Унитарный гармонический анализ функций на группах без локальной компактности

Для аргументов из бесконечномерных гильбертовых пространств над такими локальными нормированными полями, как поля вещественных и $p$-адических чисел, предлагаются специальные пространства комплекснозначных пробных функций. Эти пространства замечательны тем, что их элементы, с одной стороны, являются в естественном смысле плотностями цилиндрических мер относительно обобщённых аналогов мер Хаара (Лебега) на этих гильбертовых пространствах (от которых даже сепарабельность не обязательно требовать). С другой стороны, специальные гильбертовы преобразования Фурье этих цилиндрических мер принадлежат тому же пространству пробных функций. Обратные операторы Фурье переводят функции в цилиндрические меры. Существуют естественные аналоги таких взаимно обратных операторов преобразований Фурье, которые отображают в себя эти пространства пробных функций, при этом сохраняя некоторую гильбертову норму и продолжаясь до операторов на различных пространствах обобщённых функций бесконечномерного аргумента. Часть таких продолжений, которые являются унитарными, обладают собственным базисом, состоящим из упомянутых пробных функций. Существуют также собственные базисы, состоящие целиком из таких обобщённых функций, которые, по-видимому, не сводятся к обычным функциям.