Аннотация:
Курс начнётся с краткого исторического обзора и уточнения понятия решить уравнение; будут разобраны решения уравнений степеней $\le4$.
Начиная со степени 5, решения общих уравнений с помощью одних только извлечений корней невозможны; будут приведены наброски алгебраического доказательства Абеля—Галуа и топологического доказательства В.И. Арнольда.
В случае степени 5 в игру вступают эллиптические кривые, и извлечение корней 5-й степени, понимаемое как «деление на 5» в мультипликативной группе основного поля, заменяется на изучение точек 5-го порядка на эллиптических кривых. Будут приведены точные формулы. Над полем комплексных чисел в этих формулах и их геометрических интерпретациях будут участвовать детские рисунки и, в частности, икосаэдр, пространство модулей эллиптических кривых и его накрытия, а также минимальная теория простых конечных групп и их спорадических изоморфизмов. Рассказ об эффективных методах решения уравнения 5-й степени будет использовать арифметико-геометрическое среднее Гаусса
и цепную дробь Рамануджана.
В конце курса будет кратко рассказано о решении уравнений 6-й степени, об уравнении 7-й степени и выросшей из него 13-й проблеме Гильберта и о трансцендентных формулах для решений уравнений высших степеней.
Первые три лекции будут сопровождаться задачами.
Для понимания основных результатов курса потребует будет достаточно некоторого владения основными понятиями теории конечных групп и знания комплексных чисел; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютеров.
План
1. Уравнения степеней $\le4$.
Исторический обзор. Итальянское Возрождение и решение кубических уравнений. Сведение уравнений степени 4 к кубическим.
2. Квинтики и икосаэдр. Квинтики в форме Бриоши. Детские рисунки и функции Белого; икосаэдр.
3. Квинтики и эллиптические кривые. $\mathsf{A}_5$-накрытия сферы и эллиптические кривые с базисом в пространстве точек 5-го порядка. Эффективное решение уравнений 5-й степени.
4. Об уравнениях высших степеней. Общий обзор.
Обратная связь: