Аннотация:
В докладе будет рассказано о результатах совместной работы с А. Сёдергреном, в которой
нами было доказано, что дзета-функция Эпштейна универсальна “по решёткам”.
Так, пусть функция f аналитична в полосе {s:12<ℜs<1} и вещественна при вещественных s. Тогда для всякого компактного множества K⊂{s:12<ℜs<1}, для любого ε>0 и для любого достаточно большого n существует некоторая n-мерная решётка L такая, что
maxs∈K|2s−1V−snEn(L,ns2)−f(s)|<ε,
где En(L,s) обозначает дзета-функцию Эпштейна, отвечающую решётке L, а Vn=πn/2/Γ(n/2+1) - объём n-мерного шара. Если же рассматривать приближения функции f(s) разностью двух дзета-функций Эпштейна, отвечающих разным решёткам, то аналогичный результат будем иметь место во всей полуплоскости ℜs>12. Это первый пример, когда теорема универсальности типа Воронина имеет место во всей полуплоскости абсолютной сходимости.
Основными составляющими нашего доказательства являются результаты о распределении векторов решётки из диссертации Сёдергрена, а также некоторые аппроксимационные утверждения о полиномах Дирихле.