The Cauchy-Bunyakovsky inequality and its mathematical interpretations

Интегральное неравенство Буняковского (1859 г.) - один из привычных инструментов современного анализа. Мы хотим разобраться, что сделал Буняковский, почему он это сделал, почему другие не пошли по тому же пути и как интерпретировалось его неравенство. Наши результаты следующие. Внимательное чтение его статьи показывает, что для него это было результатом его интереса к средствам, уже очевидного в работе Коши (1821 г.), но в контексте теории вероятностей и статистики. Другие теории, такие как метод наименьших квадратов, теория обобщенных разложений Фурье и понятие ортогональной проекции, которые входят в тот же круг идей, привели к тесно связанным результатам, но не к неравенству Буняковского (Бессель, 1828; Лиувилль, 1836; Грассманн, 1862). Связав результат с квадратичными формами, Шварц (1885) открыл путь к геометрической интерпретации неравенства, которое стало важным в теории интегральных уравнений. Примерно в то же время неравенство Роджерса-Гёльдера предложило обобщения результатов Коши и Буняковского в совершенно другом направлении. Более поздние расширения и переосмысления показывают, что ни один результат даже сейчас не включает в себя все известные обобщения. Следовательно, только историческая перспектива позволяет понять математическую природу неравенства Коши-Буняковского