Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай

Исследуются вопросы строения образа ${\rm Im}f'$ производной всюду дифференцируемого отображения $f:\Delta\to X$, где $X$ – метризуемое локально выпуклое пространство и $\Delta$ – область пространства $\mathbb R^n$. Для этой цели вводится следующее понятие: множество $U\subset X$ называется слабо связным, если его нельзя представить в виде объединения $U=\bigcup\limits_{t\in T}U_t$ семейства множеств $U_t$ таких, что $U_t\ne U$, $U_t\cap\rm cl(U\setminus U_t)=\emptyset$ для каждого $t\in T$ и $U_{t_1}\cap\rm cl\rm co U_{t_2}=\emptyset$, если $t_1, t_2\in T$ и $t_1\ne t_2$. Доказана теорема о том, что образ ${\rm Im}f'$ производной вышеописанного отображения является слабо связным множеством в пространстве $X^n$. При наложении некоторых дополнительных условий установлена и обратная теорема, а именно: если $G$ – непустой слабо связный компакт в пространстве Фреше $X$, который является к тому же локально слабо связным множеством, то тогда $G$ есть образ производной некоторого дифференцируемого отображения $f:[0,1]\to X$. Специфику многомерного случая подчеркивает построенный пример дифференцируемой функции $f:[0,1]\to{\mathbb R}^2$, образ производной которой является вполне несвязным компактом. Библиогр. 2..