Комплексные кобордизмы и $n$-значные группы

Кольцо кобордизмов стабильно комплексных многообразий изоморфно градуированному кольцу $\mathbb Z[a_n]$, где $\mathrm{deg}\, a_n= 2n$, $n=1, 2,\ldots$. Этот фундаментальный результат (Дж.Милнора и С.П.Новикова ,1960) лежит в основе реализации универсальной одномерной формальной группы (М. Лазар, 1954) в виде формальной группы геометрических кобордизмов, заданной первым классом Черна комплексных расслоений со значениями в теории комплексных кобордизмов (А.С.Мищенко, С.П.Новиков, 1967, Д.Квиллен, 1969). Двузначная формальная группа в кобордизмах была введена В.М.Бухштабером и С.П.Новиковым (1971) в терминах первого класса Понтрягина–Бореля кватернионных расслоений со значениями в теории комплексных кобордизмов. В этой же работе для каждого $n$ был предложен ключевой пример $n$-значной группы. Основы алгебраической теории $n$-значных групп были заложены в статье В.М.Бухштабера (1975). Одним из первых результатов этой теории явилось доказательство универсальности двузначной формальной группы в кобордизмах. В настоящее время теория $n$-значных (формальных, конечных, дискретных, топологических и алгебро-геометрических) групп и ее приложения в различных областях математики и математической физики развиваются рядом авторов. Доклад посвящен результатам, полученным автором совместно с А.П.Веселовым, А.А.Гайфуллиным, А.Ю.Весниным и М.И.Корневым. Отметим недавнюю нашу статью с М.И.Корневым, в которой введены универсальные симметрические $n$-алгебраические $n$-значные группы и получена их классификация для $n=2$ и $3$. Группы $G_n$ принадлежат этим классам.