Рекуррентность в измеримых группах отображений

Свойства возвратности и рекуррентности хорошо известны и глубоко изучены в двух достаточно далеких друг от друга областях современной математики: теории дискретных случайных блужданий и теории непрерывных динамических систем соответственно. В первом случае это свойство состоит в возвращении с вероятностью один в исходную позицию, а во втором в произвольно малую окрестность начальной точки. Как ни странно, ни для общих марковских процессов, ни для групп отображений содержательных результатов в этом направлении не известно. Мы изучим необходимые и достаточные условия рекуррентности и отчасти (на контр-примерах) ответим на вопрос, почему они не были исследованы ранее.