilon,s)+\omega(h). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.75} $$

Используя обозначение (4.23), имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, 0 &\leqslant \int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x} \\ &=I_7+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad -\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(u)\chi_s) \, d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j)\,d\mathrm{x} \\ &=I_7+I_{71}+I_{72}+I_{73}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.76} $$

Оценки интегралов $I_{71}$–$I_{73}$. Ввиду сходимостей (5.37), (5.73) имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_{71} &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot(\nabla T_k(v^j)\eta_{s,\varepsilon}^j-\nabla T_k(u)\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m) \\ &=\int_{\Omega}\widetilde{\mathrm{a}}_k\cdot\nabla T_k(u)(\widetilde{\eta}_{s,\varepsilon}-\chi_s)\,d\mathrm{x}+\omega(m,j)=\omega(m,j,\varepsilon). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.77} $$

Применяя (5.30), (5.65), получаем

$$ \begin{equation*} I_{72}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(\chi_s-1) \,d\mathrm{x}+\omega(m). \end{equation*} \notag $$
Отсюда ввиду сходимости (5.72) выводим
$$ \begin{equation} I_{72}=\omega(m,s). \end{equation} \tag{5.78} $$

Интеграл $I_{73}$ оценивается так же, как интеграл $I_{61}$,

$$ \begin{equation} I_{73}=\omega(m,j,\varepsilon,s). \end{equation} \tag{5.79} $$

Соединяя (5.75)(5.79), получаем

$$ \begin{equation*} \int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} \leqslant \omega_h(m,j) +\omega(m,j,\delta,\varepsilon, s)+\omega(h), \qquad m\geqslant h. \end{equation*} \notag $$
Ввиду того, что левая часть последнего неравенства не зависит от $j,\delta,\varepsilon,h$, переходя последовательно к пределам по $m\to\infty$, $j\to\infty$, $\delta\to 0$, $\varepsilon\to 0$, $s\to\infty$, устанавливаем соотношение
$$ \begin{equation*} \lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}\leqslant \omega(h). \end{equation*} \notag $$
Выполняя предельный переход при $h\to\infty$, выводим соотношение
$$ \begin{equation*} \lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}=0. \end{equation*} \notag $$
По лемме 4.10 имеем сходимости (5.31), (5.32) и сходимость
$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.80} $$

Далее, так же, как в [19; 5.5], устанавливается сходимость по подпоследовательности

$$ \begin{equation} \nabla u^m\to \nabla u \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.81} $$

Шаг 6. Используя оценку (5.36) и сходимости (5.21), (5.80), по лемме 4.3 устанавливаем слабую сходимость

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \notag \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \quad\text{в топологии } \ \sigma(\mathrm{L}_{\overline{M}}, \mathrm{E}_{M}) \\ \quad\text{пространства }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{5.82} $$

Из непрерывности $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $(s_0,\mathrm{s}) $ и сходимостей (5.20), (5.81) следует, что

$$ \begin{equation} b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u, \nabla u) \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.83} $$
Из оценки (5.17) ввиду (5.83) согласно лемме Фату заключаем, что
$$ \begin{equation} b(\mathrm{x},u, \nabla u)\in L_1(\Omega). \end{equation} \tag{5.84} $$
Таким образом, условие 1) определения 3.1 выполнено.

Установим сходимость

$$ \begin{equation} b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в }\ L_{1,\mathrm{loc}}(\overline{\Omega}), \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.85} $$

Пусть $Q$ – произвольное ограниченное подмножество $\Omega$. Для любого измеримого множества $E\subset Q$ имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} +\int_{\{\Omega\colon |u^m|\geqslant h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.86} $$
Применяя (5.4), (3.4), (3.1), выводим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \leqslant \widehat{b}(h)\int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}\bigl(M(\mathrm{x},\overline{d}|\nabla u^m|) +\Phi_0(\mathrm{x})\bigr)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \leqslant\frac{ \widehat{b}(h)}{\overline{a}}\int_{E} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \cdot \nabla T_h(u^m)+\phi\bigr)\,d\mathrm{x} +\widehat{b}(h)\int_{E}\Phi_0(\mathrm{x})\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Ввиду того, что $\Phi_0, \phi\in L_1(E)$, сходимости (5.32) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\alpha(\varepsilon)$, что для любого $E$ такого, что $\operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon)$, выполнены неравенства
$$ \begin{equation} \int_{ \{E\colon |u^m|<h\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}<\frac{\varepsilon}{2}, \qquad m\in\mathbb{N}. \end{equation} \tag{5.87} $$

Объединяя (5.27), (5.86), (5.87), устанавливаем

$$ \begin{equation*} \int_E |b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x}< \varepsilon \quad \forall\,E \quad\text{такого, что }\ \operatorname{meas}E<\alpha(\varepsilon), \qquad m\in\mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что последовательность $\{b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы по множеству $Q$. По лемме 4.12 устанавливаем сходимость
$$ \begin{equation*} b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u) \quad\text{в } \ L_{1}(Q), \qquad m\to \infty, \end{equation*} \notag $$
для любого ограниченного множества $Q\subset \Omega$. Сходимость (5.85) доказана.

Шаг 7. Чтобы доказать неравенство (3.9), в тождестве (5.8) возьмем пробную функцию $v=T_k(u^m-\xi)$, $\xi\in C_0^1(\Omega)$, получим соотношение

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad\qquad +\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}=I^m+J^m. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.88} $$

Положим $\widehat{k}=k+\|\xi\|_{\infty}$, если $|u^m|\geqslant \widehat{k}$, то $|u^m-\xi|\geqslant |u^m|-\|\xi\|_{\infty}\geqslant k$, поэтому $\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}\subseteq \{\Omega\colon |u^m|< \widehat{k}\}$, следовательно

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}} \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi) \cdot\nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x}\geqslant \\ &\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u^m-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u^m,\nabla \xi)\bigr) \cdot \nabla (u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla \xi) \cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =I^{m\varepsilon}_1+I^m_2, \qquad m\geqslant \widehat{k}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.89} $$

Далее, из сходимостей (5.20), (5.81), условия (3.3) ввиду непрерывности функции $\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $(s_0,\mathrm{s})$ по лемме Фату устанавливаем неравенство

$$ \begin{equation*} \lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1\geqslant \int_{\Omega}\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|) \bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)-\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla (u-\xi)\,d\mathrm{x} . \end{equation*} \notag $$
Поскольку $\eta_{k-\varepsilon,\varepsilon}(|u-\xi|)\to\chi(\{|u-\xi|< k\})$ в $\Omega$, $\varepsilon\to 0$, то предельным переходом получаем неравенство
$$ \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{m\to \infty}\inf I^{m\varepsilon}_1 \geqslant \int_{\Omega}\bigl(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u))\,{-}\,\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi)\bigr) \cdot\nabla T_k(u\,{-}\,\xi)\,d\mathrm{x}. \end{equation} \tag{5.90} $$

По лемме 4.8 имеем сходимость

$$ \begin{equation} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u^m),\nabla\xi)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla \xi) \quad\text{сильно в }\ \mathrm{L}_{\overline{M}}(\Omega) =\mathrm{E}_{\overline{M}}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.91} $$

Пусть $v^m=u^m-\xi$, $v=u-\xi$. Так как в множестве, где $|v^m|\to k$ при $m\to\infty$ имеем $|v|= k$, то $\nabla v=0$. Отсюда заключаем:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\nabla T_k(v^m)-\nabla T_k(v)=\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}(\nabla v^m-\nabla v) \\ &\qquad\qquad +\bigl(\chi_{\{\Omega\colon |v^m|<k\}}-\chi_{\{\Omega\colon |v|<k\}}\bigr)\nabla v\to 0 \quad\text{п.в. в }\ \Omega, \qquad m\to\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.92} $$

Очевидно, что

$$ \begin{equation*} |\nabla T_k(u^m-\xi)|\leqslant |\nabla T_{\widehat{k}}(u^m)|+|\nabla \xi|, \qquad \mathrm{x}\in \Omega, \quad m\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Тогда из оценки (5.18) следует ограниченность последовательности $\{\nabla T_k(u^m-\xi)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в $\mathrm{L}_{M}(\Omega)$. Отсюда, применяя (5.92), пользуясь леммой 4.3, при любом $k>0$ имеем
$$ \begin{equation} \nabla T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup \nabla T_k(u-\xi) \quad\text{по топологии }\ \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{\overline{M}}) \quad\text{в }\ \mathrm{L}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{equation} \tag{5.93} $$

Соединяя (5.89)(5.93), заключаем:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty}\inf I^m &\geqslant \int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\widehat{k}}(u),\nabla T_{\widehat{k}}(u)) \cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)\cdot\nabla T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.94} $$

Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 имеем

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \notag T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup T_k(u-\xi) \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_{1}) \quad\text{пространства}\ L_{\infty}(\Omega), \\ m\to \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{5.95} $$

Интеграл $J^m$ разобьем на два слагаемых. Первый интеграл

$$ \begin{equation*} J^m_1=\int_{\Omega} \bigl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)\bigr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \end{equation*} \notag $$
оценивается следующим образом. Пусть $\operatorname{supp}\xi\,{\subset}\,\Omega(l)$, $l\geqslant l_0$, $c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)=b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+M'(\mathrm{x},u^m)$, $c(\mathrm{x},u,\nabla u)=b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)$, тогда, учитывая (5.5), при $l\geqslant l_0$ имеем:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & \int_{\Omega\setminus \Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m)\,d\mathrm{x} +\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} \\ &\qquad \geqslant\int_{\Omega(l)}c^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}= \overline{J}^{\,lm}_1. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Применяя (5.25), (5.85), (5.95), переходим к пределу при $m\to \infty$, а затем, учитывая (5.23), (5.84), выполняем предельный переход при $l\to \infty$, получим
$$ \begin{equation} \int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u))T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x} =\lim_{l\to \infty}\lim_{m\to \infty}\overline{J}^{\,lm}_1 \leqslant \lim_{m\to \infty}\inf J_1^m . \end{equation} \tag{5.96} $$

Используя (5.1), (5.95), выполняя предельный переход при $m\to\infty$ во втором интеграле, устанавливаем

$$ \begin{equation} \lim_{m\to \infty}J^m_2=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}f^m T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x} =\int_{\Omega}f T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}. \end{equation} \tag{5.97} $$

Соединяя (5.88), (5.94), (5.96), (5.97), выводим (3.9). Теорема 3.1 доказана.

Доказательство теоремы 3.2. Докажем, что энтропийное решение, построенное в теореме 3.1, удовлетворяет свойствам ренормализованного решения. Условие 1) выполнено, так как совпадает с условием 1) определения 3.1. Условие 2) также выполнено (см. соотношение (4.18)).

Докажем равенство (3.10). Пусть $\{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}$ – последовательность слабых решений задачи (5.3), (1.2) и функция $S\in W^1_{\infty}(\mathbb{R})$ такая, что $\operatorname{supp}S\subset[-M,M]$ для $M>0$. Для любой функции $\xi\in C_0^1(\Omega)$, взяв $S(u^m)\xi\in\mathring {W}^1L_{M}(\Omega)$ в качестве тестовой функции в (5.8), выводим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\rangle \\ \notag &\qquad\qquad +\langle (b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +M'(\mathrm{x},u^m)-f^m(\mathrm{x}))S(u^m)\xi\rangle \\ &\qquad =I^m+J^m=0, \qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.98} $$

Очевидно, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I^m &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m) \cdot(S'(u^m)\xi\nabla u^m+S(u^m)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot \nabla T_M(u^m) S'(u^m)\xi \,d\mathrm{x} \\ &\qquad +\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u^m), \nabla T_M(u^m)) \cdot\nabla\xi S(u^m)\,d\mathrm{x}=I^m_1+I^m_2, \qquad m\geqslant M. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.99} $$

Ввиду сходимостей (5.20), (5.32), (5.80), применяя лемму 4.4, устанавливаем

$$ \begin{equation} I^m_1=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla T_M(u) S'(u)\xi\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.100} $$

Из сходимости (5.20) по лемме 4.11 получаем

$$ \begin{equation*} S(u^m)\nabla \xi\to S(u)\nabla \xi \quad\text{сильно в }\ \mathrm{E}_{M}(\Omega), \qquad m\to\infty. \end{equation*} \notag $$
Отсюда, учитывая сходимость (5.82), выводим
$$ \begin{equation} I^m_2=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u), \nabla T_M(u)) \cdot \nabla \xi S(u)\, d\mathrm{x}+\omega(m), \qquad m\to \infty. \end{equation} \tag{5.101} $$

Соединяя (5.99)(5.101), получаем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty} I^m &=\int_{\Omega} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_M(u),\nabla T_M(u)) \cdot(S'(u)\xi\nabla T_M (u)+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x} \\ &=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u) \cdot(S'(u)\xi\nabla u+S(u)\nabla\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.102} $$

По лемме 4.11 имеем

$$ \begin{equation*} S(u^m)\xi\rightharpoonup S(u)\xi \quad\text{в топологии }\ \sigma(L_{\infty}, L_1), \qquad m\to \infty. \end{equation*} \notag $$
Тогда ввиду сходимостей (5.1), (5.25), (5.85) устанавливаем равенство
$$ \begin{equation} \lim_{m\to \infty} J^m =\int_{\Omega}(b(\mathrm{x},u,\nabla u)+M'(\mathrm{x},u)-f)S(u)\xi \,d\mathrm{x}. \end{equation} \tag{5.103} $$
Комбинируя (5.98), (5.102), (5.103), получаем равенство (3.10). Таким образом, приходим к выводу, что $u$ является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), (3.7). Теорема 3.2 доказана.

Список литературы

1. G. Dal Maso, F. Murat, L. Orsina, A. Prignet, “Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 28:4 (1999), 741–808  mathscinet  zmath
2. A. Malusa, “A new proof of the stability of renormalized solutions to elliptic equations with measure data”, Asymptot. Anal., 43:1-2 (2005), 111–129  mathscinet  zmath
3. I. Chlebicka, Measure data elliptic problems with generalized Orlicz growth, 2020, arXiv: 2008.02495
4. I. Chlebicka, P. Nayar, “Essentially fully anisotropic Orlicz functions and uniqueness to measure data problem”, Math. Methods Appl. Sci., 2021, 1–25, Publ. online  crossref
5. Л. М. Кожевникова, “Ренормализованные решения эллиптических уравнений с переменными показателями и данными в виде общей меры”, Матем. сб., 211:12 (2020), 83–122  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “Renormalized solutions of elliptic equations with variable exponents and general measure data”, Sb. Math., 211:12 (2020), 1737–1776  crossref  adsnasa
6. P. Gwiazda, I. Skrzypczak, A. Zatorska-Goldstein, “Existence of renormalized solutions to elliptic equation in Musielak–Orlicz space”, J. Differential Equations, 264:1 (2018), 341–377  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
7. M. Ait Khellou, A. Benkirane, “Renormalized solution for nonlinear elliptic problems with lower order terms and $L^1$ data in Musielak–Orlicz spaces”, An. Univ. Craiova Ser. Mat. Inform., 43:2 (2016), 164–187  mathscinet  zmath
8. M. S. B. Elemine Vall, T. Ahmedatt, A. Touzani, A. Benkirane, “Existence of entropy solutions for nonlinear elliptic equations in Musielak framework with $L^1$ data”, Bol. Soc. Parana. Mat. (3), 36:1 (2018), 125–150  crossref  mathscinet  zmath
9. R. Elarabi, M. Rhoudaf, H. Sabiki, “Entropy solution for a nonlinear elliptic problem with lower order term in Musielak–Orlicz spaces”, Ric. Mat., 67:2 (2018), 549–579  crossref  mathscinet  zmath
10. M. Ait Khellou, S. M. Douiri, Y. El Hadfi, “Existence of solutions for some nonlinear elliptic equations in musielak spaces with only the log-Hölder continuity condition”, Mediterr. J. Math., 17:1 (2020), 33, 18 pp.  crossref  mathscinet  zmath
11. A. Talha, A. Benkirane, “Strongly nonlinear elliptic boundary value problems in Musielak–Orlicz spaces”, Monatsh. Math., 186:4 (2018), 745–776  crossref  mathscinet  zmath
12. Ph. Benilan, L. Boccardo, Th. Gallouët, R. Gariepy, M. Pierre, J. L. Vazquez, “An $L^1$-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 22:2 (1995), 241–273  mathscinet  zmath
13. A. Malusa, M. M. Porzio, “Renormalized solutions to elliptic equations with measure data in unbounded domains”, Nonlinear Anal., 67:8 (2007), 2370–2389  crossref  mathscinet  zmath
14. Ф. Х. Мукминов, “Единственность ренормализованного решения эллиптико-параболической задачи в анизотропных пространствах Соболева–Орлича”, Матем. сб., 208:8 (2017), 106–125  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. Kh. Mukminov, “Uniqueness of the renormalized solution of an elliptic-parabolic problem in anisotropic Sobolev–Orlicz spaces”, Sb. Math., 208:8 (2017), 1187–1206  crossref  adsnasa
15. Л. М. Кожевникова, “Об энтропийном решении эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева–Орлича”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:3 (2017), 429–447  mathnet  crossref  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “On the entropy solution to an elliptic problem in anisotropic Sobolev–Orlicz spaces”, Comput. Math. Math. Phys., 57:3 (2017), 434–452  crossref  mathscinet
16. Л. M. Кожевникова, “Существование энтропийных решений эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева–Орлича”, Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 139, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 15–38  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “Existence of entropic solutions of an elliptic problem in anisotropic Sobolev–Orlicz spaces”, J. Math. Sci. (N.Y.), 241:3 (2019), 258–284  crossref
17. Л. М. Кожевникова, “Об энтропийных решениях анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях”, Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, СМФН, 63, № 3, РУДН, М., 2017, 475–493  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “On entropy solutions of anisotropic elliptic equations with variable nonlinearity indices in unbounded domains”, J. Math. Sci. (N.Y.), 253:5 (2021), 692–709  crossref
18. L. M. Kozhevnikova, “On solutions of anisotropic elliptic equations with variable exponent and measure data”, Complex Var. Elliptic Equ., 65:3 (2020), 333–367  crossref  mathscinet  zmath
19. Л. М. Кожевникова, “Энтропийные и ренормализованные решения анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей”, Матем. сб., 210:3 (2019), 131–161  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “Entropy and renormalized solutions of anisotropic elliptic equations with variable nonlinearity exponents”, Sb. Math., 210:3 (2019), 417–446  crossref  adsnasa
20. Л. М. Кожевникова, “Эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений анизотропной эллиптической задачи в неограниченных областях с данными в виде меры”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 1, 30–45  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “Equivalence of entropy and renormalized solutions of the anisotropic elliptic problem in unbounded domains with measure data”, Russian Math. (Iz. VUZ), 64:1 (2020), 25–39  crossref
21. М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, М., 1958, 271 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Krasnosel'skiĭ, Ya. B. Rutickiĭ, Convex functions and Orlicz spaces, P. Noordhoff Ltd., Groningen, 1961, xi+249 с.  mathscinet  zmath
22. J. Musielak, Orlicz spaces and modular spaces, Lecture Notes in Math., 1034, Springer-Verlag, Berlin, 1983, iii+222 pp.  crossref  mathscinet  zmath
23. I. Chlebicka, “A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak–Orlicz spaces”, Nonlinear Anal., 175 (2018), 1–27  crossref  mathscinet  zmath
24. A. Benkirane, M. Sidi El Vally, “An existence result for nonlinear elliptic equations in Musielak–Orlicz–Sobolev spaces”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 20:1 (2013), 57–75  crossref  mathscinet  zmath
25. Y. Ahmida, I. Chlebicka, P. Gwiazda, A. Youssfi, “Gossez's approximation theorems in Musielak–Orlicz–Sobolev spaces”, J. Funct. Anal., 275:9 (2018), 2538–2571  crossref  mathscinet  zmath
26. Г. И. Лаптев, “Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью”, Матем. сб., 188:9 (1997), 83–112  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. I. Laptev, “Weak solutions of second-order quasilinear parabolic equations with double non-linearity”, Sb. Math., 188:9 (1997), 1343–1370  crossref
27. Н. А. Воробьёв, Ф. Х. Мукминов, “Существование ренормализованного решения параболической задачи в анизотропных пространствах Соболева–Орлича”, Дифференциальные уравнения, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 163, ВИНИТИ РАН, М., 2019, 39–64  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: N. A. Vorob'yov, F. Kh. Mukminov, “Existence of a renormalized solution of a parabolic problem in anisotropic Sobolev–Orlicz spaces”, J. Math. Sci. (N.Y.), 258:1 (2021), 37–64  crossref
28. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.  mathscinet; пер. с англ.: N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators, т. I, Pure Appl. Math., 7, General theory, Interscience Publishers, Inc., New York; Interscience Publishers, Ltd., London, 1958, xiv+858 с.  mathscinet  zmath
29. Л. М. Кожевникова, А. П. Кашникова, “Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музилака–Орлича–Соболева для неограниченных областей”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:4 (2020), 621–643  mathnet  crossref  zmath

Образец цитирования: А. П. Кашникова, Л. М. Кожевникова, “Существование решений нелинейных эллиптических уравнений с данными в виде меры в пространствах Музилака–Орлича”, Матем. сб., 213:4 (2022), 38–73; A. P. Kashnikova, L. M. Kozhevnikova, “Existence of solutions of nonlinear elliptic equations with measure data in Musielak-Orlicz spaces”, Sb. Math., 213:4 (2022), 476–511
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKoz22}
\by А.~П.~Кашникова, Л.~М.~Кожевникова
\paper Существование решений нелинейных эллиптических уравнений с данными в виде меры в пространствах Музилака--Орлича
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 4
\pages 38--73
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9632}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9632}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461440}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1492.35123}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..476K}
\transl
\by A.~P.~Kashnikova, L.~M.~Kozhevnikova
\paper Existence of solutions of nonlinear elliptic equations with measure data in Musielak-Orlicz spaces
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 4
\pages 476--511
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9632}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000813321000001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85133503270}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9632
  • https://doi.org/10.4213/sm9632
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i4/p38
  • Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:396
    PDF русской версии:44
    PDF английской версии:48
    HTML русской версии:195
    Список литературы:92
    Первая страница:25
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024