Теорема Харди–Литтлвуда для рядов Фурье–Прайса в пространствах Лоренца

В теории функций большую роль сыграла теорема Харди-Литтлвуда в пространстве Лебега $L_p[0,2\pi)$, $1<p<+\infty $ о тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами [1]. С помощью этой теоремы доказывалась неулучшаемость различных утверждений гармонического анализа.
В настоящей работе речь идет о тереме типа теоремы Харди-Литтлвуда в пространстве Лоренца $L_{p\theta}\left[0,1\right],\ 1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty $ относительно рядов Фурье-Прайса с обобщенно-монотонными коэффициентами.
Понятие обобщенно-монотонных последовательностей было введено в [2]. В этой работе показано, что GM содержит в себе монотонные и квазимонотонные последовательности и классы последовательностей RBVS.
Пусть $L_{p\theta}\left[0,1\right],\ 1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty $ – пространство Лоренца [3], а $\Phi ={\left\{\varphi_k\left(x\right)\right\}}^{+\infty }_{k=0}$ –мультипликативная система Прайса. ${\left\|f\right\|}_{p\theta}$ означает норму элементов пространства $L_{p\theta}\left[0,1\right]$.
Основным результатом является следующее утверждение.
Теорема. Пусть $\overline{a}={\left\{a_\nu\right\}}^{+\infty }_{\nu=0}$ – положительная, стремящаяся к нулю обобщенно-монотонная последовательность. Для того чтобы последовательность $\overline{a}$ была последовательностью коэффициентов Фурье-Прайса некоторой функции $f\in L_{p\theta}\left[0,1\right]$, $1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty$ необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
$$ \sum^{+\infty }_{\nu=1}{\nu^{\theta\left(1-{1}/{p}\right)-1}a^\theta_\nu}<+\infty . $$
При этом имеет место соотношение
$$ {\left\{a^\theta_0+\sum^{+\infty }_{\nu=1}{\nu^{\theta\left(1-{1}/{p}\right)-1}a^\theta_\nu}\right\}}^{\frac{1}{\theta}}\asymp {\left\|f\right\|}_{p\theta}. $$

Далее показывается применение данной теоремы в теории приближений и теории вложений.