Это вводный курс по теории ортогональных многочленов Макдональда, двойным аффинным алгебрам Гекке (DAHA) и их роли в современной математике и физике. Мы начнём с основ теории Макдональда, введём кольцо симметричных функций, а также многочлены Шура и Макдональда. Ключевым моментом будет связь между многочленами Макдональда и операторами Чередника-Данкла, которые естественным образом возникают при изучении квантовых многочастичных систем — тригонометрических системах Руйсенаарса. Мы рассмотрим несимметричные обобщения Чередника для ортогональных многочленов и введём двойную аффинную алгебру Гекке (DAHA). Также мы изучим и рациональную версию, так называемую алгебру Чередника, обсудим приложения и связи с ортогональными многочленами, интегрируемыми системами и комбинаторикой. Подобные конструкции существуют и на эллиптическом уровне; они будут рассмотрены ближе к концу курса.

Программа

1.  Кольцо симметричных функций. Элементарные симметричные функции, полные симметричные функции и степенные суммы Ньютона. Многочлены Шура.
2.  Формулы Коши. Скалярное произведение на симметрических функциях. Ортонормированность многочленов Шура.
3.  Полиномы Макдональда, скалярное произведение, ортогональность. Разностные операторы Макдональда, их производящая функция. Самосорпяженность. Вырождение в полиномы Джека.
4.  Группы Кокстера и алгебры Гекке. Системы корней, группа Вейля, диаграммы Дынкина.
5.  Полиномы Макдональда для произвольной системы корней. Теорема существования. Гипотеза о норме, постоянный член.
6.  Скалярное произведение Чередника. Несимметричные многочлены Макдональда. Операторы Чередника-Данкла.
7.  Рациональные алгебры Чередника и операторы Данкла. Приложения к многочастичным интегрируемым системам.
8.  Аффинные группы Вейля и аффинные алгебры Гекке. Двойные аффинные алгебры Гекке и операторы Чередника.
9.  Интегрируемые системы Калоджеро и Макдональда-Руйсенарса. Связь операторов Данкла и матрицы Лакса.
10.  Эллиптические алгебры Чередника и эллиптические операторы Данкла. Приложения: эллиптическая система Калоджеро-Мозера, спиновая цепочка Иноземцева.
11.  Эллиптические операторы Чередника и системы Руйсенарса. $R$-матричные обобщения.

Литература
[1] I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. Vol. 12. American Mathematical Soc., 1998.
[2] I. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras Vol. 319. Cambridge University Press, 2005.
[3] Kirillov Jr, A., Lectures on affine Hecke algebras and Macdonald’s conjectures. Bull. AMS 34, no. 3, 251-292, 1997.
[4] Etingof, P., Calogero-Moser systems and representation theory. Vol. 4. European Mathematical Society, 2007.
[5] Chalykh, O., Dunkl and Cherednik Operators. Encyclopedia of Mathematical Physics (Second edition), vol. 3, 309-327. Academic Press, 2025.

Программа

Лектор
Матушко Мария Георгиевна

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)