Курс состоит из нескольких независимых тем и имеет целью показать разнообразие задач и методов теории динамических систем. Рассматриваются как конечномерные, так и бесконечномерные динамические системы. Часть излагаемого материала — классика, часть представляет собой результаты, полученные за последние 20 лет. Необходимый математический аппарат, находящийся за рамками стандартных курсов анализа, вводится по ходу изложения. Теория иллюстрируется примерами из механики.

1. Задачи, приводящие к системам с дискретным временем, отображение Пуанкаре на уровне интеграла энергии гамильтоновой системы, другие примеры. Инвариантная мера, эргодические теоремы Иосиды, Неймана и Биркгофа-Хинчина. Теорема Пуанкаре о возвращении. Эргодические системы, элементарные свойства эргодических систем. Оператор Купмана. Эргодичность треугольного отображения и сдвига по тору.
2. Другой путь возникновения динамического хаоса: расщепление сепаратрис, интеграл Пуанкаре-Мельникова.
3. Дискретные лагранжевы системы. Антиинтегрируемый предел.
4. Временные средние в другом контексте: бесконечномерная версия теоремы Массера о существовании периодических решений: периодические решения в одной линейной гиперболической системе теории упругости.
5. Ограниченные решения систем дифференциальных уравнений второго порядка. Маятник Уитни.
6. Фазовый поток системы ОДУ с гладкой правой частью: $\omega$-предельное множество и его свойства: принцип Ла-Салля, аттракторы. Полугруппы преобразований метрического пространства: $\omega$-предельное множество, аттракторы.
7. Дифференциальные уравнения с негладкой правой частью, дифференциальные включения, регуляризация по Филиппову. Периодические и ограниченные решения в задачах с сухим трением.

Список литературы
[1] В.И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск, Изд-во УдмГУ, 2000.
[2] Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967.
[3] R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems. Springer, 1993.
[4] Ж. Ла-Салль, С. Лефшец, Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М., Мир, 1964.
[5] Я. Синай, Введение в эргодическую теорию. М., Фазис, 1996.
[6] В.И. Арнольд, Математические методы классической механики. М., Наука,1989.
[7] С.П. Новиков, И.А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля. М., МЦНМО, 2005.
[8] D. Treschev, O. Zubelevich, Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian Systems. Springer, 2010.
[9] A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides // Trans. A.M.S., 42 (1964), pp. 199-231.

Программа

Лектор
Зубелевич Олег Эдуардович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)