| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О некоторых классах почти эрмитовых структур, реализующихся на Н. А. Даурцева Новосибирский национальный исследовательский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9830e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеХорошо известно, что на шестимерной сфере определена почти комплексная структура, индуцированная вложением сферы в $\mathbb{R}^7$ и умножением в алгебре октав. Эту структуру часто называют структурой Кэли, она инвариантна относительно действия группы $G_2$ на $S^6$ и в паре с метрикой постоянной кривизны (круглой метрикой на сфере) задает приблизительно кэлерову структуру на $S^6$. Более того, каждому ортогональному преобразованию из $O(7)$ соответствует вложение группы $G_2$ в $O(7)$, определяющее свою структуру Кэли. Множество всех структур Кэли, индуцирующих одну и ту же ориентацию на $S^6$, образует семимерное пространство $\mathbb{R}P^7$ (см. [1]). Все эти структуры изометричны и задают приблизительно кэлеровы структуры на круглой сфере $S^6$ (см. [2]). Относительно других почти эрмитовых структур на круглой сфере известно, что они не могут быть эрмитовыми (см. [3]), т.е. почти комплексные структуры, согласованные с круглой метрикой, не интегрируемы. Более того, эрмитовыми не могут быть структуры, для которых метрика “достаточно близка” к круглой (см. [4]). Последний результат, касающийся свойств почти эрмитовых структур на $S^6$, получен в 2017 г. М. Хаскинсом и Л. Фосколо (см. [5]). Он утверждает существование неоднородной приблизительно кэлеровой структуры на $S^6$, отличной от структур Кэли. Она строится на множестве почти эрмитовых структур, инвариантных относительно действия кооднородности 1 группы $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ на шестимерной сфере. Возникает естественный вопрос: какие еще классы почти эрмитовых структур могут быть реализованы на круглой сфере, если ограничиться рассмотрением структур кооднородности 1? Ответ на этот вопрос может быть полезен, в частности, для понимания геометрии приблизительно кэлеровой структуры, существование которой доказано в [5]. В настоящей статье изучаются почти эрмитовы структуры кооднородности 1 на $S^6$. Доказано существование целого семейства косимплектических структур на круглой сфере. Все они получаются некоторой деформацией структуры Кэли. Более того, показано, что некоторые из них могут быть продеформированы до квазикэлеровых структур с той же 2-формой, но c метрикой, отличной от метрики постоянной кривизны. Доказано, что все структуры кооднородности $1$ класса $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$ на круглой сфере исчерпываются структурой Кэли, а структуры класса $\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_4$ на ней невозможны. § 2. Классы почти эрмитовых многообразий2.1. Классификация Грэя–ХервеллыПусть $(M,g_0,J)$ – почти эрмитово многообразие, риманова метрика $g_0$ и почти комплексная структура $J$ однозначно определяют кососимметрическую 2-форму $\omega_J(\cdot,\cdot)=g_0(J\cdot,\cdot)$. Рассмотрим 3-форму $\nabla\omega_J$, где $\nabla$ – связность Леви-Чивита. Тогда
$$
\begin{equation*}
\nabla\omega_J(X,Y,Z)=-\nabla\omega_J(X,Z,Y)=-\nabla\omega_J(X,JY,JZ).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $W$ – пространство, состоящее из тензоров $\alpha$ на векторном пространстве $\mathbb{R}^{2n}$, имеющих те же симметрии, что и $\nabla\omega_J$. В основе классификации Грэя–Хервеллы (см. [6]) почти эрмитовых многообразий лежит разложение пространства $W$ в прямую сумму четырех $U(n)$-неприводимых компонент: $W\,{=} W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus W_4$. Используя это разложение, можно сформировать 16 $U(n)$-инвариантных подпространств: $\varnothing$, $W_i$, $W_i\oplus W_j$, $W_i\oplus W_j\oplus W_k$, $W$. Каждое подпространство соответствует определенным ограничительным условиям на $\alpha$. Будем говорить, что почти эрмитово многообразие принадлежит классу $\mathcal{W}_i\oplus\mathcal{W}_j$, если $(\nabla\omega_J)_x\in W_i\oplus W_j$ для всех $x\in M$. Это позволяет выделить 16 классов почти эрмитовых многообразий. Перечислим некоторые из них: ${\mathcal K}=\{(M,g_0,J)\colon \nabla\omega_J=0\}$ – класс кэлеровых многообразий, ему соответствует $\varnothing\subset W$; ${\mathcal W}_1={\mathcal N}{\mathcal K}=\{(M,g_0,J)\colon \nabla_X\omega_J(X,Y)=0\}$ – класс приблизительно кэлеровых многообразий; ${\mathcal W}_2={\mathcal A}{\mathcal K}=\{(M,g_0,J)\colon d\omega_J=0\}$ – класс почти кэлеровых многообразий; ${\mathcal W}_3$ – класс специальных эрмитовых многообразий, определяемый условием $\delta\omega_J=N=0$, где $\delta$ – кодифференциал, а $N$ – тензор Нейенхейса; ${\mathcal W}_4$ – класс, который содержит локально конформно кэлеровы многообразия, определяемый условием
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla_X\omega_J(Y,Z) &=\frac{-1}{2(n-1)}\bigl\{g_0(X,Y)\delta\omega_J(Z)-g_0(X,Z)\delta\omega_J(Y) \\ &\qquad\qquad\qquad -g_0(X,JY)\delta\omega_J(JZ)+g_0(X,JZ)\delta\omega_J(JY)\bigr\}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
${\mathcal W}_1\oplus{\mathcal W}_2={\mathcal Q}{\mathcal K}=\{(M,g_0,J)\colon \nabla_X\omega_J(Y,Z)+\nabla_{JX}\omega_J(JY,Z)=0\}$ – класс квазикэлеровых многообразий; ${\mathcal W}_3\oplus{\mathcal W}_4={\mathcal H}$ – класс эрмитовых многообразий, т.е. таких, что почти комплексная структура $J$ интегрируема ($N=0$); ${\mathcal W}_1\oplus{\mathcal W}_2\oplus{\mathcal W}_3$ – класс полукэлеровых многообразий, определяемый условием косимплектичности $\delta\omega_J=0$; ${\mathcal W}_1\oplus{\mathcal W}_2\oplus{\mathcal W}_4$ – класс, определяемый условием $g_0(N(X,Y),X)=0$; ${\mathcal W}_2\oplus{\mathcal W}_4$ – класс, определяемый условием $d\omega_J=\omega\wedge\theta$. 2.2. Эквивалентные определенияПочти комплексная структура на $M$ определяет разложение
$$
\begin{equation*}
\Lambda^1_{\mathbb C}(M)=\Lambda^{1,0}(M)\oplus\Lambda^{0,1}(M)
\end{equation*}
\notag
$$
пространства комплекснозначных 1-форм на $M$, где $\Lambda^{1,0}$ состоит из 1-форм $\alpha$ таких, что $\alpha(J\cdot)=i\alpha(\cdot)$. Аналогично для $m\geqslant 1$:
$$
\begin{equation*}
\Lambda^m_{\mathbb{C}}(M)=\bigoplus_{p+q=m}\Lambda^{p,q}(M),\quad\text{где} \quad \Lambda^{p,q}=\wedge^p(\Lambda^{1,0})\otimes\wedge^q(\Lambda^{0,1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Внешняя производная разлагается в сумму: $d=d^{2,-1}+d^{1,0}+d^{0,1}+d^{-1,2}$. По правилу Лейбница компонента $d^{-1,2}\colon \Lambda^{1,0}\to\Lambda^{0,2}$ обладает свойством линейности $d^{-1,2}f\alpha=fd^{-1,2}\alpha$ относительно гладких функций $f$ на $M$ и есть не что иное, как тензор Нейенхейса. В шестимерном случае тензор Нейенхейса удобно описывать следующим образом. Пусть $\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3$ – линейно независимые 1-формы из $\Lambda^{1,0}$, определенные на некотором открытом множестве $U\subset M$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d^{-1,2}\colon \begin{pmatrix} \alpha^1\\ \alpha^2\\ \alpha^3 \end{pmatrix}=N(\alpha) \begin{pmatrix} \overline{\alpha^2\wedge\alpha^3} \\ \overline{\alpha^3\wedge\alpha^1} \\ \overline{\alpha^1\wedge\alpha^2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $N(\alpha)\colon U\to M(\mathbb{C},3,3)$. Во введенных нами обозначениях можно дать эквивалентные определения для некоторых классов почти эрмитовых многообразий. Так, $(M,g_0,J)$ является приблизительно кэлеровым в том и только том случае, если $d\omega$ имеет тип $(3,0)+(0,3)$ и тензор Нейенхейса тотально кососимметричен. Квазикэлеровость многообразия $(M,g_0,J)$ эквивалентна тому, что $d\omega$ имеет тип $(3,0)+(0,3)$. В случае шестимерной сферы, вложенной стандартным образом в $\mathbb{R}^7$, естественно рассмотреть на ней индуцированную метрику $g_0$. Это метрика постоянной кривизны, и в дальнейшем мы будем называть ее круглой, а риманово многообразие $(S^6,g_0)$ – круглой сферой. Также, рассматривая элементы $\mathbb{R}^7=\operatorname{Im}\mathbb{O}$ как мнимые октонионы, можно определить на $S^6$ почти комплексную структуру $J^C_x(y)=y\cdot x$, где $x\in S^6$, $y\in T_xS^6$, а $\cdot$ – умножение в алгебре Кэли. Известно, что $(S^6,g_0, J^C)$ строго приблизительно кэлерово. Относительно других почти комплексных структур, сохраняющих круглую метрику, известно (см. [3]), что они не могут быть интегрируемыми, т.е. $(S^6,g_0,J)\notin\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$. Возникает вопрос: какие классы почти эрмитовых структур реализуются на $(S^6, g_0)$? § 3. Многообразия кооднородности 13.1. Основные определенияПусть $G$ обозначает компактную связную группу Ли, действующую на некотором замкнутом связном многообразии $M$. Действие компактной группы Ли $G$ на $M$ будем называть действием кооднородности 1, если пространство орбит $M/G$ одномерно. В случае компактного многообразия $M$ с конечной фундаментальной группой пространство орбит $M/G$ есть одномерное хаусдорфово топологическое пространство, гомеоморфное отрезку (см. [7], [8]). Это так называемое интервальное многообразие кооднородности 1. Пусть $(M,g)$ – риманово интервальное многообразие кооднородности 1. Тогда $M/G=[a_1,a_2]$ и $\pi\colon M\to [a_1,a_2]$ – естественная проекция $M$ на пространство орбит действия группы $G$. Пусть $\gamma\colon [a_1,a_2]\to M$ – нормальная геодезическая, т.е. геодезическая, пересекающая орбиты ортогонально. Внутренним и граничным точкам интервала $[a_1,a_2]$ соответствуют различные орбиты. А именно, все орбиты, соответствующие внутренним точкам $t\in(a_1,a_2)$, диффеоморфны однородному пространству $G/K$, где $K$ – это стабилизатор $G_{\gamma(t)}$ внутренней точки геодезической $\gamma(t)$. Эти орбиты мы будем называть главными, а группу $K$ – главной подгруппой изотропии. Орбиты $M_1=\pi^{-1}(a_1)$ и $M_2=\pi^{-1}(a_2)$, соответствующие граничным точкам, диффеоморфны однородным пространствам $G/H_1$ и $G/H_2$, где $H_i=G_{\gamma(a_i)}$ – сингулярные подгруппы изотропии, содержащие $K$. Орбиты $M_1$ и $M_2$ имеют меньшую размерность, чем главная орбита $G/K$, и называются cингулярными. Таким образом, многообразие $M=M_1\cup M_{\mathrm{reg}}\cup M_2$, где $M_{\mathrm{reg}}$ – это открытое множество, соответствующее внутренности интервала $[a_1,a_2]$ и диффеоморфное $(a_1,a_2)\times G/K$ (см. [9]). Пусть $D_i$ – диск радиуса 1, нормальный к $M_i$ в точке $\gamma(a_i)$. Группа $H_i$ действует на диске $D_i$, и это действие транзитивно на его границе $\partial D_i=S^{l_i}=H_i\cdot \gamma(t_0)=H_i/K$, где $t_0$ – некоторая внутренняя точка интервала. Теорема о срезе говорит о том, что трубчатые окрестности сингулярных орбит имеют вид (см. [8])
$$
\begin{equation*}
\pi^{-1}[a_1,t_0]\approx G\times_{H_1}D_1, \qquad \pi^{-1}[t_0,a_2]\approx G\times_{H_2}D_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $M$ раскладывается в два дисковых расслоения, склеенных по общей границе $\pi^{-1}(t_0)\approx G/K$:
$$
\begin{equation*}
M\approx G\times_{H_1}D_1\bigcup_{G/K}G\times_{H_2}D_2, \qquad S^{l_i}=\partial D_i\approx H_i/K.
\end{equation*}
\notag
$$
Это позволяет описать $M$ в терминах групп $K\subset H_1$, $H_2\subset G$. 3.2. Приблизительно кэлеровы многообразия кооднородности 1В работах [10], [11] авторы классифицировали все шестимерные компактные многообразия кооднородности 1, на которых возможно существование строго приблизительно кэлеровой структуры. Позже, в работе [5], этот список был скорректирован (табл. 1). Таблица 1.Классификация групповых диаграмм приблизительно кэлеровых многообразий. Здесь $\Delta T=\{(t,t)\colon t\in T\}\subset T\times T$ для подгруппы $T\subset G$
Последняя строка в табл. 1 есть $\mathrm{sin}$-конус с единственной сингулярной приблизительно кэлеровой метрикой и не представляет интереса в плане конструирования полной приблизительно кэлеровой структуры на $S^6$. Чтобы понять геометрию многообразий из первых четырех строк в табл. 1, рассмотрим конифолд $\mathcal{C}$, определяемый условием $w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=0$ в $\mathbb{C}^4$. Базу этого конуса $\mathcal{N}$ можно найти как результат его пересечения со сферой с центром в особой точке:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=0, \\ |w_1|^2+|w_2|^2+|w_3|^2+|w_4|^2=r^2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к вещественным и мнимым частям
$$
\begin{equation*}
x=(x_1, x_2, x_3, x_4),\quad y=(y_1, y_2, y_3, y_4),\qquad x_i=\operatorname{Re}(w_i),\quad y_i=\operatorname{Im}(w_i);
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $\mathcal{N}$ определяется условиями
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} (x,x)=\dfrac12r^2, \\ (y,y)=\dfrac12r^2, \\ (x,y)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое условие определяет $S^3$, а второе и третье определяют $S^2$-расслоение над $S^3$ (см. [12]). Так как все такие расслоения тривиальны над $S^3$, то топологически $\mathcal{N}=S^2\times S^3$, а $\mathcal{C}$ – это конус над $S^2\times S^3$. Существует два сценария сглаживания сингулярной точки (рис. 1). Первый способ обычно называют деформацией (см. [12]) или сглаживанием (см. [5]), его идея – заменить особую точку на $S^3$. Он предполагает переход к условию $w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\epsilon^2$, где $\epsilon\neq 0$ – некоторая постоянная величина. Новое условие описывает сглаженный конифолд, диффеоморфный $T^*S^3$. Второй способ – малое разрешение – позволяет заменить особую точку на $S^2$. Пусть $X=w_1+iw_2$, $Y=w_1-iw_2$, $U=-w_3+iw_4$, $V=w_3+iw_4$; тогда $\mathcal{C}$ определяется условием $XY-UV=0$. Заменим это условие в $\mathbb{C}^4$ на условие
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} X & U\\ V & Y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{pmatrix}=0 \quad\text{в }\ \mathbb{C}^4\times\mathbb{C}P^1.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем малое разрешение конифолда, а именно тотальное пространство векторного расслоения $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)$ над $S^2$ . Склеивая по $\mathcal{N}$ два таких сглаженных первым или вторым способом конифолда, можно получить любое многообразие из первых четырех строк в табл. 1. В работе 2017 г. [5] М. Хаскинс и Л. Фасколо исследовали возможность гладко склеить по $\mathcal{N}$ приблизительно кэлеровы деформации структур Калаби–Яу на окрестностях сингулярных орбит для многообразий однородности 1 из первых четырех строк в табл. 1. Это позволило им доказать существование неоднородных приблизительно кэлеровых структур на $S^6$ и $S^3\times S^3$. 3.3. Действие $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ на $S^6$Определим действие группы $G=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ на круглой сфере $S^6$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(g_1,g_2)\in G\colon (p,q)\in S^6\subset \operatorname{Im}(\mathbb{H})\times\mathbb{H}\to (g_1pg_1^{-1},g_2qg_1^{-1})\in S^6.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть кривая $\gamma\colon [0,{\pi}/{2}]\to S^6$, $\gamma(\varphi)=(i\sin\varphi,\cos\varphi)$, – нормальная геодезическая на круглой сфере. Сингулярная подгруппа изотропии $H_1$ точки $\gamma(0)=(0,1)$ равна $\Delta \mathrm{SU}(2)$, сингулярная орбита есть $M_1=G/H_1=\{0\}\times S^3$. Сингулярная подгруппа изотропии $H_2$ точки $\gamma({\pi}/{2})=(i,0)$ есть $U(1)\times \mathrm{SU}(2)$, $M_2=G/H_2=S^2\times\{0\}$. Главная подгруппа изотропии $K$ точки $\gamma(\varphi)=(i\sin\varphi,\cos\varphi)$, $\varphi\in(0,{\pi}/{2})$, есть $\Delta U(1)$, главные орбиты диффеоморфны $G/K=\mathcal{N}=S^2\times S^3$, а регулярная часть $S^6_{\mathrm{reg}}$ есть $(0,{\pi}/{2})\times\mathcal{N}$. Круглая метрика и структура Кэли инвариантны относительно этого действия. § 4. Почти эрмитовы структуры кооднородности 1 на круглой сфере4.1. 2-форма $\omega$Зафиксируем стандартный базис алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$:
$$
\begin{equation*}
H=\frac12\begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}, \qquad E=\frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad V=\frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Скобки Ли в этом базисе определяются формулами Векторы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_+=(H,H),\qquad U_-=(H,-H),\qquad E_1=(E,0), \qquad V_1=(V,0), \\ E_2=(0,E),\qquad V_2=(0,V) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
задают базис алгебры Ли $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)\oplus\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2)$. Вектор $U_+$ есть базис алгебры Ли $\Delta\mathfrak{u}(1)$, а векторы $U_-$, $E_1$, $V_1$, $E_2$, $V_2$ задают инвариантные векторные поля, касательные к главной орбите $S^2\times S^3=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)/\Delta U(1)$. Согласно [5] всякая инвариантная 2-форма $\omega$ на $S^6_{\mathrm{reg}}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\omega=\lambda(\varphi)u_-\wedge d\varphi+u_0(\varphi)\omega_0+u_1(\varphi)\omega_1+u_2(\varphi)\omega_2+u_3(\varphi)\omega_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_-$, $e_1$, $v_1$, $e_2$, $v_2$ – соответствующий кобазис,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega_1=\frac{1}{12}(e_1\wedge v_1-e_2\wedge v_2), \qquad \omega_2=\frac{1}{12}(e_1\wedge v_2+e_2\wedge v_1), \\ \omega_3=\frac{1}{12}(e_1\wedge e_2+v_1\wedge v_2), \qquad \omega_0=\frac{1}{12}(e_1\wedge v_1+e_2\wedge v_2). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(g_0, J)$ – произвольная почти эрмитова структура кооднородности 1 на круглой сфере $S^6$. Лемма 1. 2-форма $\omega_J(\cdot,\cdot)=g_0(J\cdot,\cdot)$, соответствующая почти эрмитовой структуре $(g_0, J)$ на $S^6_{\mathrm{reg}}$, задается условиями Доказательство. Векторные поля, соответствующие $U_-$, $E_1$, $V_1$, $E_2$, $V_2$, в точках кривой $\gamma$ задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, U_-^*(\gamma(\varphi))=(0,-i\cos\varphi), \\ E_1^*(\gamma(\varphi))=\biggl(-\frac{\sin\varphi}{\sqrt{2}}k,-\frac{\cos\varphi}{2\sqrt{2}}j\biggr), \qquad V_1^*(\gamma(\varphi))=\biggl(\frac{\sin\varphi}{\sqrt{2}}j,-\frac{\cos\varphi}{2\sqrt{2}}k\biggr), \\ E_2^*(\gamma(\varphi))=\biggl(0,\frac{\cos\varphi}{2\sqrt{2}}j\biggr), \qquad V_2^*(\gamma(\varphi))=\biggl(0,\frac{\cos\varphi}{2\sqrt{2}}k\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Прямое применение условий согласованности $g_0$ и $J$ во внутренних точках кривой $\gamma$ доказывает утверждение леммы.
Лемма доказана. Для того чтобы 2-форма $\omega_J$, определенная на регулярной части сферы, определяла 2-форму кооднородности 1 на всей сфере, необходимо выполнение некоторых условий для гладкого продолжения этой формы на сингулярные орбиты. В леммах 4.1 и 4.2 работы [5] авторами были выписаны условия гладкого продолжения 2-формы $\omega$ на сингулярные орбиты. Небольшая корректировка результатов из [5] под рассматриваемый нами случай дает следующую лемму. Лемма 2. Почти эрмитова структура $(g_0, J)$ кооднородности 1 на $S_{\mathrm{reg}}^6$ гладко продолжается на сингулярные орбиты в том и только том случае, если: 4.2. Структуры класса $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_3$Лемма 3. Если почти эрмитово многообразие $(S^6,g_0,J)$ кооднородности 1 принадлежит классу $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_3$, то Доказательство. Класс почти эрмитовых многообразий $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_3$ определяется условием $\delta\omega_J=0$.
Для дифференциальных форм $u^-d\varphi e_2v_2$ и $ u^-d\varphi e_1v_1$ верно следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
d(u^-d\varphi e_2v_2)=-d(u^-d\varphi e_1v_1)=\frac14\, d\varphi e_1e_2v_1v_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Внешний дифференциал остальных 4-форм, встречающихся в $*\omega_J$, равен нулю. Учитывая условия леммы 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\delta\omega_J=2\frac{\pm(\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)-(1/3) u_1}{\sin^2\varphi}u^- \quad\text{при }\ \lambda=\pm\cos\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Учтем условия леммы 1 и при $u_3=0$ получим две структуры:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda=\cos\varphi, \qquad u_0=\frac32\sin\varphi(5\cos^2\varphi-2), \\ u_1=3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1), \qquad u_2=-\frac92\sin\varphi\cos^2\varphi, \\ \lambda=\cos\varphi, \qquad u_0=-\frac32\sin\varphi(4\sin^4\varphi-3\sin^2\varphi+1), \\ u_1=3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1), \qquad u_2=\frac32\sin\varphi(4\sin^2\varphi+1)\cos^2\varphi. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обе эти структуры удовлетворяют условиям леммы 2. Первое решение дает в точности структуру Кэли (см. [5]), а второе позволяет определить структуру класса $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_3$ кооднородности 1 на круглой сфере, отличную от структуры Кэли. Будем обозначать найденную нами новую структуру как $J^{123}$. В точках $x$ кривой $\gamma(\varphi)=(i\sin\varphi,\cos\varphi)=i\sin\varphi+e\cos\varphi\in \operatorname{Im}\mathbb{O}$ ее можно выразить через правое умножение в алгебре Кэли следующим образом:
$$
\begin{equation*}
J^{123}_x(Y)= \begin{cases} Y\cdot x=J^C(Y)&\text{для}\ Y\in\langle U^*_-,\dot{\gamma}\rangle, \\ Y\cdot (\widetilde{x}x\widetilde{x})&\text{для}\ Y\in\langle E^*_1, E^*_2, V^*_1, V^*_2\rangle, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{x}=(i\sin\varphi,-\cos\varphi)=i\sin\varphi-e\cos\varphi\in \operatorname{Im}\mathbb{O}$. В случае, если $u_3\neq 0$ и $|u_3|\leqslant 6\cos^2\varphi\sin^2\varphi$, используя лемму 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_0 &=\frac32\sin\varphi(-2\cos^4\varphi+5\cos^2\varphi-2) \pm\frac12\sqrt{36\sin^2\varphi\cos^8\varphi-\frac{\cos^4\varphi}{\sin^2\varphi}u_3^2}, \\ u_2 &=\frac32\sin\varphi\cos^2\varphi(1-2\cos^2\varphi) \mp\frac12(\sin^2\varphi+1)\sqrt{36\sin^2\varphi\cos^4\varphi-\frac{u_3^2}{\sin^2\varphi}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на $(0,{\pi}/{2})$. Прямая проверка показывает, что если $u_3$ удовлетворяет условиям леммы 2, то и остальные условия леммы 2 для $\lambda=\cos\varphi$, $u_1=3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1)$ и приведенных выше функций $u_0$ и $u_2$ также выполняются. Теорема 1. Существует бесконечно много структур кооднородности 1 класса $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_3$ на $(S^6, g_0)$. В частности, существует непрерывная деформация структуры Кэли $J_0=J^C$ в структуру $J_1=J^{123}$. Доказательство. Пусть $u_3=6\sin \pi t\sin^2\varphi\cos^2\varphi$; тогда функции вместе с $\lambda=\cos\varphi$ для каждого $t\in[0,1]$ определяют косимплектическую структуру кооднородности 1 на $(S^6,g_0)$.
Теорема доказана. Отметим, что необходимое условие леммы 3 дает даже более сильное условие, но уже для почти эрмитовых структур с метриками, отличными от $g_0$. Лемма 4. Если некоторой 2-форме $\omega_J$, удовлетворяющей условиям лемм 1 и 2, соответствует квазикэлерова структура, то Доказательство. Класс квазикэлеровых многообразий $\mathcal{QK}=\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_2$ в шестимерном случае можно определить как многообразие с $\mathrm{SU}(3)$-структурой $(\omega,\Omega)$, для которой $d\omega=3\operatorname{Re}\Omega$. Если предположить, что такая $\mathrm{SU}(3)$-структура существует, то соответствующая почти комплексная структура строится по конструкции Н. Хитчина (см. [13]):
$$
\begin{equation*}
I_{\omega}=\frac{1}{\sqrt{-\frac16\operatorname{tr}(K^2)}}K, \qquad K(X)=A(i_X\, d\omega\wedge d\omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\iota_{A(\psi)}\operatorname{Vol}=\psi$ для произвольной 5-формы $\psi$. Подробные вычисления для $K$ приведены в [14]. Для того чтобы такая структура существовала, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \operatorname{tr}(K^2)<0,\\ \omega(I_{\omega}\cdot, I_{\omega}\cdot)=\omega(\cdot,\cdot),\\ \omega(\cdot, I_{\omega}\cdot)>0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Условие согласованности $\omega(I_{\omega}\cdot, I_{\omega}\cdot)=\omega(\cdot,\cdot)$ равносильно выполнению условия $(-u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2)'=6\lambda u_1$. Для $\omega=\omega_J$, определяемого условиями лемм 1 и 2, это условие дает $u_1=\pm 3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1)$ при $\lambda=\pm\cos\varphi$.
Лемма доказана. В случае $\omega_J$ условие $\operatorname{tr}(K^2)<0$ эквивалентно $(f')^2+324\cos^2\varphi\sin^4\varphi>\dot{u}_0^2$, где $f^2:=u_2^2+u_3^2$. Еще раз отметим, что в описанной ситуации почти комплексная структура $I_{\omega_J}$ в большинстве случаев отличается от $J$. Если $I_{\omega_J}=J$, то это означает наличие квазикэлеровой структуры кооднородности 1 на круглой сфере, что выполняется только для структуры Кэли. В остальных случаях пара $(\omega_J, I_{\omega_J})$, если она определена, соответствует уже другой метрике, отличной от $g_0$. Например, форма $\omega_J$, определенная функциями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda=\cos\varphi, \qquad u_0=-\frac32\sin\varphi(4\sin^4\varphi-3\sin^2\varphi+1), \\ u_1=3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1), \qquad u_2=\frac32\sin\varphi(4\sin^2\varphi+1)\cos^2\varphi, \qquad u_3=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет всем условиям, перечисленным в доказательстве леммы 4, и в паре с соответствующей ей почти комплексной структурой $I_{\omega_J}$ задает квазикэлерову структуру кооднородности 1 на $S^6$, но $I_{\omega_J}\neq J^{123}$. Учитывая результаты лемм 3 и 4, можно сформулировать следующую теорему. Теорема 2. Пусть 2-форма $\omega_J$ удовлетворяет условиям лемм 1 и 2. Если существует квазикэлерова структура $(\omega_J, I_{\omega_J})$ кооднородности 1 на $S^6$, то 4.3. Структуры класса $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$Теорема 3. Почти эрмитово многообразие $(S^6,g_0,J)$ кооднородности 1 принадлежит классу $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$ в том и только том случае, если $J=J^C$. Доказательство. Класс почти эрмитовых многообразий $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$ определяется условием тотальной кососимметричности тензора Нейенхейса. Для проверки этого условия рассмотрим ортонормированный базис пространства $(1,0)$-форм $\Lambda^{*(1,0)}$ в точках кривой $\gamma$
$$
\begin{equation*}
\alpha^1=d\varphi-i\lambda u^-, \qquad \alpha^2=e_+-iJe_+, \qquad \alpha^3=v-iJv,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
e_+=\frac{2\sin\varphi-\cos\varphi}{4}e_1+\frac{\cos\varphi}{4}e_2,
\end{equation*}
\notag
$$
$v$ – форма, ортогональная к $d\varphi$, $u^-$, $e_+$ и $Je_+$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d^{-1,2}\alpha^i=N^i_{\overline{jk}}\, \overline{\alpha^j}\wedge\overline{\alpha^k}, \quad\text{где }\ i,j,k\in\{1,2,3\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие принадлежности многообразия классу $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4$ эквивалентно условиям $N^1_{\overline{23}}=N^2_{\overline{31}}=N^3_{\overline{12}}$ и $N^i_{\overline{jk}}=0$ для всех остальных значений индексов. Непосредственная проверка показывает, что $\operatorname{Im}(N^2_{\overline{12}})=0$ влечет $u_3=0$. Теперь условие $N^3_{\overline{13}}\,{-}\,N^2_{\overline{12}}\,{=}\,0$ влечет $u_0+u_2-u_1=-3\sin\varphi\cos^2\varphi$. Получаем
$$
\begin{equation*}
u_1=3\sin\varphi(2\cos^2\varphi-1)\quad\text{или}\quad u_1=3\sin\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Первый случай дает только структуру Кэли, во втором случае не выполняются условия леммы 2.
Теорема доказана. Таким образом, на круглой сфере $S^6$ класс $\mathcal{W}_1\oplus\mathcal{W}_3\oplus\mathcal{W}_4=\mathcal{W}_1$ совпадает с классом для структур кооднородности 1. 4.4. Структуры класса $\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_4$Теорема 4. Не существует почти эрмитовых структур кооднородности 1 класса $\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_4$ на $(S^6,g_0)$. Доказательство. Структуры класса $\mathcal{W}_2\oplus\mathcal{W}_4$ определяются условием $d\omega=\omega\wedge\theta$, где $\theta(X)=\delta\omega(JX)$. Вычислим $\theta$, используя результаты леммы 3:
$$
\begin{equation*}
\theta=\frac{-6\sin\varphi\cos 2\varphi\pm2u_1}{3\cos\varphi\sin^2\varphi}\, d\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие $d\omega_J=\omega_J\wedge\theta$ равносильно
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u_2=u_3=0,\\ \dot{u}_0=\widetilde{\theta}u_0,\\ \dot{u}_1\mp 3\cos\varphi=u_1\widetilde{\theta}, \\ \widetilde{\theta}=\dfrac{-6\sin\varphi\cos 2\varphi\pm 2u_1}{3\cos\varphi\sin^2\varphi}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя условия леммы 1 и $u_2=u_3=0$, находим что не согласуется с условием $\dot{u}_0=\widetilde{\theta}u_0$.
Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dau23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|