Последовательности частных сумм многомерных рядов Фурье

Пусть $\mathbb T = \mathbb R/2\pi\mathbb Z$, $d\ge2$, и пусть $\mu_d$ – нормализованная мера Лебега на $\mathbb T^d$. Каждой интегрируемой комплекснозначной функции $f: \mathbb T^d \to \mathbb C$ мы сопоставляем ее тригонометрический ряд Фурье
$$ f \sim \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x),$$
где $\mathbf k = (k_1,\dots,k_d)\in \mathbb Z^d$, $\mathbf x = (x_1,\dots,x_d)\in \mathbb T^d$, $\mathbf k \mathbf x = k_1x_1 + \dots + k_dx_d$.
Для ограниченного множества $A\subset\mathbb R^d$ мы определяем частные тригонометрические суммы Фурье относительно множества $A$
$$ S_A(f) (x) = \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d\cap A} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x).$$

Для различных классов последовательностей множеств $\{A_j\}$, $j =1,2,\dots$ мы рассматриваем вопрос: возможно ли, что на множестве $E\subset \mathbb T^d$ последовательность $\{S_{A_j}(f)\}$ почти всюду сходится к функции $g$, отличной от функции $f$? Мы изучаем два варианта этой проблемы:
1) функция $g$ конечна;
2) функция $g$ равна бесконечности.