| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Бесконечные эллиптические гипергеометрические ряды: сходимость и разностные уравнения Д. И. Кротковa, В. П. Спиридоновba a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Московская обл., г. Дубна
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9874e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеТеория гипергеометрических функций имеет богатую историю (см. [1]). Понятие гипергеометрического ряда было предложено еще до доказательства Ньютоном биномиальной теоремы для $_1F_0$-рядов. Систематическое исследование этих функций началось с Эйлера, предложившего определение гамма-функции. Им был вычислен бета-интеграл в терминах гамма-функции, также он определил ключевой $_2F_1$-ряд и рассмотрел соответствующее ему дифференциальное уравнение второго порядка. Кроме того, он рассмотрел простейшие $q$-гипергеометрические ряды и обнаружил ряд замечательных тождеств, которым они удовлетворяют. $q$-аналог гипергеометрического уравнения был рассмотрен в середине девятнадцатого века Хейне (см. [3]). С тех пор теория гипергеометрических функций очень долгое время развивалась в этих двух ипостасях, которые нашли множество применений в различных областях математики и теоретической физики. На пороге смены тысячелетий был введен новый тип гипергеометрических функций, связанных с эллиптическими функциями. Детальное описание можно найти в обзоре [11]. Оказалось, что структура эллиптических функций объясняет некоторые известные изящные свойства обычных и $q$-гипергеометрических функций. Помимо того на эллиптическом уровне возникают новые симметрии, и множество формул в соответствующей переформулировке принимает намного более компактный вид, чем известные классические, и с такой точки зрения, частные случаи. К настоящему моменту существенная часть классических конструкций для простейших гипергеометрических функций нашла свои аналоги в эллиптическом обобщении как функций одной переменной, так и многих переменных. В основной части приложений используются эллиптические гипергеометрические ряды, параметры которых по определению удовлетворяют условию балансировки (см. [8]). Некоторые частные случаи эллиптических гипергеометрических рядов возникают в приложении к уравнению Янга–Бакстера (см. [2]), в теории биортогональных рациональных функций (см. [10], [11]) и теории ортогональных многочленов со спектром, плотным на единичной окружности (см. [12], [13]). Тем не менее еще остаются стандартные конструкции, чей эллиптический аналог оказывается не вполне ясным. В настоящей работе рассматривается одна из таких конструкций и задача о ее обобщении, а именно непосредственное расширение гипергеометрических уравнений старшего порядка на разностные уравнения бесконечного порядка для тета-гипергеометрических рядов. В дополнение исследуется вопрос сходимости бесконечных тета-гипергеометрических и эллиптических гипергеометрических рядов одной переменной при определенном выборе параметров. Предложенный анализ схож с анализом, в свое время проведенным Харди и Литтлвудом (см. [5]) для некоторого частного случая $q$-гипергеометрического ряда при $q=\exp(2\pi i\chi)$ для фиксированного иррационального числа $\chi$. Аналогичная проблема сходимости бесконечных рядов возникает на эллиптическом уровне при произвольных значениях параметров, что является принципиальным отличием от $q$-гипергеометрического случая. В настоящей работе критерий Харди–Литтлвуда обобщается на случай бесконечных эллиптических гипергеометрических рядов, и доказывается сходимость таких рядов в некоторых конкретных ситуациях. Так, для некоторого выбора параметров демонстрируется, что бесконечные совершенно уравновешенные эллиптические гипергеометрические ряды ${}_{r+1}V_r$ имеют радиус сходимости больше $1$. § 2. Простейшие гипергеометрические ряды и их $q$-аналогиРассмотрим определение $p$-символа Похгаммера
$$
\begin{equation}
(a; p)_{\infty}=\prod_{n=0}^\infty (1-ap^n), \qquad (a; p)_s =\frac{(a;p)_\infty}{(ap^s; p)_\infty}, \quad |p|<1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и, в качестве напоминания, приведем следующие обозначения для $k$-кратного произведения $p$-символов Похгаммера
$$
\begin{equation*}
(a_1, \dots,a_k; p)_{\infty} :=(a_1; p)_\infty \dotsb (a_k;p)_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Используемая в работе тета-функция Якоби определяется как
$$
\begin{equation}
\theta(z; p) :=(z, pz^{-1}; p)_\infty, \qquad z\in\mathbb C^\times,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и классическое тождество тройного произведения Якоби принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\theta(z; p)=\frac{1}{(p;p)_\infty}\sum_{n \in \mathbb{Z}}p^{\binom{n}{2}}(-z)^n, \qquad \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Ключевыми свойствами этой функции являются свойство отражения и свойство квазипериодичности
$$
\begin{equation}
\theta(z^{-1}; p)=\theta(pz; p)=-z^{-1}\theta(z; p).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Так, в качестве следствия имеем
$$
\begin{equation*}
\theta(p^kz; p)=(-z)^{-k}p^{-\binom{k}{2}}\theta(z; p), \qquad k\in\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем число $n\in \mathbb{Z}_{\geqslant0}$ и определим функцию эллиптического сдвинутого факториала, или, другими словами, эллиптический символ Похгаммера
$$
\begin{equation}
\theta(t; p; q)_n :=\prod_{m=0}^{n-1}\theta(tq^m; p), \qquad \theta(t; p; q)_0=1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
со схожим обозначением для $k$-кратных произведений таких функций
$$
\begin{equation*}
\theta(t_1, \dots,t_k; p; q)_n :=\theta(t_1; p; q)_n \dotsb \theta(t_k; p; q)_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Значение $p=0$ дает равенство $\theta(t;0)=1-t$, и произведение (2.5) вырождается в классический объект, $q$-аналог символа Похгаммера В настоящей работе изучаются свойства эллиптических гипергеометрических рядов. Рассматриваемые ряды могут быть расценены как естественные обобщения классических объектов, таких как обобщенная гипергеометрическая функция (см. [1]), определяемая в терминах символа Похгаммера $(a)_n=a(a+1) \dotsb (a+n-1)$ и его вложенного $k$-кратного произведения $(\ell_1, \dots,\ell_k)_n=(\ell_1)_n \dotsb (\ell_k)_n$ как
$$
\begin{equation}
_s F_r\biggl(\begin{matrix} a_0, \dots, a_{s-1}\\ b_1, \dots, b_r \end{matrix} \biggm| z\biggr) =\sum_{n=0}^\infty \frac{(a_0, \dots,a_{s-1})_n}{(b_1, \dots,b_r)_n}\frac{z^n}{n!}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению конечного порядка в терминах оператора $\delta=z\,{d}/{dz}$
$$
\begin{equation}
\bigl[\delta(\delta+b_1-1) \dotsb (\delta+b_r-1)-z(\delta+a_0) \dotsb (\delta+a_{s-1})\bigr] \cdot _s F_r \biggl(\begin{matrix} a_0, \dots, a_{s-1}\\ b_1, \dots, b_r \end{matrix} \biggm| z\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
что демонстрирует прямая проверка. Естественное обобщение $_s F_r$-рядов, уже ставшее классическим, носит наименование базисных или $q$-гипергеометрических рядов
$$
\begin{equation}
_s \phi_r\biggl(\begin{matrix} t_0, \dots, t_{s-1}\\ w_1, \dots, w_r \end{matrix}; q \biggm| z\biggr)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t_0, \dots,t_{s-1};q)_n}{(w_1, \dots,w_r;q)_n}\, \frac{z^n}{(q;q)_n}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Данная функция удовлетворяет $q$-разностному уравнению конечного порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\bigl[(1-q^\delta)(1-w_1q^{\delta-1})\dotsb(1-w_rq^{\delta-1}) \\ &\qquad -z(1-t_0q^{\delta})\dotsb(1-t_{s-1}q^{\delta})\bigr]\,{}_s\phi_r \biggl(\begin{matrix} t_0, \dots, t_{s-1}\\ w_1, \dots, w_r \end{matrix}; q \biggm| z\biggr)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где через $q^\delta$ обозначен оператор мультипликативного сдвига на $q$, действующий на функцию аргумента $z\in\mathbb{C}$ как $q^\delta f(z):=f(qz)$. Выбор обозначения $q^{zd/dz}$ определяется тем, как этот оператор действует на функции, заданные в виде рядов Лорана,
$$
\begin{equation*}
q^{zd/dz} f(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(\ln q)^k}{k!} \biggl(z\frac{d}{dz}\biggr)^k \sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^n =\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n\sum_{k=0}^\infty \frac{(\ln q)^k}{k!} n^k z^n =f(qz).
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $s=r+1$ соответствует определению рядов $_{r+1}\phi_r$, данному в [3]. Случай $s\neq r+1$ отличает замена переменных $q, t_j, w_k \to q^{-1}, t_j^{-1}, w_k^{-1}$ и подходящее растяжение переменной $z$. Обычные гипергеометрические ряды и их $q$-аналоги $\sum_{n\in\mathbb Z} c_n$ характеризуются по Похгаммеру–Хорну следующим свойством: частное соседних коэффициентов $c_{n+1}/c_n$ обязано быть рациональной функцией от $n$ и соответственно от $q^n$. Такие ряды естественным образом обрываются снизу при специальном выборе параметров $b_0=1$ и соответственно $w_0=q$, и это свойство отражается в наличии факторов $n!$ в (2.6) и $(q;q)_n$ в (2.8). Следующим естественным обобщением указанных рядов гипергеометрического типа, возникшим относительно недавно, являются ряды, для которых частное соседних коэффициентов $c_{n+1}/c_n$ полагается эллиптической функцией от переменной $n$ с модулем $p=\exp(2\pi i\tau)$ или мероморфной тета-функцией переменной $n$ с тем же модулем (см. [8], [11]). Данный класс гипергеометрических рядов вырождается в $q$-случай при выборе параметра $p=0$, и, таким образом, в обычный гипергеометрический случай при выборе параметров $p=0$, $q \to 1$. Бесконечные ряды такого толка формально удовлетворяют разностным уравнениям бесконечного порядка, что будет описано ниже. Отметим, что специальный обрывающийся эллиптический гипергеометрический ряд, представляющий собой специфическую эллиптическую функцию параметров, был впервые построен Френкелем и Тураевым в работе [2]. § 3. Тета-гипергеометрические рядыРассмотрим следующее семейство формальных рядов (см. [8]):
$$
\begin{equation}
_s E_r\biggl(\begin{matrix} t_0, \dots, t_{s-1}\\ w_1, \dots, w_r\end{matrix}; q, p \biggm| z\biggr) =\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_0, \dots,t_{s-1}; p; q)_n}{\theta(q, w_1, \dots,w_r; p; q)_n} z^n,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
с естественным ограничением на параметры $w_k$, обеспечивающим корректную определенность коэффициентов ряда, $\theta(w_k;p;q)_n\neq 0$. В случаях $s=0$ или $r=0$ параметры $t_j$ (соответственно $w_k$) полагаются отсутствующими. Лемма 1. Формальный ряд $_s E_r$ удовлетворяет разностному уравнению бесконечного порядка Доказательство. Находим частное соседних членов ряда, используя свойства эллиптического символа Похгаммера (2.5): Свойство квазипериодичности является определяющим для тета-функций, а значит, перед нами мероморфная тета-функция формальной переменной $n$,
Отметим, что $\theta(1; p)=0$ и, как следует из уравнения (2.3),
$$
\begin{equation*}
\theta(t q^{\delta}; p) z^n=\frac{1}{(p;p)_\infty}\sum_{k \in \mathbb{Z}} p^{k(k-1)/2}(-t q^{\delta})^k z^n =\theta(t q^n; p) z^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя тета-функции оператора мультипликативного сдвига $q^\delta$, получаем формальное равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\bigl[\theta(q^\delta, w_1 q^{\delta-1}, \dots, w_r q^{\delta-1}; p)- z \theta(t_0 q^{\delta}, \dots, t_{s-1}q^{\delta}; p)\bigr]\,{}_s E_r \biggl(\begin{matrix} t_0, \dots, t_{s-1}\\ w_1, \dots, w_r \end{matrix}; q, p \biggm| z\biggr) \\ &\qquad =\sum_{n=1}^\infty \frac{\theta(t_0, \dots,t_{s-1}; p; q)_n z^n}{\theta(q, w_1,\dots, w_r;p;q)_{n-1}} - z\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_0, \dots,t_{s-1}; p; q)_{n+1} z^{n}} {\theta(q, w_1,\dots, w_r;p;q)_n}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Разлагая тета-функции в квадратных скобках в ряды по $q^\delta$ согласно тождеству тройного произведения Якоби (2.3), получаем необходимый результат. Лемма доказана. Уравнение (3.2) для простейших рядов $_0E_0(q, p|z)$ выведено в работе [9]. В частном случае $p=0$ разностное уравнение бесконечного порядка (3.3) упрощается до $q$-разностного уравнения конечного порядка, соответствующего $q$-гипергеометрическим рядам (2.9). Рассмотрим более подробно коэффициенты в бесконечных двусторонних рядах (3.2). Для некоторого набора комплексных параметров $s_j$, $j=1,\dots, r$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\prod_{j=1}^r \theta(s_j q^{\delta}; p) f(z)=\frac{1}{(p; p)_\infty^r} \sum_{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z}}\prod_{j=1}^r(-s_j)^{m_j} p^{\sum_{j=1}^r \binom{m_j}{2}} f\bigl(zq^{\sum_{j=1}^r m_j}\bigr) \\ &\qquad =\frac{1}{(p; p)_\infty^r} \sum_{n\in\mathbb Z} \Phi_n(s_1, \dots,s_r;p) f(zq^n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Phi_n(s_1, \dots,s_r;p) :=\sum_{\substack{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z} \\m_1+\dots+m_r=n}} (-s_1)^{m_1} \dotsb (-s_r)^{m_r} p^{\binom{m_1}{2}+\dots+\binom{m_r}{2}}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Очевидно, что $\Phi_n(s_1, \dots,s_r;p)$ является тета-функцией, некоторым образом зависящей от переменной $n$, и $\Phi_0(s_1, \dots,s_r;p)$ является тета-функцией системы корней $A_{r-1}$. Лемма 2. Выполнены следующие три тождества: Доказательство. Для первого соотношения заметим следующее преобразование:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Phi_n(s_1, \dots,s_r;p) =\sum_{\substack{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z} \\m_1+\dots+m_r=n}} (-s_1)^{m_1} \dotsb (-s_r)^{m_r} p^{\binom{m_1}{2}+\dots+\binom{m_r}{2}} \\ &\qquad =\sum_{\substack{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z} \\m_1+\dots+m_r=0}} (-s_1)^{m_1} \dotsb (-s_j)^{m_j+n} \dotsb (-s_r)^{m_r} p^{\binom{m_1}{2}+\dots+\binom{m_j+n}{2}+\dots+\binom{m_r}{2}} \\ &\qquad =p^{\binom{n}{2}}(-s_j)^n \Phi_0(s_1, \dots,s_j p^n, \dots,s_r;p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Схожие вычисления дают равенство (3.7):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_{n+r}(s_1, \dots,s_r;p) &=\sum_{\substack{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z} \\m_1+\dots+m_r=n+r}} (-s_1)^{m_1} \dotsb (-s_r)^{m_r} p^{\binom{m_1}{2}+\dots+\binom{m_r}{2}} \\ &=\sum_{\substack{m_1, \dots,m_r \in \mathbb{Z} \\m_1+\dots+m_r=n}} (-s_1)^{m_1+1} \dotsb (-s_r)^{m_r+1} p^{\binom{m_1+1}{2}+\dots+\binom{m_r+1}{2}} \\ &=(-1)^rs_1 \dotsb s_r p^n \Phi_n(s_1, \dots,s_r;p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что последнее тождество приводит к соотношению
В контексте заключительного соотношения (3.8) рассмотрим следующее разложение, сходное с (3.4):
$$
\begin{equation*}
\theta(s_1 z; p)\dotsb\theta(s_r z; p) =\frac{1}{(p;p)_\infty^r}\sum_{n=-\infty}^{\infty} z^n \Phi_n(s_1, \dots,s_r;p).
\end{equation*}
\notag
$$
Аддитивные свойства примитивных корней $r$-й степени включают равенство $\sum_{k=0}^{r-1}\zeta^{kn}=0$ при $n\neq \ell r$, с помощью которого преобразование по типу Фурье приводит к следующему результату:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{r}\sum_{m=0}^{r-1} \theta(s_1 z \zeta^m; p)\dotsb\theta(s_r z \zeta^m; p)=\frac{1}{(p;p)_\infty^r}\sum_{n=-\infty}^{\infty} z^{nr}\Phi_{nr}(s_1, \dots,s_r; p) \\ &\qquad =\frac{(p^r;p^r)_\infty}{(p;p)_\infty^r} \theta(-(-z)^r s_1 \dotsb s_r; p^r)\Phi_{0}(s_1, \dots,s_r; p), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы использовали соотношение (3.9). Требуемое представление функции $\Phi_0(s_1, \dots,s_r; p)$ становится явным. Лемма доказана. В результате имеем следующую теорему. Теорема 3. Тета-гипергеометрические ряды (3.1) определяют формальные решения $q$-разностного уравнения бесконечного порядка Уравнение (3.10) выводится применением операторного соотношения (3.4) к обеим операторным тета-функциям в первой строке уравнения (3.3). Например, в случае $r=2$ мы можем предъявить явное выражение для функции $\Phi_0(s_1, \dots,s_r;p)$, получающееся из представления (3.8) подстановкой $z=s_2^{-1}$,
$$
\begin{equation*}
\Phi_0(s_1,s_2;p)=\sum_{m\in\mathbb Z} \biggl(\frac{s_1}{s_2}\biggr)^m p^{m^2} =(p^2;p^2)_\infty \theta\biggl(-p\frac{s_1}{s_2};p^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что формальный тета-гипергеометрический ряд
$$
\begin{equation*}
{}_{2}E_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix}\biggm|z\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет следующему компактному уравнению:
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb Z} (-1)^n p^{\binom{n}{2}} \biggl( \theta\biggl(-\frac{q}{c}p^{n+1};p^2\biggr) - za^n \theta\biggl(-\frac{a}{b}p^{n+1};p^2\biggr) \biggr) {}_2 E_1 \biggl(\begin{matrix} a,b\\ c\end{matrix}; q, p \biggm| q^n z\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
которое может рассматриваться как непосредственный тета-функциональный аналог гипергеометрического уравнения для $_2F_1$-функции Эйлера–Гаусса. Ему можно придать различные виды, выбрав разные параметризации для $\Phi_n$-коэффициентов. В частности, преобразование, переставляющее $a$ и $b$, оставляет уравнение неизменным. Отметим, что во всех случаях $z\to q^nz$ преобразованные функции $f(q^n z)$ входят в уравнение только с коэффициентом, линейным по независимой переменной $z$. Умножение любого решения уравнения (3.11) на эллиптический фактор $\varphi(z)=\varphi(qz)$ также дает решение. Разбиение уравнения (3.11) на две части с суммированием по четным и по нечетным значениям переменной $n$ и устранением $p^n$-множителей в аргументах тета-функций приводит к уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{k\in\mathbb Z}\biggl\{ p^{k(k-1)}\biggl[ \theta\biggl(-\frac{pq}{c};p^2\biggr)\biggl(\frac{c}{q}\biggr)^k -z\theta\biggl(-\frac{pa}{b};p^2\biggr)(ab)^k \biggr] f(q^{2k}z) \\ &\qquad -p^{k^2}\biggl[ \theta\biggl(-\frac{q}{c};p^2\biggr)\biggl(\frac{c}{q}\biggr)^{k+1} -zb\theta\biggl(-\frac{a}{b};p^2\biggr)(ab)^k \biggr] f(q^{2k+1}z)\biggr\}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Зафиксируем параметры $a$, $b$, $c$, $d$ и $q$. Тогда в пределе при $p\to 0$ нетривиальный вклад дают исключительно слагаемые с индексом суммирования, равным $k= 0,1$, при условии, что функция $f(z)$ зависит от $p$ несингулярным образом. В результате получаем $q$-гипергеометрическое уравнение для функции $_2\varphi_1$ (2.9). Предполагается, что пространство решений разностного уравнения бесконечного порядка должно обладать богатой структурой со многими постоянными интегрирования. Мы не беремся описать пространство решений уравнения (3.12) в его полном объеме. Однако можно описать решения как функции с изолированной сингулярностью в точке $z=0$. В самом деле, любая такая функция в проколотой окрестности точки $z=0$ имеет разложение в ряд Лорана $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n z^n$. Подстановка данного разложения в (3.12) приводит к рекуррентному соотношению первого порядка на коэффициенты $c_n$, решение которого задается явно в терминах эллиптических символов Похгаммера. Так для соотношения $c_{-1}=d_0 c_0$ имеем $d_0=0$, потому для параметров в общем положении $c_n=0$ при $n<0$. Значит, общий ряд аналитичен в точке $z=0$ в случае сходимости и совпадает как функция с полученным ранее решением
$$
\begin{equation*}
f(z)={}_2 E_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix}; q, p \biggm| z\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая это решение на нетривиальную эллиптическую функцию, $\varphi(qz)=\varphi(z)$, получаем однозначное решение уравнения (3.11), которое не является аналитическим в точке $z=0$. Прочие решения могут содержать неаналитические относительно переменной $z$ части. Некоторые частные решения модельных уравнений бесконечного порядка описаны ниже. Рассмотрим задачу на собственные значения для простейшего разностного оператора бесконечного порядка $\theta(aq^\delta; p)$. Это должно дать представление о возможной структуре решения более сложных $q$-разностных уравнений бесконечного порядка. Используя представление в виде бесконечного произведения вместо формы бесконечного тета-ряда, имеем
$$
\begin{equation*}
\theta(aq^\delta; p) f(z)=\prod_{n=0}^\infty (1-aq^\delta p^n) (1-pa^{-1}q^{-\delta}p^n)f(z)= \lambda f(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Однозначная функция $f(z)=z^N\theta(bz;q)/\theta(cz;q)$, $N\in\mathbb Z$, удовлетворяет уравнению $f(qz)=q^Ncb^{-1}f(z)$. Поэтому имеем собственную функцию
$$
\begin{equation}
f(z)=z^N\prod_{j=1}^m\frac{\theta(b_jz;q)}{\theta(c_jz;q)}, \qquad \lambda=\theta\biggl(aq^N\prod_{j=1}^m \frac{c_j}{b_j};p\biggr),
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
для произвольных наборов параметров $b_j, c_j\in \mathbb C^\times$. Всякий раз, как удовлетворено условие $\prod_{j=1}^m(b_j/c_j)=aq^Np^n$, $n\in\mathbb Z$, возникает функция из ядра оператора. В результате любая линейная комбинация таких функций с различными параметрами $N, b_j, c_j$, удовлетворяющими тому же самому ограничению, принадлежит ядру взятого оператора. Имеются также и решения, которые не являются однозначными функциями относительно $z$, аналогично общему решению обычного гипергеометрического уравнения для $_2F_1$ гипергеометрической функции Эйлера–Гаусса. Действительно, рассмотрим функцию вида $z^d$, которая неоднозначна при $d\neq \mathbb Z$. Имеется формальная задача на собственные значения $\theta(aq^\delta; p) z^d=\theta(aq^d; p) z^b$, так что всякий раз, когда верно $aq^d=p^n$ (или $d=-\ln ap^n/\ln q$), $n\in\mathbb Z$, возникает функция из ядра оператора. Линейная комбинация таких функций с различными значениями $n$, взвешенная с $q$-эллиптическими коэффициентами, определяет следующий ряд типа Дирихле:
$$
\begin{equation}
f(z)=z^{-{\ln a}/{\ln q}}\sum_{k\in \mathbb{Z}} h_k(z) z^{-k {\ln p}/{\ln q}}, \qquad h_k(qz)=h_k(z),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
который при условии сходимости будет лежать в ядре оператора $\theta(aq^\delta; p)$. Можно также заменить в однозначной функции (3.13) множитель $z^N$ на $z^d$, наложить условие $\prod_{j=1}^m(b_j/c_j)=aq^dp^n$, $n\in\mathbb Z$, и взять линейную комбинацию таких функций для различных $b_j, c_j, d$ и $n$, чтобы получить еще более сложные функции из ядра. Положим, оператор $\theta(aq^\delta; p)$ действует на некотором пространстве Гильберта, и встает вопрос о существовании обратного к нему. В том случае, если хотя бы одна из описанных функций из ядра принадлежит данному пространству, обратимость отсутствует. Чуть более замысловатый случай связан со следующим оператором. Положим $w, q, p\in \mathbb C^\times$, $K\in\mathbb Z$, зафиксируем $t:=pq^Kw^{-K^2}$ и добавим условие $|w|, |p|, |t|<1$. Рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{O}}=\sum_{n\in \mathbb{Z}} w^{\binom{n}{2}}\theta(w^{nK}z;p) q^{n\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение $\theta(w^{nK}z;p)$ в ряд Лорана относительно переменной $z$ с заменой порядка суммирования в двойном ряду приводит к соотношению
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{O}}=\frac{(w;w)_\infty (t;t)_\infty}{(p;p)_\infty} \theta\bigl(w^{-\binom{K}{2}}zq^{-K\delta};t\bigr)\theta(-q^\delta;w),
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом равенства $z^mq^{-Km\delta}=q^{K\binom{m}{2}}(zq^{-K\delta})^m$. Таким образом, оператор вида $\theta(az q^{K\delta}; t)\theta(bq^\delta; w)$ определяет ядро оператора $\widehat{\mathcal{O}}$, и функции, описанные выше, дают его конкретные примеры.
§ 4. Сходимость эллиптических гипергеометрических рядовВернемся к изучению $_s E_r$-рядов. Конкретно, рассмотрим вопрос об их сходимости. Сразу отметим подстановку $t_i=q^{-N}$ для некоторого $i$ и $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, которая приводит к обрыву ряда
$$
\begin{equation*}
_s E_r\biggl(\begin{matrix} q^{-N}, t_1, \dots, t_{s-1}\\ w_1, \dots, w_r \end{matrix}; q, p \biggm| z\biggr)= \sum_{n=0}^{N} \frac{\theta(q^{-N}, t_1, \dots,t_{s-1}; p; q)_n}{\theta(q, w_1, \dots,w_r; p; q)_n} z^n,
\end{equation*}
\notag
$$
и он сходится из тривиальных соображений. Случай, представляющий наибольший интерес, описывается эллиптическими гипергеометрическими рядами. Положим $s=r+1$ и введем следующее ограничительное условие, называемое условием балансировки: Тогда частное соседних слагаемых ряда
$$
\begin{equation*}
h(n)=\frac{c_{n+1}}{c_n} =z\frac{\theta(q^n t_0, q^n t_1, \dots, q^n t_{r}; p)}{\theta(q^{n+1}, q^n w_1, \dots, q^n w_r; p)}
\end{equation*}
\notag
$$
является эллиптической функцией формальной переменной $n$. А именно, если рассмотреть аргумент $n$ как комплексную переменную, функция $h(n)$ становится двоякопериодической мероморфной функцией от $n$:
$$
\begin{equation}
h\biggl(n+\frac{2\pi i}{\ln q}\biggr)=h\biggl(n+\frac{\ln p}{\ln q}\biggr)=h(n).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Благодаря этому факту рассматриваемые в работе ряды заслужили свое наименование. Равенства (4.2) следуют из свойств функции $h(n)$. Она зависит лишь от выражения $q^n$, остающегося неизменным при сдвиге переменной $n$ на первый период, и равным $pq^n$ при сдвиге по второму периоду. В последнем случае квазипериодичность тета-функций (2.4) выражается в появлении постоянных множителей, сокращающихся при наличии условия балансировки (4.1). Рассмотрим случай выбора параметра $t_0=q$, для которого особенность функции $h_n$ в точке $n=-1$ отсутствует. В этом случае имеется ряд
$$
\begin{equation*}
_{r+1} E_r\biggl(\begin{matrix} q, t_1, \dots, t_{r}\\ w_1, \dots, w_r \end{matrix}; q, p \biggm| z\biggr)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_1, \dots,t_{r}; p; q)_n}{\theta(w_1, \dots,w_r; p; q)_n} z^n, \qquad \prod_{k=1}^{r} t_k=\prod_{k=1}^{r} w_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия балансировки следует, что функция
$$
\begin{equation}
H(u):=\frac{\theta(u t_1, \dots, u t_{r}; p)}{\theta(u w_1, \dots, u w_r; p)}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
является мероморфной относительно параметра $u\in\mathbb{C}^\times$ и инвариантной относительно преобразования $u\to pu$, другими словами, является $p$-эллиптической, $H(pu)=H(u)$. Нули рассматриваемой функции расположены в точках $u=t_k^{-1} p^\mathbb{Z}$, а полюсы в точках $u=w_k^{-1}p^{\mathbb{Z}}$ при $k=1, \dots,r$. В экспоненциальной записи полагаем и для такого выбора аргумента функция $H(\exp(2\pi i x))$ является эллиптической относительно параметра $x\in \mathbb{C}$ с фундаментальными периодами $\{1, \tau\}$. Теперь мы выберем специальное значение $q$. Рассмотрим произвольную пару целых чисел $N,M$ такую, что прямая, проходящая через точки $x=0$ и $x=N+M\tau$, не содержит полюсов функции $H(\exp(2\pi i x))$. Для выбранной пары целых чисел и произвольного действительного числа $\chi \in \mathbb{R}$ положим
$$
\begin{equation}
q=\exp(2\pi i \chi(N+M\tau)), \qquad (N,M)\neq (0,0).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Тогда для фиксированных значений $\chi \in \mathbb{R}$ и пары целых чисел $N$ и $M$ прочие параметры удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
t_j,w_j\neq p^k \exp(2\pi i\chi (N+M\tau)l), \qquad k\in\mathbb{Z}, \quad l\in \mathbb{Z}_{\leqslant 0}, \qquad j=1,\dots, r.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
В этом случае коэффициенты ряда $c_n/z^n$ не особы. Ряд не обрывается и корректно определен. Однако, если какой-то из параметров $w_j$ принадлежит прямой, проходящей через точки $x=0$ и $x=N+M\tau$, предел подпоследовательности точек вида $q^np^{\mathbb Z}$ при $n\to\infty$ приближается к такому параметру с любой точностью, возникает особенность и оценка значений $|H(q^n)|$ становится затруднительной. Потому условие для параметров $w_j$ (4.5) стоит рассматривать для всех действительных значений $\chi $. Тогда абсолютные значения $|H(q^n)|$ ограничены сверху некоторым числом $S$, и ряд сходится в области $|z| < S^{-1}$. Предположим, что $\chi $ – рациональное число, $\chi=a/b$, $(a,b)=1$, и $q^b=p^{Ma}$. В этом случае наблюдается периодичность $H(q^{n+b})=H(q^n)$, и ряд вычисляется явно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_1, \dots,t_{r}; p; q)_n}{\theta(w_1, \dots,w_r; p; q)_n} z^n =\sum_{j=0}^\infty\sum_{l=0}^{b-1}\prod_{k=0}^{jb+l-1}H(q^k)z^{jb+l} \\ &\qquad =\sum_{j=0}^\infty R^j z^{jb}\sum_{l=0}^{b-1}\prod_{k=jb}^{jb+l-1}H(q^k)z^{l} =\frac{1+\sum_{l=1}^{b-1}\prod_{k=0}^{l-1} H(q^{k}) z^l}{1-Rz^b}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
здесь $R:=\prod_{k=0}^{b-1} H(q^k)$. В этом случае радиус сходимости равен $r_{c}=|R|^{-1/b}$. Функция $|R|$ как функция от $R$ не может быть равна $1$ для всех значений параметров. Поэтому в случае $|R|>1$ перестановка значений параметров $t_k$ и $w_k$ приводит к $r_c>1$, т.е. всегда существуют ряды с таким радиусом сходимости. Выражение (4.6) задает мероморфную функцию относительно параметров $t_k$, $w_k$ в виде рациональной комбинации тета-функций, не являющейся в общем случае ни эллиптической функцией, ни даже квазипериодической. Рассмотрим теперь случай, когда $\chi $ иррационально и выполнено дополнительное условие, что значения параметров $t_j$ ограничены так же, как и для параметров $w_j$. Тогда помимо полюсов функции $H(u)$, ее нули $t_j^{-1}p^{\mathbb{Z}}$ тоже не лежат в точках трансцендентности. Тогда выполняется следующая оценка на радиус сходимости. По теореме Г. Вейля о равномерно распределенных последовательностях для любого иррационального числа $\chi$ логарифмы выражений $q^k=\exp(2\pi i k\chi (N+M\tau))$ распределены равномерно на отрезке прямой, проходящей через точки $0$ и $N+M\tau$. Значит, существует предел
$$
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \ln |H(q^k)| =\int_{0}^{1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Так, главная асимптотика коэффициентов рассматриваемого ряда оказывается степенной:
$$
\begin{equation*}
|c_n| =\prod_{k=0}^{n-1}|H(q^k)|\,|z|^n =\biggl|z\exp \biggl(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \ln |H(q^k)|\biggr)\biggr|^n \mathrel{\underset{n\to\infty}{=}}\biggl|\frac{z}{r_c}\biggr|^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_{c}:=\exp\biggl(-\int_{0}^{1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По признаку д’Аламбера рассматриваемый ряд сходится в области $|z|<r_c$ с радиусом сходимости $r_c$. Проблема сходимости $q$-гипергеометрических рядов при выборе параметра $q=\exp(2\pi i \chi)$ с иррациональным числом $\chi $ впервые была рассмотрена Харди и Литтлвудом в [5]. В их вычислениях возник более простой интеграл, сходный с рассматриваемым в настоящей работе, и его явная формула была использована для оценки интересующего радиуса сходимости. В их случае, однако, аналог $H(u)$ имел сингулярность, и аргумент равномерной распределенности работал не для каждого иррационального числа $\chi $. Позднее были получены другие результаты в этом направлении, см. [6], [7]. В том же русле развиваются рассуждения следующего параграфа. Стоит отметить результат Петрушки в работе [7], где показано, насколько существенно выдвигаемое нами требование к параметрам $t_i$, $w_j$ не лежать на интервале интегрирования. В этой ситуации естественно задать вопросы: вычисляется ли данный интеграл и как именно? Предположим, $|p|<1$ или $\operatorname{Im}\tau>0$. Рассмотрим следующую вариацию возникающего интеграла:
$$
\begin{equation}
F_{N,M}(t):=\int_{0}^{1} \ln \bigl|\theta\bigl(t\exp(2\pi i x (N+M\tau)); p\bigr)\bigr|\,dx.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Особенности подынтегрального выражения могут быть лишь логарифмического типа, потому интеграл сходится. В первую очередь исследуем зависимость выражения от чисел $N$ и $M$. Для этих целей будет полезным ввести отдельное обозначение для наибольшего общего делителя $D=\operatorname{\textrm{НОД}}(N,M)$, $D>0$. Тогда
$$
\begin{equation}
F_{N,M}(t)=F_{N/D,M/D}(t)+\pi \operatorname{Im}\tau \frac{M(D-1)(2M(D+1)-3D)}{6D^2}-\ln|t|\frac{M(D-1)}{2D}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Данное равенство возникает как следствие нескольких элементарных преобразований. Из выражения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D\int_{0}^{1} \ln \bigl|\theta \bigl(t\exp(2\pi i x (N+M\tau)); p\bigr)\bigr|\,d x \\ &\qquad =\int_{0}^{D} \ln\biggl|\theta \biggl(t\exp\biggl(2\pi i x \biggl(\frac{N}{D}+\frac{M}{D}\tau\biggr)\biggr);p\biggr)\biggr|\,dx \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{D-1} \int_{0}^{1}\ln\biggl|\theta \biggl(t \exp\biggl(2\pi i(x+k)\biggl(\frac{N}{D}+\frac{M}{D}\tau\biggr)\biggr);p\biggr)\biggr|\,dx \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{D-1} \int_{0}^{1}\ln\biggl|\theta \biggl(p^{Mk/D}t \exp\biggl(2\pi i x \biggl(\frac{N}{D}+\frac{M}{D}\tau\biggr)\biggr);p\biggr)\biggr|\,dx \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при использовании соотношения квазипериодичности (2.3) с последующим логарифмированием следует равенство
$$
\begin{equation*}
F_{N,M}(t)=F_{N/D,M/D}(t)+\frac{1}{D}\sum_{k=0}^{D-1} \biggl(\frac{M^2k(k+1)}{D^2}\pi\operatorname{Im}\tau-\frac{Mk}{D}\pi \operatorname{Im}\tau-\frac{Mk}{D}\ln|t|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Явное суммирование по $k$ приводит к необходимому результату. Опишем иное представление для функции $F_{N,M}(t)$, основанное на представлении тета-функции в виде бесконечного произведения. Предполагая $M>0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1} \ln \bigl|\theta \bigl(t\exp(2\pi i x (N+M\tau)); p\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad=\int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{M-1} \ln \bigl|\theta \bigl(tp^k \exp(2\pi i x (N+M\tau)); p^M\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad =\sum_{k=0}^{M-1} \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^\infty\ln \bigl|\bigl(1-tp^k \exp(2\pi i( x+n)(N+M\tau))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\bigl(1-t^{-1}p^{-k} \exp(2\pi i(n+1- x )(N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad =\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{n=0}^\infty \int_{n}^{n+1}\ln \bigl|\bigl(1-tp^k \exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\bigl(1-t^{-1}p^{-k} \exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad =\sum_{k=0}^{M-1} \int_{0}^\infty \ln \bigl|\bigl(1-tp^k \exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times \bigl(1-t^{-1}p^{-k} \exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так задача сводится к явному вычислению следующего интеграла при произвольном параметре $t\in \mathbb{C}^\times$:
$$
\begin{equation*}
I_{N,M}:=\int_{0}^\infty \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что преобразование $ x \leftrightarrow 1- x $ в изначально рассматриваемом интеграле делает случай $M<0$ эквивалентным данному. Случай $M=0$ рассмотрен ниже отдельно. Докажем следующую лемму. Лемма 4. Положим $M >0$ и определим Доказательство. Рассмотрим первый случай, при котором $|t|\geqslant 1$. Интеграл может быть разбит на две составляющие:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{N,M} &=\int_{0}^{{\ln|t|}/(2\pi M\operatorname{Im}\tau)} \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx \\ &\qquad + \int_{\ln|t|/(2\pi M\operatorname{Im}\tau)}^\infty \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для первого члена $0\leqslant x \leqslant \ln|t|/(2\pi M\operatorname{Im}\tau)$. Потому $\ln|t|-2\pi Mx\operatorname{Im}\tau \geqslant 0$ или, другими словами,
$$
\begin{equation*}
\bigl|t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|=|t|\exp(-2\pi Mx\operatorname{Im}\tau)\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
А значит, результат может быть записан как
$$
\begin{equation*}
\ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|=\ln|t|-2\pi Mx\operatorname{Im}\tau+\ln\bigl|1-t^{-1} \exp(-2\pi i x(N+M\tau))\bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
и логарифм правой части может быть разложен в сходящийся ряд Тейлора. Почленное интегрирование относительно $x$ дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{0}^{\ln|t|/(2\pi M\operatorname{Im}\tau)} \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx \\ \nonumber &\qquad=\frac{\ln^2|t|}{4\pi M\operatorname{Im}\tau}-\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{-n}}{n}\, \frac{1-\exp\bigl(-in(N+M\tau)\ln|t|/(M\operatorname{Im}\tau)\bigr)}{2\pi in(N+M\tau)} \\ &\qquad=\frac{\ln^2|t|}{4\pi M\operatorname{Im}\tau}-\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(t^{-1})}{2\pi i(N+M\tau)}+\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(\overline \mu) }{2\pi i(N+M\tau)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $\overline\mu$ обозначает число, комплексно сопряженное числу, определенному в лемме. Аргумент лежит на единичной окружности, потому последнее слагаемое определено корректно.
Схожим образом второе слагаемое может быть упрощено с учетом равенства $|t \exp(2\pi i x(N+M\tau))|=|t|\exp(-2\pi Mx\operatorname{Im}\tau)\leqslant 1$, и логарифм разлагается в ряд Тейлора. Почленное интегрирование дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\ln|t|/(2\pi M\operatorname{Im}\tau)}^\infty \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx \\ &\qquad =\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n}\, \frac{\exp\bigl(i n(N+M\tau)\ln|t|/(M\operatorname{Im}\tau)\bigr)}{2\pi i n(N+M\tau)} =\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(\mu)}{2\pi i (N+M\tau)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Потому для всего интеграла действительно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{0}^\infty \ln\bigl|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr|\,dx &=\frac{\ln^2|t|}{4\pi M\operatorname{Im}\tau}-\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(t^{-1})}{2\pi i(N+M\tau)} \\ &\qquad +\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(\overline{\mu}) +\operatorname{Li}_2(\mu)}{2\pi i(N+M\tau)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим второй случай, иными словами, $|t|\leqslant 1$. Тогда по умолчанию для любого $0\leqslant x$ выполнено $\ln|t|/(2\pi M\operatorname{Im}\tau) \leqslant x$. Потому $|t\exp(2\pi i x(N+M\tau))|=|t|\exp(-2\pi Mx\operatorname{Im}\tau)\leqslant 1$. А значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty \ln|1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))|\,dx &=-\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n} \frac{\exp(2\pi i nx(N+M\tau))}{2\pi i n(N+M\tau)}\bigg|_0^\infty \\ & =\operatorname{Re} \frac{\operatorname{Li}_2(t)}{2\pi i(N+M\tau)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Замечание 5. По определению $|\mu|=1$ и $\operatorname{arg}\mu \in [0; 2\pi]$. Поэтому выполнено равенство Из леммы 4 следует, что при $M\neq 0$ и любом целом числе $N$ интеграл $F_{N,M}(t)$ может быть вычислен в явном виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_{0}^\infty \ln\bigl|\bigl(1-t\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr) \bigl(1-t^{-1}\exp(2\pi i x(N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad=\frac{\ln^2|t|}{4\pi M\operatorname{Im}\tau}-\frac{M\operatorname{Im}\tau \operatorname{Re}(\operatorname{Li}_2(\mu))}{\pi|N+M\tau|^2}, \qquad |t|\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Функция $\mu(t)$ переменной $t$ удовлетворяет соотношению $\mu(t^{-1})=\overline{\mu(t)}$, потому в случае $|t| \leqslant 1$ ответ остается тем же. Итак, из соотношения $\mu(tp^k)=\mu(t)\exp(-2\pi i k(N/M))$ для любого $t \in \mathbb{C}^\times$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1} \ln\bigl|\theta\bigl(t\exp(2\pi i x (N+M\tau)); p\bigr)\bigr|\,dx \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{M-1} \biggl(\frac{\ln^2|tp^k|}{4\pi M\operatorname{Im}\tau}-\frac{M\operatorname{Im}\tau \operatorname{Re}(\operatorname{Li}_2(\mu(tp^k)))}{\pi|N+M\tau|^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем наибольший общий делитель чисел $N$ и $M$, $D=\operatorname{\textrm{НОД}}(N,M)$, с общепринятым соглашением $\operatorname{\textrm{НОД}}(N,0)=N$ и $\operatorname{\textrm{НОД}}(0,M)=M$. Второе слагаемое можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=0}^{M-1} \operatorname{Li}_2(\mu(tp^k)) =\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{\exp(in\operatorname{arg}\mu(tp^k))}{n^2} \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{\exp(in\operatorname{arg}\mu-2\pi i knN/M)}{n^2} \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{\substack{n=1 \\ nN/M\in \mathbb{Z}}}^\infty \frac{\exp(in\operatorname{arg}\mu-2\pi i knN/M)}{n^2} \\ &\qquad=\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{r=1}^\infty \frac{\exp\bigl(ir(M/D)\operatorname{arg}\mu-2\pi i kr(M/D)(N/M)\bigr)}{(rM/D)^2} =\frac{D^2}{M} \operatorname{Li}_2(\mu^{M/D}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое очевидно равно выражению
$$
\begin{equation*}
\frac{\ln^2|t|}{4\pi \operatorname{Im}\tau} +\frac{\ln|t|\ln|p|}{4\pi \operatorname{Im}\tau}(M-1) +\frac{\ln^2|p|}{4\pi \operatorname{Im}\tau}\,\frac{(M-1)(2M-1)}{6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинация полученных выражений приводит к следующему результату для функции $F_{N,M}(t)$ (4.8) в случае $M>0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber F_{N,M}(t) &=\frac{\ln^2|t|}{4\pi\operatorname{Im}\tau}-\frac{(M-1)\ln|t|}{2} +\frac{(M-1)(2M-1)\pi\operatorname{Im}\tau}{6} \\ &\qquad -\frac{D^2\operatorname{Im}\tau}{\pi|N+M\tau|^2} \operatorname{Re}(\operatorname{Li}_2(\mu^{M/D})). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Преобразование $(N,M) \to (N/D,M/D)$ не влияет на первое и последнее слагаемые. Значит, данное выражение так же может быть использовано для получения формулы разности $F_{N,M}(t)-F_{N/D,M/D}(t)$, полученной ранее элементарными методами. Остается рассмотреть случай $M=0$. Поскольку $F_{N,0}(t)=F_{1,0}(t)$, то достаточно рассмотреть лишь функцию c $N=1$. Имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{1} \ln \bigl|\theta(\exp(2\pi i z); \exp(2\pi i\tau))\bigr|\,dx \\ &=\int_{0}^{1} \ln \biggl|\exp\biggl(-\frac{\pi i}{6}(\tau+3-\widetilde \tau)+\pi i \widetilde\tau z^2+\pi i(1-\widetilde\tau)z\biggr)\theta(\exp(2\pi i \widetilde \tau z); \exp(2\pi i\widetilde \tau))\biggr|\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\exp(2\pi i z)=t\exp(2\pi i x)$ и $\widetilde \tau=-1/\tau$. Используемое модулярное преобразование для тета-функции в универсальных переменных $\tau:=\omega_1/\omega_2$, $z:=u/\omega_2$ описывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\theta\biggl(\exp\biggl(-2\pi{i}\frac{u}{\omega_1}\biggr); \exp\biggl(-2\pi{i}\frac{\omega_2}{\omega_1}\biggr)\biggr) \\ &\qquad =\exp(\pi{i}B_{2,2}(u;\mathbf{\omega})) \theta\biggl(\exp\biggl(2\pi{i}\frac{u}{\omega_2}\biggr); \exp\biggl(2\pi{i}\frac{\omega_1}{\omega_2}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где по определению многочлен Бернулли второго порядка $B_{2,2}$ задается как
$$
\begin{equation*}
B_{2,2}(u;\omega_1,\omega_2)=\frac{u^2}{\omega_1\omega_2}-\frac{u}{\omega_1} -\frac{u}{\omega_2}+\frac{\omega_1}{6\omega_2}+\frac{\omega_2}{6\omega_1}+\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\exp(2\pi i \widetilde \tau z)=t^{\widetilde\tau}\exp(2\pi i \widetilde \tau x)$. Значит, из вычислений выше следует равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} \ln \bigl|\theta(t^{\widetilde\tau} \exp(2\pi i \widetilde \tau x);\exp(2\pi i\widetilde \tau))\bigr|\,dx =\frac{|\tau|^2}{4\pi \operatorname{Im}\tau}\biggl(\operatorname{Re}\biggl(\frac{\ln t}{\tau}\biggr)\biggr)^2-\frac{\operatorname{Im}\tau}{\pi}\operatorname{Re}(\operatorname{Li}_2(\mu)),
\end{equation*}
\notag
$$
где с учетом определений используется, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{arg}\mu=\operatorname{Im}\biggl(-\frac{\ln t}{\tau}\biggr) +\frac{\operatorname{Re}(-1/\tau)}{\operatorname{Im}(-1/\tau)} \ln \biggl|\exp\biggl(-\frac{\ln t}{\tau}\biggr)\biggr| =\frac{\ln|t|}{\operatorname{Im}\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} \ln \biggl|\exp\biggl(-\frac{\pi i}{6}(\tau+3-\widetilde \tau)+\pi i \widetilde\tau z^2+\pi i(1-\widetilde\tau)z\biggr)\biggr|\,dx =\frac{\pi}{6}\operatorname{Im}\tau+\frac{1}{2}\ln|t| -\operatorname{Im}\biggl(\frac{\ln^2 t}{4\pi\tau}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинация полученных результатов вычисления после упрощения приводит к выражению
$$
\begin{equation}
F_{1,0}(t)=\frac{\ln^2|t|}{4\pi \operatorname{Im}\tau}+\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{\pi}{6}\operatorname{Im}\tau -\frac{\operatorname{Im}\tau}{\pi} \operatorname{Re}\biggl(\operatorname{Li}_2 \biggl(\exp\biggl(i\frac{\ln|t|}{\operatorname{Im}\tau}\biggr)\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
что в силу равенства
$$
\begin{equation*}
\mu^{M/D}|_{M=0}=\exp\biggl(i\frac{\operatorname{Re}\ln \overline{t}}{\operatorname{Im}\tau}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
согласуется с формальной подстановкой параметров $(N,M)=(1,0)$ в полученное ранее равенство (4.14). Таким образом, формула (4.14) корректно определена для любых целых чисел $N,M \in \mathbb{Z}$. Вернемся к основной задаче вычисления интеграла (4.7). Функция (4.3) состоит из произведения равных чисел тета-функций в числителе и в знаменателе, потому второй член в выражении (4.9) сокращается. Из условия балансировки (4.1) следует сокращение вкладов слагаемых в третьем члене выражения (4.9), поскольку $\sum_{k=1}^r\ln |t_k/w_k|=0$. Это означает, что итоговое выражение не зависит от числа $D$,
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx =\int_{0}^{1} \ln \biggl|H\biggl(\exp\biggl(2\pi i x \biggl(\frac{N}{D}+\frac{M}{D}\tau\biggr)\biggr)\biggr)\biggr|dx.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Поэтому достаточно рассматривать случай $D=(M,N)=1$. Так уравнение балансировки приводит к сокращению второго и третьего членов при вычислении (4.14). Соответственно, рассматриваемые эллиптические гипергеометрические ряды имеют радиус сходимости
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \ln r_{c}^{-1} &=\int_{0}^{1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx =\frac{1}{4\pi\operatorname{Im}\tau}\sum_{k=1}^r \bigl(\ln^2|t_k|- \ln^2|w_k|\bigr)+ \\ &\qquad +\frac{\operatorname{Im}\tau}{\pi|N+M\tau|^2} \operatorname{Re}\sum_{k=1}^r \biggl(\operatorname{Li}_2\biggl(\exp\biggl(i\operatorname{Re} \frac{(N+M\tau)\ln \overline{w}_k}{\operatorname{Im}\tau}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad -\operatorname{Li}_2\biggl(\exp\biggl(i\operatorname{Re} \frac{(N+M\tau)\ln \overline{t}_k}{\operatorname{Im}\tau}\bigg)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
С учетом замечания 5 (см. (4.12)) второе слагаемое записывается как комбинация многочленов второй степени от функции дробной части $\arg z/2\pi$, где $z$ равно аргументам функций дилогарифма. Из чего следует теорема. Теорема 6. Радиус сходимости эллиптического гипергеометрического ряда $_{r+1} E_{r}$ с выбором параметра $t_0=q=\exp(2\pi i\chi (N+M\tau))$ для произвольного действительного иррационального числа $\chi $, взаимно простых чисел $N, M\in\mathbb Z$, $(N,M)=1$, и переменных $t_i, w_j$, не лежащих на прямой $q^{\mathbb{R}}$, задается выражением в котором $\{x\}$ обозначает функцию дробной части $x$. Рассмотрим вопрос о сходимости вполне уравновешенных эллиптических гипергеометрических рядов, возникающих в наиболее интересных приложениях. Данные ряды задаются условиями так что в качестве свободных остаются $r$ параметров, скажем, $t_1,\dots, t_r$, и $w_1$, ограниченных условием балансировки $\prod_{j=2}^rt_j=\nu t_1^{(r-2)/2}w_1^{r/2}$, $\nu=\pm 1$, а также переменные $z$, $q$ и $p$, имеющие качественно другой характер. Можно проверить, что каждое слагаемое ряда $_{r+1}E_r$ является эллиптической функцией относительно параметров $t_j$ и $w_1$, поскольку оно инвариантно относительно преобразований $t_j\to p^{n_j}t_j$, $w_1\to p^m w_1$, $n_j, m\in\mathbb{Z}$, сохраняющих условие балансировки. А именно, возникает условие в котором для четного $r$ и $\nu=1$ дискретные переменные $n_1$ и $m$ могут принимать любые целочисленные значения, а для четного $r$ и $\nu=-1$ или нечетных $r$ число $n_1+m$ должно быть четным. Инвариантность относительно замены $q\to pq$ встроена в конструкцию с самого начала. Поэтому чужеродной остается переменная $z$, поскольку она не лежит на эллиптической кривой с модулем $p$.Из двух условий, (4.20) и условия балансировки следует сокращение первого члена в выражении (4.19). Для анализа второго члена удобно использовать следующее представление параметров:
$$
\begin{equation}
t_j=q^{h_j} \exp\biggl(\varphi_j \frac{2\pi \operatorname{Im}\tau}{N\,{+}\,M\overline\tau}\biggr), \qquad w_j=q^{\widetilde{h}_j} \exp\biggl(\widetilde{\varphi}_j \frac{2\pi \operatorname{Im}\tau}{N\,{+}\,M\overline\tau}\biggr), \qquad h_j, \widetilde{h}_j, \varphi_j, \widetilde{\varphi}_j \,{\in}\, \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Переменные $\varphi_j$ и $\widetilde\varphi_j$ отвечают за расстояние до нулей и полюсов, задающихся параметрами $t_j$ и $w_j$ до прямой $q^\mathbb{R}$. Переменные $h_j$, $\widetilde{h}_j$, $\varphi_j$ и $\widetilde{\varphi}_j$ независимы (и подобны модулю и аргументу комплексного числа). Условия, которым они удовлетворяют, выражаются так:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varphi}_i+\varphi_i=\widetilde{\varphi}_j+\varphi_j, \qquad \widetilde{h}_i+h_i=\widetilde{h}_j+h_j, \qquad \sum_{k=1}^r\widetilde{\varphi}_k=\sum_{k=1}^r\varphi_k, \qquad \sum_{k=1}^r\widetilde{h}_k=\sum_{k=1}^r h_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Переменные $h_j$ и $\widetilde h_j$ не дают вклада в действительные части интересующих нас чисел, и радиус сходимости может быть записан как
$$
\begin{equation}
\ln r_{c}^{-1}=\frac{\pi\operatorname{Im}\tau}{|N+M\tau|^2} \sum_{k=1}^r (\{\widetilde{\varphi}_k\}-\{\varphi_k\})(\{\widetilde{\varphi}_k\}+\{\varphi_k\}-1).
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Легко увидеть, что условие $\{\varphi_k\}=\varphi_k$, $\{\widetilde{\varphi}_k\}=\widetilde{\varphi}_k$ для любого $k$ дает значение $r_c=1$. Рассмотрим частный случай, при котором выполнено $\{\varphi_k\}\neq\varphi_k$ для некоторого $k$. Выберем значения переменных $\varphi_i$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varphi_1=1+\frac{\varepsilon r}{2}, \qquad \varphi_2=\dots=\varphi_r=1-\varepsilon, \qquad \varepsilon >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Условия на тильдованные переменные разрешаются и дают явные выражения
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varphi}_j+\varphi_j=\frac{2}{r}\sum_{k=1}^r\varphi_k, \qquad \widetilde{\varphi}_1=1-\varepsilon \biggl(1-\frac{2}{r}+\frac{r}{2}\biggr), \qquad \widetilde{\varphi}_2=\dots=\widetilde{\varphi}_r=1+\frac{2\varepsilon}{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь специальную параметризацию переменной $\varepsilon$
$$
\begin{equation*}
\varepsilon=\frac{k+1}{r/2+\lambda}, \qquad k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0},
\end{equation*}
\notag
$$
в которой число $\lambda$ удовлетворяет условиям При этом возникают ограничения Потребуем дополнительно $k+1 \leqslant r/2$. В этом случае $\varepsilon < 1$ и $k+1 < r/2+\lambda$. Поскольку $\lambda < 1$, имеем неравенство $r/2-k\lambda > 0$. После сложения обеих частей неравенства с числом $kr/2$ и деления на число $\lambda+r/2$ приходим к ключевому соотношению $\varepsilon r/2>k$, или $\varphi_1>k+1$. Это вычисление демонстрирует, что $\{\varphi_1\}=\varepsilon r/2-k$. Значит, $\widetilde{\varphi}_1=1-\varepsilon(r/2+1-2/r)$. Также имеем $0<\varepsilon (-\lambda+(1- 2/r)) < 1$. Таким образом, выполнено равенство $\{\widetilde{\varphi}_1\}=\widetilde{\varphi}_1+k+1$. Помимо того, при $j>1$ верно $\{\varphi_j\}=\varphi_j$ и $\{\widetilde{\varphi}_j\}=\widetilde{\varphi}_j-1$. В результате прямое вычисление демонстрирует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ln r_{c}^{-1} =\frac{ \varepsilon\pi\operatorname{Im}\tau}{|N+M\tau|^2} \biggl(2\lambda+ \biggl(\frac{2}{r}-1\biggr)(2k+4-r)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Выбор параметра $k=[(r-2)/2]$ дает значение радиуса большее $1$ для четных $r$. В том случае, если $r$ – нечетное число, значение радиуса $r_c>1$ возникает при ограничении на переменную $\lambda$ вида $0< 2\lambda < 1-2/r$. Иными словами, существуют глубоко нетривиальные примеры вполне уравновешенных эллиптических гипергеометрических рядов с радиусом сходимости, большим $1$. Это важное заключение, поскольку именно случаи $z=\pm 1$ наиболее часто возникают в контексте приложений (см. ниже). То же значение радиуса сходимости $r_c>1$ возникает в случаях $q^b=p^M$ (4.6) при условии $|R|<1$. Пусть $r$ четно, $r=2m$ и $\nu=1$. Освободимся от условия балансировки, зафиксировав $t_r=t_1^{m-1}w_1^m/\prod_{j=2}^{r-1}t_j$. Рассмотрим сходящийся вполне уравновешенный ряд для фиксированного $z$, возникающий в этом случае как аналитическое продолжение по свободным параметрам:
$$
\begin{equation*}
f(t_1,\dots,t_{r-1},w_1)=\sum_{k=0}^\infty \prod_{n=0}^{k-1} h(n)z^k, \qquad h(n)=\prod_{j=1}^{r} \frac{\theta(t_jq^n;p)}{\theta((t_1w_1/t_j)q^n;p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перед нами функция, инвариантная относительно сдвигов аргумента на $p$ по всем переменным:
$$
\begin{equation*}
f(t_1,\dots, pt_j,\dots,w_1)=f(t_1,\dots, t_{r-1}, pw_1)=f(t_1,\dots,t_{r-1},w_1),
\end{equation*}
\notag
$$
тем не менее рассматриваемая функция не является эллиптической, поскольку не является мероморфной. Например, как функция от переменной $t_k$ при фиксированном $k\in\{2,\dots, r-1\}$ она имеет естественные границы для аналитического продолжения при $t_k=t_1w_1q^\mathbb{R}p^n$ и $t_k=t_1^{m-2}w_1^{m-1}q^\mathbb{R}p^n/\prod_{j=2, \neq k}^{r-1}t_j$ для целого числа $n\in\mathbb{Z}$. Как функция переменных $t_1$ или $w_1$ она имеет более богатый набор естественных границ для аналитического продолжения.
§ 5. Общий случай $t_0\neq q$В дальнейшем опустим условие $t_0=q$, введенное ранее для общих $_{r+1}E_r$-рядов. Условие балансировки означает, что, как и в предыдущем случае, функция $H(u)$ от переменной $u=\exp(2\pi i x)$ является эллиптической относительно аргумента $x$ с фундаментальными периодами $\{1,\tau\}$. Нули рассматриваемой функции расположены в точках $u=t_{i}^{-1}p^{\mathbb{Z}}$, $i=0,\dots,r$, тогда как полюсы – в точках $u=w_{j}^{-1}p^{\mathbb{Z}}$, $j=1,\dots, r$. Рассмотрим любую пару целых чисел $N$ и $M$ такую, что прямая, проведенная между точками $x=0$ и $x=N+M\tau$, не содержит ни нулей, ни полюсов данной функции. Рассмотрим действительное число $\chi \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ и положим Ограничимся рассмотрением иррациональных чисел $\chi $ в силу того, что функция $H(u)$ имеет полюс в точке $u=q^{-1}$. Особенность функции $H(u)$ имеет регулярный тип, более того, функция $\ln |H(\exp(2\pi i x (N+M\tau)))\sin(\pi (x+\chi ))|$ как функция на единичном интервале непрерывна на нем. Значит, данная функция удовлетворяет условиям теоремы Вейля о равномерно распределенных последовательностях, что в свою очередь для произвольного иррационального числа $\chi $ влечет существование предела
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i k\chi (N+M\tau))\bigr) \sin\bigl(\pi ((k+1)\chi )\bigr)\bigr| \\ &\qquad =\int_{0}^{1} \ln \bigl|H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\sin\bigl(\pi (x+\chi )\bigr)\bigr| \,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Заключения, полученные Харди и Литтлвудом (см. [5]), позволяют упростить рассматриваемый предел в тех случаях, когда знаменатели Паде аппроксимации иррациональных чисел, участвующих в конструкции, удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\limsup_{k\to\infty} \frac{\ln q_{k+1}}{q_k}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \liminf_{n \to \infty} \bigl|1-\exp(2\pi i n\chi)\bigr|^{1/n}=1.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Данное условие выполнено для почти всех иррациональных чисел. Поэтому для любого такого $\chi $ множитель с функцией $\sin$ в уравнении (5.1) может быть опущен, а значит,
$$
\begin{equation*}
r_{c}^{-1}:=\lim_{n \to \infty} \bigl(|H(1)\dotsb H(q^{n-1})|\bigr)^{1/n} =\exp\biggl(\int_{0}^{1} \ln\bigl |H\bigl(\exp(2\pi i x (N+M\tau))\bigr)\bigr|\,dx \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, вычисления предыдущего параграфа находят применение в новых условиях – достаточно включить индекс $k=0$ в область суммирования и учесть, что $w_0=q$. Это дает результат, дополняющий утверждение теоремы 6,
$$
\begin{equation*}
\ln r_{c}^{-1}=\sum_{k=0}^r \biggl(\frac{\ln^2|t_k|- \ln^2|w_k|}{4\pi\operatorname{Im}\tau}+ \frac{\pi\operatorname{Im}\tau}{|N+M\tau|^2} \bigl(\alpha_k(\alpha_k-1)-\beta_k(\beta_k-1)\bigr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_k:=\biggl\{ \frac{\operatorname{Re}((N+M\tau)\ln \overline{w}_k)}{2\pi\operatorname{Im}\tau}\biggr\}, \qquad \beta_k:=\biggl\{ \frac{\operatorname{Re}((N+M\tau)\ln \overline{t}_k)}{2\pi\operatorname{Im}\tau}\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\{x\}$ обозначает функцию дробной части $x$. Условие $\operatorname{Re}((N+M\tau)\ln \overline{q})=0$ влечет $\alpha_0=0$, поэтому эта формула может быть частично упрощена. Отдельного рассмотрения требует поведение изучаемых конструкций в пределе $p\to 0$. При приближении $p$ к $0$ выражение, используемое для $q=\exp(2\pi i \chi (N+M\tau))$, становится абсурдным в случае $N, M>0$. Требование, чтобы число $(1/(2\pi i))\ln q$ принадлежало прямой, проходящей через точки $x=0$ и $x=N+M\tau$, в интересующем пределе вынуждает наложить следующие ограничения. Поскольку $\operatorname{Im}\tau\to\infty$, при $M\neq 0$ рассматриваемая прямая становится вертикальной прямой с “блуждающей” по ней последовательностью точек $q^n$. Потому $\operatorname{Re}((1/(2\pi i))\ln q)=0$, или $q=\exp(-2\pi \chi)$ для некоторого $\chi \in \mathbb{R}^\times$. В то же время при $M=0$ последовательность $q^n$ “блуждает” по прямой $\operatorname{Im}x=0$, или, другими словами, выполняется условие $q=\exp(2\pi i \eta)$ для некоторого числа $\eta \in \mathbb{R}$. В первом случае условие на параметры $(1/(2\pi i))\ln t_i$ и $(1/(2\pi i))\ln w_i$, $i=1,\dots, r$, не лежать на вертикальном луче, содержащем точки $(x/(2\pi i))\ln q$ для $x\leqslant 0$, можно ослабить. Следующего стандартного условия оказывается достаточно:
$$
\begin{equation}
t_j,w_j\neq q^l, \qquad l\in \mathbb{Z}_{\leqslant 0}, \quad j=0,\dots, r.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Во втором случае предполагается условие, что ни один нуль и ни один полюс не лежит на единичном интервале. Поведение рассматриваемых последовательностей (а значит, и интегралов) в приближении $p$ к $0$ описывается следующим образом. Поскольку функция $H(u)$ имеет пределом
$$
\begin{equation*}
H_0(u) :=\lim_{p\to 0} H(u)=\frac{(1-ut_0)(1-ut_1)\dotsb(1-ut_r)}{(1-uq)(1-uw_1)\dotsb(1-uw_r)},
\end{equation*}
\notag
$$
в случае $M\neq 0$ последовательность $H_0(q^n)$ оказывается ограниченной. Случай $M=0$ и $t_0=q=\exp(2\pi i \eta)$ с выбором рационального $\eta$ также тривиален. Случай $M=0$ и $t_0=q=\exp(2\pi i \eta)$ с выбором иррационального $\eta$ приводит к пределу
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \ln|H_0(q^k)|=\int_{0}^{1} \ln|H_0(\exp(2\pi i x))|\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в случае $M=0$ и $t_0 \neq q=\exp(2\pi i \eta)$ переменная $\eta$ предполагается иррациональной по умолчанию вследствие наличия особенности у функции $H_0(u)$ в точке $u=q^{-1}$. Для тех иррациональных $\eta$, что удовлетворяют уже хорошо знакомым условиям на знаменатели аппроксимации Паде существует тот же предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} (|H_0(1)\cdots H_0(q^{n-1})|)^{1/n}=\exp\biggl(\int_{0}^{1} \ln |H_0(\exp(2\pi i x))|\,dx\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку мы ограничиваемся выбором $M=0$, единственной функцией $F_{N,M}(t)$, чье поведение в пределе требует рассмотрения, является $F_{N,0}(t)=F_{1,0}(t)$. Положим $C=[\ln|t|/(2\pi \operatorname{Im}\tau)]$, где $[x]$ обозначает функцию целой части $x$. Используя замечание (4.12) и подстановку
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{\ln|t|}{2\pi \operatorname{Im}\tau}\biggr\} =\frac{\ln|t|}{2\pi \operatorname{Im}\tau}-C
\end{equation*}
\notag
$$
в равенство (4.16), получаем точное выражение
$$
\begin{equation*}
F_{1,0}(t)=(C+1)\ln|t|-C(C+1)\pi\operatorname{Im}\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Для достаточно большого $\operatorname{Im}\tau$ выполнено равенство $C=0$ в том случае, если $\ln|t| > 0$, и $C=-1$, когда $\ln|t|<0$, а потому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{p\to 0} F_{1,0}(t) =\begin{cases} 0, & \text{если}\ |t|\leqslant 1, \\ \ln|t|, & \text{если}\ |t|>1, \end{cases} \equiv\int_{0}^{1} \ln |1-te^{2\pi ix}|\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому возникновение функции $H_0(u)$ под знаком интеграла оказывается совершенно оправданным. Основные применения эллиптические гипергеометрические функции находят в образе совершенно уравновешенных рядов (см. [8])
$$
\begin{equation}
{}_{r+1}V_{r}(t_0;t_1,\dots,t_{r-4};q,p):=\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_0q^{2n};p)}{\theta(t_0;p)}\prod_{m=0}^{r-4} \frac{\theta(t_m;p;q)_n}{\theta(qt_0t_m^{-1};p;q)_n}q^n
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
с условием балансировки
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^{r-4}t_k=\nu t_0^{(r-5)/2}q^{(r-7)/2}, \qquad \nu=\pm 1,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
в котором при нечетных $r$ полагается $\nu=1$. Данная функция получается из общих эллиптических гипергеометрических $_{r+1}E_r$-рядов наложением условий вполне уравновешенности $qt_0=t_jw_j$, $j=1,\dots, r$, и пяти дополнительных ограничений
$$
\begin{equation}
t_{r-3}=qt_0^{1/2}, \quad t_{r-2}=-qt_0^{1/2}, \quad t_{r-1}=q\biggl(\frac{t_0}p\biggr)^{1/2}, \quad t_r=-q(pt_0)^{1/2}, \qquad z=-1,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
приводящих к соотношению
$$
\begin{equation*}
\prod_{j=r-3}^r \frac{\theta(t_jq^n;p)}{\theta(t_0q^{n+1}/t_j;p)}z^n =\frac{\theta(t_0q^{2n};p)}{\theta(t_0;p)}q^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому функция $H(u)$, определяющая частное двух соседних членов в ряду $_{r+1}E_r$, $c_{n+1}/c_n=H(q^n)z$, принимает следующую форму:
$$
\begin{equation}
H(u)=-q\frac{\theta(t_0q^2u^2;p)}{\theta(t_0u^2;p)} \prod_{j=0}^{r-4} \frac{\theta(t_ju;p)}{\theta(qt_0u/t_j;p)}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
с условием балансировки, переформулированным как $q^4\prod_{k=0}^{r-4}t_k=\prod_{k=0}^{r-4}w_k$ с $w_0=q$, а потому приводит к уже известному соотношению (5.6) (примечание: выбор $\nu=1$ для нечетных $r$ является специальным соглашением, см. [8]). Ограничения на переменные $t_j$ содержат квадратные корни переменной $t_0$ и зависят от переменной $q$. Потому не очевидно, что все члены в ряду (5.5) являются эллиптическими функциями всех своих параметров, включая $q$. Тем не менее это так, что следует из прямой проверки инвариантности относительно преобразований $t_j\to q^{n_j}t_j$, $j=0,\dots, r-4$, и $q\to p^m q$, где целые числа $n_j$ и $m$ удовлетворяют условию балансировки
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{r-4}n_j=\frac{r-5}{2}\, n_0+\frac{r-7}{2}\, m.
\end{equation*}
\notag
$$
Исследование сходимости бесконечных $_{r+1}V_r$-рядов вовсе не обязывает использовать ограничения (5.7) в общей формуле для радиуса сходимости (5.3), достаточно применения теоремы Вейля о равномерно распределенных последовательностях к функции (5.8). Среди аргументов тета-функции в первом частном содержится $u^2$, потому следует провести вычисления для выражения $F_{N,M}(q^2t_0)-F_{N,M}(t_0)$, используя формулу (4.14) с выбором $D=2$. Отметим, однако, что $\operatorname{Re}\bigl((N+M\tau)\ln \overline{q^2t_0}\bigr)=\operatorname{Re}\bigl((N+M\tau)\ln \overline{t_0}\bigr)$ и части выражений, содержащих функцию дилогарифма $\textrm{Li}_2$, в (4.14) сокращаются:
$$
\begin{equation*}
F_{N,M}(q^2t_0)-F_{N,M}(t_0)= \frac{\ln^2|q^2t_0|-\ln^2|t_0|}{4\pi\operatorname{Im}\tau}-\frac{M-1}{2}\ln\frac{|q^2t_0|}{|t_0|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад прочих тета-функций в выражении (5.8) в радиус сходимости выглядит так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=0}^{r-4} (F_{N,M}(t_k)-F_{N,M}(w_k)) &=\frac{1}{4\pi\operatorname{Im}\tau} \ln\biggl|\prod_{k=0}^{r-4}\frac{t_k}{w_k}\biggr| \ln|qt_0| -\frac{M-1}{2}\ln\biggl|\prod_{k=0}^{r-4}\frac{t_k}{w_k}\biggr| \\ &\qquad +\frac{\pi\operatorname{Im}\tau}{|N+M\tau|^2}\sum_{k=0}^{r-4} (\alpha_k(\alpha_k-1)-\beta_k(\beta_k-1)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\alpha_k$, $\beta_k$, определенных в (5.3). Сложение двух рассмотренных выражений с учетом вклада $\ln|q|$ из члена, содержащего $q^n$ в ряду $_{r+1}V_r$, применение условия балансировки (5.6) и замена переменных (4.21) приводят к следующему выражению:
$$
\begin{equation}
\ln r_{c}^{-1}=M\ln|q|+\frac{\pi\operatorname{Im}\tau}{|N+M\tau|^2} \sum_{k=0}^{r-4} (\{\widetilde{\varphi}_k\}-\{\varphi_k\})(\{\widetilde{\varphi}_k\}+\{\varphi_k\}-1).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
В уравнении (5.9) из равенства $w_0=q$ следует условие $\widetilde \varphi_0=0$. Потому выполнено
$$
\begin{equation*}
\varphi_0=\varphi_k+\widetilde \varphi_k, \quad k=1,\dots, r-4, \qquad \sum_{k=0}^{r-4} \varphi_k=\sum_{k=0}^{r-4}\widetilde \varphi_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство следует из соотношения $\prod_{k=0}^{r-4}t_k/w_k=q^{-4}$. Рассмотрим случай $\{\varphi_k\}=\varphi_k$, $k=0,\dots, r-4$. Комбинация слагаемых в уравнении (5.9), зависящих от $\varphi_k$ и $\widetilde \varphi_k$, оказывается равной нулю, и результат выражается равенством $\ln r_{c}^{-1}=M\ln|q|$. Поскольку при $M>0$ всегда $|q|<1$, имеем $r_c=|q|^{-M}>1$. Говоря иначе, бесконечный совершенно уравновешенный $_{r+1}V_r$-ряд (5.5) сходится при условиях на $q$ (4.4) и (5.2) и параметрах $\varphi_k$, $\widetilde \varphi_k$ (определенных в равенствах (4.21)) из области $0\leqslant \varphi_k$, $\widetilde \varphi_k<1$, $\varphi_k+\widetilde \varphi_k<1$, $k=1,\dots,r-4$. От выражения $q^n\theta(t_0q^{2n};p)/\theta(t_0;p)$, т.е. совершенно уравновешенной части ряда $_{r+1}V_r$, можно избавиться специальным выбором пяти параметров. А именно, присвоив переменным $w_{r-7},\dots, w_{r-4}$ значения $\pm qt_0^{1/2}$, $ q(t_0/p)^{1/2}$, $-q(pt_0)^{1/2}$ и положив $t_{r-8}=q$. Если к тому же переобозначить $qt_0=t_1w_1$, возникает ряд, рассмотренный в предыдущем параграфе, с выбором параметров $z=-1$ и с количеством переменных $r$, сниженном до $r-9$. Итак, вполне уравновешенный ряд с радиусом сходимости, большим $1$ (см. (4.23)), может быть рассмотрен как отдельный пример сходящегося $_{r+1}V_r$-ряда. Можно поступить иначе, рассмотрев только одно ограничение $t_0=q$ (так выполнено $t_kw_k=q^2$, $k=1,\dots,r-4$), что делает возможным выбор $\chi$ в качестве рационального числа (см. (4.6)), что в свою очередь приводит к $_{r+1}V_r$-ряду, немногим сложнее геометрического с величиной $|R|<1$. Все приведенные примеры позволяют поставить вопрос: выводимы ли результаты явных вычислений эллиптического бета-интеграла и его многомерных обобщений [11] через некоторые тождества, использующие бесконечные эллиптические гипергеометрические ряды (с подходящими ограничениями на параметры), аналогичных формулам суммирования для необрывающихся совершенно уравновешенных сбалансированных $_8\varphi_7$-рядов (см. [3]) и их обобщений на многократные суммы? Проведенный анализ сходимости эллиптических гипергеометрических рядов использовал условия на параметр $q$, обеспечивающие отсутствие сингулярностей в коэффициентах рассмотренных рядов, задающихся параметрами $t_k$ и $w_k$, на конкретных прямых в комплексной области. В случае выбора параметров $p$ и $q$ в общем положении последовательность точек $q^n$, $n\to\infty$, оказывается неотделимой от полюсов $H$-функции, и в этом случае встает вопрос, насколько полезным может быть применение двумерного аналога теоремы Вейля о равномерно распределенных последовательностях. Вопрос остается открытым и требует отдельного детального рассмотрения. § 6. Частные случаиВ качестве примеров для изучения вопросов сходимости рассмотрим простейшие случаи тета-гипергеометрических рядов. В примерах, встречающихся далее, полагается $|q|\neq 1$. Рассмотрение случаев $q=\exp(2\pi i \chi)$ для $\chi \in\mathbb R$ требует более тонкого анализа с учетом оценок на $\lim\inf_{n\to\infty}|(q;q)_n|>0$, полученных в качестве результатов в [4] для алгебраических чисел $\chi $, и, в частности, золотого сечения. $\bullet$ $_{0} E_0$-ряд:
$$
\begin{equation*}
_{0} E_0( -; q, p\mid z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\theta(q; p; q)_n}, \qquad 0 < |p| < 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Стоит отметить, что данный ряд может быть рассмотрен как тета-функциональный аналог одной из $q$-экспоненциальных функций Эйлера (см. [1], [3])
$$
\begin{equation*}
_{0} E_0(-;q, 0 \mid z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q; q)_n}=\frac{1}{(z;q)_\infty}, \qquad |z|<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Частное соседних членов ряда $_{0} E_0$ равно $z/\theta(q^n; p)$, а потому корректная определенность ряда требует введения ограничений $q^k\neq p^l$ для некоторых чисел $k, l \in \mathbb{Z}$. Из трансформационных свойства тета-функций (2.4) следует, что для понимания общей картины требует проверки лишь случай $0 < |q| <1$. Возьмем положительное действительное число $\alpha=\ln |q|/\ln |p|$. Для любого положительного целого числа $n$ определим $N_n=[n\alpha]$, так что $\{n\alpha\}=n\alpha - N_n$. Значит,
$$
\begin{equation*}
|\theta(q^n; p)|=|\theta(p^{N_n} q^n p^{-N_n}; p)| =| q^{-nN_n}p^{\binom{N_n+1}{2}} \theta(q^n p^{-N_n}; p)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
|q^n p^{-N_n}|=|q|^n |p|^{-N_n}= \exp(n\ln |q|- [n\alpha] \ln |p|)=|p|^{\{n\alpha\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
К тому же $|p|<1$, т.е. $\ln |p| < 0$, и поэтому $|p|< |p|^{\{n\alpha\}} \leqslant 1$. Простейшая оценка $|1-u| \geqslant 1-|u|$ приводит к следующей цепочке неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |\theta(q^n; p)| & \geqslant |q|^{-nN_n} |p|^{\binom{N_n+1}{2}}(1-|p|^{\{n\alpha\}})(1-|p|^{1-\{n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2\\ \nonumber & \geqslant |p|^{-N_n^2-N_n\{n\alpha\}+\binom{N_n+1}{2}}(1-|p|^{\{n\alpha\}})(1-|p|^{1-\{n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2 \\ \nonumber & \geqslant |p|^{-N_n\{n\alpha\}-\binom{N_n}{2}}(1-|p|^{\{n\alpha\}})(1-|p|^{1-\{n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2 \\ & \geqslant |p|^{-\binom{N_n}{2}}(1-|p|^{\{n\alpha\}})(1-|p|^{1-\{n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Рассмотрим случай, когда $\alpha$ является рациональным числом, $\alpha=a/b$. Вспомним, что $q^b\neq p^a$, однако равенство $|q|^b=|p|^a$ может быть выполнено и достигается в случае, когда $a$ и $b$ – некоторые взаимно простые числа. Если $n$ взаимно просто с $b$, то $(b-1)/b \geqslant \{n\alpha\}=k/b \geqslant 1/b$. Потому выполнено неравенство $|p|^{1-1/b}\leqslant |p|^{\{n\alpha\}} \leqslant |p|^{1/b}$, и оценка (6.1) может быть записана следующим образом:
$$
\begin{equation*}
|\theta(q^n; p)| \geqslant |p|^{-\binom{N_n}{2}}(1-|p|^{1/b})(1-|p|^{1-(1-1/b)})(|p|; |p|)_\infty^2 > (1-|p|^{1/b})^2(|p|; |p|)_\infty^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В том случае, если $b|n$, или, другими словами, $n=bk$, $N_n=[bka/b]=ka$. Кроме того $\{ka\}=0$, а значит, $|q^n p^{-N_n}|=|q^{kb} p^{-ka}|=1$. Потому выполняется следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\theta(q^{bk}; p)| &=|p^{-\binom{ka}{2}} \theta(q^{kb} p^{-ka}; p)| \\ &=|p^{-\binom{ka}{2}} 2\sin(\pi k \sigma)(p\exp(2\pi i k\sigma); p)_\infty (p \exp(-2\pi i k\sigma); p)_\infty| \\ &\geqslant|p^{-\binom{ka}{2}} 2\sin(\pi k \sigma)|(|p|; |p|)_\infty^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в которой используется представление $q^{b} p^{-a}= \exp(2\pi i \sigma)$ для некоторого числа $\sigma \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (напомним, что в случае, если $\sigma \in \mathbb{Q}$, ряд не может быть корректно определен). Функция $|{\sin(\pi k \sigma)}|$ 1-периодична относительно $\sigma$ и, более того, $|{\sin(\pi k \sigma)}|=|{\sin(\pi \{k \sigma\})}|=|{\sin(\pi \{-k \sigma\})}|$. Функция дробной части обладает свойством $\{x\}+\{-x\}=1$ для $x \notin \mathbb{Z}$, а значит, $0 < \{x\} \leqslant 1/2 \Leftrightarrow 1/2 \leqslant \{-x\} < 1$. Выбрав подходящий знак и используя неравенство $|{\sin(\pi x)}|\geqslant x/2$ для аргумента $0\leqslant x \leqslant 1/2$, получаем результирующую оценку
$$
\begin{equation*}
|\theta(q^{bk}; p)| \geqslant|p|^{-\binom{ka}{2}}\{\pm k\sigma\}(|p|; |p|)_\infty^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь только те иррациональные числа, для которых выполнено условие
$$
\begin{equation*}
\exists\, C(\sigma)>0\colon \inf_{k\in \mathbb{Z}_{>0}} |p|^{-\binom{ka}{2}}\{\pm k\sigma\} > C(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве примера подходит любое иррациональное алгебраическое число или $\pi$, или любое другое число $\sigma$ такое, что знаменатели его аппроксимации Паде удовлетворяют условию
$$
\begin{equation*}
\limsup_{k\to \infty} \frac{\ln q_{k+1}}{q_k^2} < -\frac{a^2}{2} \ln |p|.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае ряд сходится в области
$$
\begin{equation*}
|z|<\min(C(\sigma), (1-|p|^{1/b})^2)(|p|; |p|)_\infty^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что число $\alpha$ иррационально. В этом случае можно записать оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\theta(q^n; p)| &\geqslant |p|^{-\binom{N_n}{2}}(1-|p|^{\{n\alpha\}})(1-|p|^{\{-n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2 \\ &\geqslant |p|^{-\binom{N_n}{2}}(-\{n\alpha\}\ln|p||p|^{\{n\alpha\}}) (-\{-n\alpha\}\ln|p||p|^{\{-n\alpha\}})(|p|; |p|)_\infty^2 \\ &>|p|^{-\binom{n\alpha-1}{2}}\{n\alpha\}\{-n\alpha\}|p|\ln^2|p|(|p|; |p|)_\infty^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в последней строке использовано неравенство $N_n > n\alpha-1$. Рассмотрим вновь только те иррациональные числа, что обладают свойством
$$
\begin{equation*}
\exists\, C(\alpha)>0\colon \inf_{n\in \mathbb{Z}_{>0}} |p|^{-\binom{n\alpha-1}{2}}\{n\alpha\}\{-n\alpha\} > C(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
в качестве примера может быть рассмотрено любое иррациональное алгебраическое число или $\pi$. Любое число $\alpha$ такого вида подходит, и ряд, представляющий интерес, сходится в окрестности $\bullet$ $_{1} E_0$-ряд:
$$
\begin{equation*}
_{1} E_0\biggl(\begin{matrix} t_0 \\ - \end{matrix}; q, p\biggm|z\biggr)= \sum_{n=0}^\infty \frac{\theta(t_0; p; q)_n}{\theta(q; p; q)_n}z^n, \qquad 0 < |p| < 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Стоит отметить, что рассматриваемый ряд является тета-функциональным аналогом ряда, встречающегося в левой части $q$-биномиальной теоремы (см. [1], [3]),
$$
\begin{equation*}
_{1} E_0\biggl(\begin{matrix} t_0 \\ - \end{matrix}; q, 0\biggm|z\biggr)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(t_0;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\frac{(t_0 z;q)_\infty}{(z;q)_\infty}, \qquad 0<|q|<1, \quad |z|<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Частное соседних членов ряда $_{1} E_0$ равно $z\theta(t_0q^{n-1};p)/\theta(q^n;p)$, а потому корректно определено при условии $q^k\neq p^l$ для некоторых чисел $k,l \in \mathbb{Z}$. Положим вновь $\alpha=\ln|q|/\ln|p|$. Для произвольного положительного целого числа $n$ определим $N_n=[n\alpha]$, так что $|q^n p^{-N_n}|=|p|^{\{n\alpha\}}$. Тогда из уравнения (2.4) следует равенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\theta(t_0q^{n-1};p)}{\theta(q^n;p)}\biggr|=|qt_0^{-1}|^{N_n} \biggl|\frac{\theta(t_0q^{n-1}p^{-N_n};p)}{\theta(q^np^{-N_n};p)}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Используемый далее порядок действий будет тем же, что и в предыдущем примере. Пусть $\alpha$ – рациональное число. Напомним, что $q^b \neq p^a$, однако равенство $|q|^b=|p|^a$ может быть выполнено и достигается в том случае, когда $a$, $b$ – некоторые взаимно простые числа. Если $n$ взаимно просто с $b$, то $(b-1)/b \geqslant \{n\alpha\} \geqslant 1/b$. Потому $|p|^{1-1/b} \leqslant |p|^{\{n\alpha\}} \leqslant |p|^{1/b}$. Кроме того, модуль тета-функции ограничен сверху в фундаментальной области некоторой константой $S$. Потому имеется следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\theta(t_0q^{n-1}p^{-N_n};p)}{\theta(q^np^{-N_n};p)}\biggr| \leqslant \frac{|\theta(t_0q^{n-1}p^{-N_n};p)|}{(1-|p|^{1/b})^2 (|p|;|p|)_\infty^2} \leqslant \frac{ S}{(1-|p|^{1/b})^2 (|p|;|p|)_\infty^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $b|n$, т.е. $n=bk$, то $N_n=ka$. Так же $\{k\alpha\}=0$, а значит, $|q^n p^{-N_n}|=|q^{kb}p^{-ka}|=1$. Потому выполнено следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\theta(t_0q^{kb-1};p)}{\theta(q^{kb};p)}\biggr| \leqslant \frac{1}{2}|qt_0^{-1}|^{ka}\frac{|\theta(t_0q^{-1}\exp(2\pi i \sigma k);p)|}{|\sin(\pi k\sigma)| (|p|;|p|)_\infty^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В данной оценке использовалась параметризация $q^bp^{-a}=\exp(2\pi i \sigma)$ для числа $\sigma \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Рассмотрим теперь такое $t_0$, что выполнено следующее условие:
$$
\begin{equation*}
\exists\, C(\sigma, t_0) >0\colon \inf_{k\in\mathbb{Z}_{>0}} |qt_0^{-1}|^{-ka} |\{\pm k\sigma\}| > C(\sigma, t_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Такое $t_0$ найдется всегда среди достаточно “хороших” иррациональных чисел. Для примера заметим, что можно положить $t_0=eq$ или $2q$ для подходящего иррационального числа $\sigma$. Любая пара ($t_0, \sigma$) такого вида подходит, и выполнена следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\theta(t_0q^{kb-1};p)}{\theta(q^{kb};p)}\biggr| \leqslant \frac{|\theta(t_0q^{-1}\exp(2\pi i \sigma k);p)|}{C(\sigma, t_0)(|p|;|p|)_\infty^2} \leqslant \frac{S}{C(\sigma, t_0)(|p|;|p|)_\infty^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, ряд сходится в окрестности
$$
\begin{equation*}
|z| < \min ( (1-|p|^{1/b})^2, C(\sigma, t_0))S^{-1}(|p|;|p|)_\infty^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим другой случай, когда $\alpha$ – иррациональное число. Запишем $q^n p^{-N_n}=|p|^{\{n\alpha\}} \exp(2\pi i r_n)$ для некоторых действительных чисел $r_n$. Модуль тета-функции в числителе ограничен сверху. Также выполнено условие $1-|p|^{\{n\alpha\}} \geqslant |p|^{\{n\alpha\}}(-\ln|p|)\{n\alpha\}$. Потому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{\theta(t_0q^{n-1};p)}{\theta(q^n;p)}\biggr| &\leqslant \frac{|qt_0^{-1}|^{N_n}|\theta(t_0q^{-1} |p|^{n\alpha} \exp(2\pi i r_n);p)|}{\{n\alpha\}\{-n\alpha\}|p|\ln^2|p| (|p|;|p|)_\infty^2} \\ &\leqslant \frac{|qt_0^{-1}|^{N_n} S}{\{n\alpha\}\{-n\alpha\}|p|\ln^2|p| (|p|;|p|)_\infty^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем теперь $t_0$ такое, что выполнено следующее условие:
$$
\begin{equation*}
\exists\, C(\alpha, t_0) >0\colon \inf_{n\in\mathbb{Z}_{>0}} |qt_0^{-1}|^{-N_n} |\{n\alpha\}\{-n\alpha\}| > C(\alpha, t_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Любая пара ($t_0, \alpha$) такого вида подходит, и ряд сходится в окрестности, задающейся условием
$$
\begin{equation*}
|z| < C(\alpha, t_0) S^{-1}|p|\ln^2|p|(|p|;|p|)_\infty^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KroSpi23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|