К теории нелинейных переопределeнных систем трeх и четырeх дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией в пространстве

В монографии [1] рассматривались системы уравнений в частных производных первого порядка. В $\S5$ работы [2] подробно щучены квазилинейные системы второго порядка с одной неизвестной функцией. Эти исследования продолжены в работе [3]. В данном сообщении рассматриваются некоторые типы систем, указанные в заглавии. Оговоримся сразу, что в исследуемых системах правые части заданные, а $U$ – неизвестная функции, которые ищутся в классе $C^4(\Pi)$, где $\Pi$ – некоторая односвязная ограниченная область пространства $R^3$, содержащая внутри себя начало координат. Основной метод исследования состоит в замене производных первого и второго порядка правых частей на новые неизвестные функции, переходе к системам с большим числом неизвестных функций и в установлении связей с достаточно изученными системами в полных дифференциалах (п.д.-система) [4].
I. Системы с тремя уравнениями. Здесь исследуются системы

\begin{equation}\label{N186:1} U_{xx},U_{yy},U_{zz}=f^{i}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xy},U_{yz},U_{zx}),\qquad i=\overline{1,3}, \end{equation}


\begin{equation}\label{N186:2} U_{xy},U_{yz},U_{zx}=f^{j}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xx},U_{yy},U_{zz}),\qquad j=\overline{1,3}, \end{equation}


\begin{equation}\label{N186:3} U_{xx},U_{yy},U_{xz}=f^{k}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xz},U_{yz},U_{zz}), \qquad k=\overline{1,3}. \end{equation}

1. Пусть дана система (1). В силу замен $U_x=p(x,y,z),U_y=q(x,y,z),U_z=R(x,y,z),U_{xx}=p_y=Q(x,y,z) , U_{yz}=q_z=\tau (x,y,z),U_{zx}=R_x=t(x,y,z)$ операции перекрестного дифференцированная $p_{xy}=p_{yx},p_{yz}=p_{zy},p_{zx}=p_{xz},q_{xy}=q_{yx}, q_{yz}=q_{zy}, q_{zx}=q_{xz}, R_{xy}=R_{yx}, R_{yz}=R_{zy},R_{zx}=R_{xz}$ и некоторыми несложными преобразованиями получим по отношению к исходной эквивалентную п.д.-систему
\begin{equation}\label{N186:4} \begin{cases} U_x=p(x,y,z),U_y=q(x,y,z),U_z=R(x,y,z),\\ p_x=f^1(x,y,z;U,p,q,R,Q,t,\tau), p_y=Q(x,y,z), p_z=t(x,y,z)\\ q_x=Q(x,y,z), q_y=f^2(x,y,z;U,p,q,R,Q,t, \tau),q_z=\tau(x,y,z)\\ R_x=\tau (x,y,z),R_y=t(x,y,z), R_z=f^3(x,y,z;U,p,q,R,Q,t, \tau)\\ Q_x, Q_y, Q_z, \tau _x, \tau _y, \tau_z, t_z, t_y, t_z=f^i,\quad i=\overline{4,12} \end{cases} \end{equation}
где правые части $f^4-f^{12}$ явно выражаются через $f^i,i=\overline{1,3}$ и их производные с первого до третьго порядка. Уравнения (4), (6) составляют п.д. -систему относительно семи неизвестных функций $U, p, q, R, Q, \tau, t$ и девяти тождественно выполненых условиий полной интегрируемости (у.п.и). Для (4) будет девять тождественно выполненных соотношений
\begin{equation}\label{N186:5} H^i(x,y,z; U, p, q,R,Q, \tau, t)=0,\qquad i=\overline{1,9}, \end{equation}
где $H^i ,i=\overline{1,9}$ явно выражаются через правые части (4) и их частные производные с первого до четвертого порядка.
Для исходной системы будет корректна следующая задача с начальными данными:
\begin{equation}\label{N186:6} [U]_0=c_1,[U_x]=c_2, [U_y]_0=c_3, [U_z]_0=c_4, [U_{xy}]_0=c_5,[U_{yz}]_0=c_6, [U_{zx}]_0=c_7 \end{equation}
для которой можно считать доказанной следующую теорему:
Теорема. Пусть в системе (1) $f^i,i=\overline{1,3} , U\in C^4,f^2\neq0$ и $\alpha <\min(a,b/M),M=\max |f^i |,i=\overline{1,3} $.
Если соотношения (5) в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0,z_0;U_0,U_x^0,U_y^0,U_z^0,U_{xx}^0,U_{yz}^0,U_{zx}^0)$ выполняются тождественно, то задача (1), (6) разрешима единственным образом.
Иными словами многообразие решений содержит семь произвольных постоянных. Если хотя бы одно из условий $H^i=0,i=\overline{1,9}$ не выполняется тождественно, а разрешено в виде $t=\varphi(x,y,z;U,p,q,R,Q,\tau),\varphi \in C^1$, то приходим к п.д. системе относительно шести неизвестных функций и шести явных условиях совместности.
2. Теперь рассмотрим систему (2). Здесь осуществленные замены $U_x=p,U_y=q,U_z=R,q_x=Q,R_z=,p_z=t$ c учетом тождественного выполнения равенств $p_y=q_x,q_z=R_y,p_z=R_x$ приводят к квазилинейной системе

\begin{equation}\label{N186:7} \begin{cases} U_x=p(x,y,z), U_y=q(x,y,z), U_z=R(x,y,z),\\ p_x,p_y=f^k(x,y,z;U,p,q,R,Q, \tau , t),k=1,2, p_z=t(x,y,z),\\ q_x, q_y=f^k(x,y,z; U,p,q,R,Q, \tau , t), k=1,2, q_z=Q(x,y,z),\\ R_x=t(x,y,z), R_y=f^3(x,y,z; U, p,q, R,\tau , t), R_z=\tau(x,y,z). \end{cases} \end{equation}

Имея систему (7) приходим к ситуации, сходной с той, что наблюдалась в пункте 1, т.е. для нее можем утверждать, что многообразие решений содержит соответственно семь или шесть произвольных постоянных.
3. В отличие от систем (1) и (2) в левых частях системы (3) нет частных производных по z $(U_{xx},U_{yy},U_{xy} )$. Осуществляя замены $U_x=p,U_y=q,U_z=R,U_{yz}=q_z=Q,U_{xz}=p_z=,U_{zz}=R_z=t$ придем к системе
$$ \begin{cases} U_x=p, U_y=q, U_z=R, p_x=f^1, p_y=f^3, p_z=\tau\\ q_x=f^3, q_y=f^2, q_z=Q, R_x=\tau , R_y=Q, R_z=t. \end{cases} $$

Повторяя процедуру аналогичную пунктам 1 и 2, получим еще девять неразрешенных относительно $\tau_x,\tau_y,\tau_z,Q_x,Q_y,Q_z,t_x,t_y,t_z$ уравнений. Разрешая их, опять-таки приходим к п.д.- системе относительно семи неизвестных функций, для которой имеет место аналогичная как п. 1 и 2 теорема с девятью явными условиями совместности, совершенно отличающимися от (5).
II. Системы с четырьмя уравнениями. Рассмотриваются системы вида
$$ U_{xx}, U_{xy}, U_{xz}, U_{yz}=f^i(x,y,z,U, U_x, U_y, U_z, U_{yy}),\qquad i=\overline{1,4} $$
и
$$ U_{xx}, U_{xy}, U_{zz}, U_{yz}=f^k(x,y,z,U, U_x, U_y, U_z, U_{yy}, U_{zz}),\qquad k=\overline{1,4}$$

Следуя схеме исследования первой части работы выяснено, что многообразия решения этих систем соответственно содержать пять и шесть произвольных постоянных.