Торическая геометрия и топология предоставляют большое количество примеров многообразий с «нестандартными» комплексными структурами, т.е. не кэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия.

Комплексная структура на момент-угол-многообразии $Z$ определяется набором комбинаторных геометрических данных, включающий полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. Примерами комплексных момент-угол-многообразий являются многообразия Хопфа и Калаби-Экмана, а также их деформации.

В случае рациональных вееров многообразие $Z$ является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем - компактным комплексным тором. В этом случае инварианты комплексной структуры на $Z$, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны с помощью спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.

В общем случае слои голоморфного расслоения «размыкаются» и расслоение превращается в каноническое голоморфное слоение на комплексном момент-угол-многообразии $Z$, эквивариантное относительно действия алгебраического тора. Пара $(Z,F)$ многообразия и голоморфного слоения является моделью для иррациональных торических многообразий.

В общем положении комплексное момент-угол-многообразие $Z$ имеет лишь конечное число комплексных подмногообразий положительной размерности, так что на таком комплексном многообразии не существует непостоянных мероморфных функций, а его алгебраическая размерность равна нулю.

Конструкция и классификация комплексных многообразий с действием тора основана на понятии экспоненциального действия, задаваемого конфигурацией векторов. Экпоненциальные действия объединяют многие конструкции голоморфной динамики, некэлеровой комплексной геометрии, торической геометрии и топологии. К ним относятся пространства листов голоморфных слоений, пересечения вещественных и эрмитовых квадрик, фактор-конструкция торических многообразий, $LVM$- и $LVMB$-многообразия, комплексно-аналитические структуры на момент-угол-многообразиях и их частичные факторы.

Во всех случаях геометрия и топология соответствующего фактор-объекта могут быть описаны комбинаторными данными, включающих пару двойственных по Гейлу конфигураций векторов.

Программа

1. Экспоненциальные действия и голоморфные слоения, свободные орбиты (невырожденные листы).
2.  Линейная двойственность Гейла.
3.  Вееры и триангулированные конфигурации векторов.
4.  Собственные действия.
5.  Полнота и компактность фактор-пространств.
6.  Полиэдральные произведения и момент-угол-многообразия.
7.  Выпуклые многогранники и полиэдры, нормальные вееры и пересечения квадрик.
8.  Голоморфные экспоненциальные действия и комплексные структуры на момент-угол-многообразиях.
9.  Двойственность Гейла для рациональных конфигураций.
10.  Частичные факторы и тор-эспоненциальные действия.
11.  $LVM$- и $LVMB$-многообразия.
12.  Торические многообразия и их иррациональные деформации: дивизоры, $Nef$-и обильный конусы, симплектическая редукция.
13.  Трансверсально кэлеровы формы на комплексных многообразиях с действием тора, дивизоры и подмногообразия.
14.  Базисные когомологии де Рама и Дольбо.

Литература
[1] Arzhantsev, Ivan; Derenthal, Ulrich; Hausen, Juergen; Laface, Antonio, Cox Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 144. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
[2] Audin, Michele, The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
[3] Bosio, Frederic; Meersseman Laurent, Real quadrics in $C^n$, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math. 197 (2006), no. 1, 53-127.
[4] Buchstaber, Victor; Panov, Taras, Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[5] Cox, David A.; Little John B.; Schenck, Henry K., Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, 124. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.
[6] De Loera, Jesus; Rambau, Joerg; Santos, Francisco, Triangulations. Structures for Algorithms and Applications. Algorithms Comput. Math., 25, Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[7] Guillemin, Victor, Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian $T^n$-spaces. Progress in Mathematics, 122. Birkhaeuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.
[8] Ishida, Hiroaki, Complex manifolds with maximal torus actions. J. Reine Angew. Math. 751 (2019), 121-184.
[9] Katzarkov, Ludmil; Lupercio, Ernesto; Meersseman, Laurent; Verjovsky, Alberto, Quantum (non-commutative) toric geometry: foundations. Adv. Math. 391 (2021), Paper No. 107945, 110 pp.
[10] Panov, Taras, Exponential actions defined by vector configurations, Gale duality, and moment-angle manifolds. Bulletin of the London Mathematical Society, 2025; arXiv:2411.03366.
[11] Panov, Taras; Ustinovskiy, Yury; Verbitsky, Misha, Complex geometry of moment-angle manifolds. Math. Z. 284 (2016), no. 1-2, 309-333.

Программа

Лектор
Панов Тарас Евгеньевич

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)