О построении масштабирующих функций, порождающих ортогональный КМА на локальных полях положительной характеристики

Локальное поле $F^{(s)}$ положительной характеристики $p$ изоморфно пространству бесконечных в обе стороны последовательностей $x=(\dots,{\mathbf 0}_{i-1},{\mathbf x}_i,{\mathbf x}_{i+1},\dots)$, ${\mathbf x}_j\in GF(p^s)$, где $GF(p^s)$ конечное поле. Известно, что при $s=1$: $F^{(1)+}$ (– аддитивная группа поля $F^{(1)}$) есть группа Виленкина с постоянной образующей последовательностью $p_n=p$. А при $s>1$ аддитивная группа $F^{(s)+}$ изоморфна произведению групп Виленкина [1], т.е.
$$ F^{(s)+}\cong F^{(1)+}\times F^{(1)+}\times ... \times F^{(1)+}=(F^{(1)+})^s. $$
Обозначим через $F_k^{(s)}=\{(\dots,{\mathbf0},{\mathbf x}_k,{\mathbf x}_{k+1},\dots),\ {\mathbf x}_i\in GF(p^s)\}$ подгруппы группы $F^{(s)+}$. Множество ступенчатых функций, постоянных на смежных классах по подгруппе $F_M^{(s)}$ с носителем ${\rm supp}(\varphi)\subset F^{(s)}_{-N}$ обозначим через $\mathfrak D_M(F^{(s)}_{-N})$, $M,N\in \mathbb N$. Аналогично, $\mathfrak D_{-N}({F^{(s)}_{M}}^\bot)$ есть множество ступенчатых функций, постоянных на смежных классах по подгруппе ${F^{(s)}_{-N}}^{\bot}$ с носителем ${\rm supp}(\varphi)\subset {F^{(s)}_M}^\bot$. Если функция $\varphi\in \mathfrak D_M(F^{(s)}_{-N})$ порождает ортогональный КМА, то она удовлетворяет масштабирующему уравнению $\varphi(x)=\sum_{h\in H_0^{(N+1)}}\beta_h$ $\varphi({\mathcal A}x\dot-h),$ которое можно записать в частотном виде
\begin{equation} \label{N270:eq1.1} \hat\varphi(\chi)=m_0(\chi)\hat\varphi(\chi{\mathcal A}^{-1}), \end{equation}
где $m_0(\chi)=\frac{1}{p}\sum_{h\in H_0^{(N+1)}}\beta_h\overline{(\chi{\mathcal A}^{-1},h)}$ – маска уравнения (1), ${\mathcal A}$ – оператор растяжения, $\chi$ – характер группы $F^{(s)+}$.
Известно, что на группах Виленкина задача построения ступенчатой масштабирующей функции сводится к построению некоторого дерева [2]. Однако рассматриваемый класс функций состоит только из $(N,M)$-элементарных функций [2] (т.е. функций, модуль которых принимает значения 0 или 1), и поэтому является довольно узким. Оказалось, что можно построить ступенчатую масштабирующую функцию, принимающую дробные значения, по прежнему используя теорию графов, а также обобщить это для локальных полей положительной характеристики.
Построим дерево $\tilde T$, ориентированное от листа к корню и удовлетворяющее следующим условиям:
1) Каждая вершина представляет собой элемент поля $GF(p^s)$: $a_j=(a_j^{(0)},a_j^{(1)},\dots,a_j^{(s-1)})$ и встречается в дереве только один раз.
2) Нулевой элемент поля $GF(p^s)$ $0=(0^{(0)},0^{(1)},\dots,0^{(s-1)})$ является корнем дерева.
Теперь по данному дереву построим взвешенный граф $\Gamma$, добавив некоторое количество ориентированных ребер от вершин более высокого уровня к вершинам более низкого уровня, таким образом, чтобы сумма весов всех ребер, исходящих из одной вершины, равнялась единице. Обозначим
\begin{equation} \label{N270:eq1.2} \lambda_{{\mathbf a}_{-1},{\mathbf a}_{0}}= |m_0({F^{(s)}_{-1}}^\bot{\mathbf r}_{-1}^{{\mathbf a}_{-1}}{\mathbf r}_{0}^{{\mathbf a}_{0}})|^2, \end{equation}
где ${F^{(s)}_{-1}}^\bot$ - аннулятор подгруппы $F^{(s)}_{-1}$, ${\mathbf r}_{i}^{{\mathbf a}_{i}}=r_{is}^{a_i^{(0)}}r_{is+1}^{a_i^{(1)}}\dots r_{is+s-1}^{a_i^{(s-1)}}$, $r_{is+l}(x)=e^{\frac{2\pi i}{p}x_{i}^{(l)}}$ – функция Радемахера.
Теорема. Пусть построены дерево $\tilde T$, граф $\Gamma$ и определены значения маски $m_0(\chi)$ так, как указано в равенствах (2). Тогда равенство
$$ \hat\varphi(\chi)=\prod_{k=0}^\infty m_0(\chi{\mathcal A}^{-k})\in \mathfrak D_{-1}({F_M^{(s)}}^\bot) $$
определяет масштабирующую функцию $\varphi(x)\in \mathfrak D_M({F_{-1}^{(s)}})$, порождающую ортогональный КМА, причем $M$ не превышает $H-1$, где $H$ высота дерева $\tilde T$.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00102).