Когомологии Морса–Новикова

В начале 80-х годов прошлого века Сергей Петрович Новиков построил аналог теории Морса для гладких замкнутых $1$-форм на компактном гладком многообразии $M$. Им были предложены неравенства типа Морса (получившие позже название неравенства Новикова) для чисел $m_p(\omega)$ нулей индекса $p$ произвольной гладкой замкнутой морсовской $1$-формы $\omega$ на $M$. С.П. Новиковым был предложен метод, основанный на подходе Виттена к теории Морса, для нахождения т.н. неравенств Новикова без кручения. Центральную роль в этом методе играют когомологии $H^*_{\omega}(M)$ комплекса дифференциальных форм $\Lambda^*(M)$ гладкого многообразия $М$ с деформированным дифференциалом $d + \omega$, где $\omega$ — гладкая замкнутая $1$-форма на многообразии $M$.
Впоследствии такие когомологии стали называться в литературе когомологиями Морса–Новикова, их стали применять в самыхразных задачах, причем чаще всего их применение не предполагало изучение критических точек $1$-формы $\omega$. Доклад будет посвящен обзору развития теории когомологий Морса–Новикова и их приложений.